线性反馈系统的时间域综合

6.1引言6.2状态反馈与输出反馈6.3状态反馈极点配置6.4输出反馈极点配置6.5状态反馈镇定6.6全维状态观测器小结第六章线性反馈系统的时间域综合问题的提出系统综合是系统分析的逆问题。系统分析问题即为对已知系统结构和参数，以及确定好系统的外部输入(系统激励)下，对系统运动进行定性分析。如能控性、能观性、稳定性等而系统综合问题为已知系统结构和参数，以及所期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某些特征，所需要确定的是则需要施加于系统的外部输入的大小或规律。6.1引言综合问题最基本的任务是，对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统，即寻找反馈控制律。状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略，其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律，实现对系统的闭环控制，以达到期望的对系统的性能指标要求。在经典控制理论中，一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中，多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。6.2状态反馈与输出反馈1.状态反馈对线性定常连续系统

(A,B,C)，若取系统的状态变量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。状态反馈闭环系统的系统结构可如图6-1所示图6-1状态反馈系统的结构图其中K为r

n维的实矩阵，称为状态反馈矩阵；v为r维的输入向量，亦称为伺服输入。将状态反馈律代入开环系统方程，D=0则可得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型:状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为状态反馈闭环系统可简记为

K(A-BK,B,C)，其传递函数阵为:GK(s)=C(sI-A+BK)-1B由状态能控性PBH秩判据，被控系统

(A,B,C)采用状态反馈后的闭环系统

K(A-BK,B,C)的能控性可由条件rank[

I-A+BKB]=n

来判定，而上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。状态反馈可能改变状态能观性。由能控规范形的状态反馈闭环系统的传递函数表明，状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点。当被控系统是状态完全能控时，其极点可以进行任意配置。因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时，则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。根据零极点相消定理可知，闭环系统或状态不能控或状态不能观。由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控特性，故该闭环系统只能是状态不完全能观的。这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。从以上说明亦可得知，若SISO系统没有零点，则状态反馈不改变系统的状态能观性。2.输出反馈对线性定常连续系统

(A,B,C)，若取系统的输出变量来构成反馈，则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。输出反馈控制系统的结构图如图6-2所示。图6-2输出反馈系统的结构图与状态反馈有何不同?输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为其中H为r

m维的实矩阵，称为输出反馈矩阵。将输出反馈律代入开环系统方程，则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型:u=-Hy+vy=Cx输出反馈闭环系统可简记为

H(A-BHC,B,C),其传递函数阵为:GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知，输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。因此，在进行系统分析时，输出反馈可看作状态反馈的一种特例。反之，则不然。由此也可知，状态反馈可以达到比输出反馈更好的控制品质，更佳的性能；但物理实现而言，输出反馈要优于状态反馈。由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例，故输出反馈亦不改变系统的状态能控性。输出反馈不改变状态能观性。对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点，可以有效地改善系统的性能。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法还是根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改善性能指标，本质上均属于极点配置方法。6.3状态反馈极点配置本节所讨论得极点配置问题，则是指如何通过状态反馈阵K的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。定理6-1

对线性定常系统

(A,B,C)利用线性状态反馈阵K，能使闭环系统

K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统

(A,B,C)状态完全能控。1.状态反馈极点配置定理2.系统状态反馈极点配置的算法方法一标准算法

该算法适用系统维数n等于或大于4（1）考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。（2）利用系统矩阵A的特征多项式确定出3．确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P=I。非奇异线性变换矩阵P

可给出，即其中Qc为能控性矩阵，即Qc=[An-1B

An-2B…AB

B]P=QcW5．此时的状态反馈增益矩阵

为4．利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为确定出

方法二解联立方程

如果是低阶系统(n≤3)，则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n=3，则可将状态反馈增益矩阵K写为进而将此代入闭环系统的特征多项式使其等于期望的闭环极点

即例6-1

考虑如下线性定常系统利用状态反馈控制

，希望该系统的闭环极点为s=-2±j4和s=-10，试确定状态反馈增益矩阵K。

解：(1)首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：rankQc

=3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。c方法1：(2)该系统的特征方程为：因此(3)期望的特征方程为可得因此方法2：(2)设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得(3)使其两端的同次幂系数相等因此可得由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间，因此输出反馈也称之为部分状态反馈。由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少，因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。6.4输出反馈极点配置线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置，但不能进行任意的极点配置。故欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点，要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。定理6-2对能控能观的线性定常系统Σ(A,B,C)，可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点。定理6-2中的n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置，但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。6.5状态反馈镇定受控系统通过状态反馈，使得闭环系统渐近稳定，这样的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。镇定问题的重要性主要体现在3个方面:首先，稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件，是对控制系统的最基本的要求；其次，许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标；最后，稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和条件，如渐近跟踪控制问题等。镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧，而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。为了使系统稳定，只需将那些不稳定因子，即具有非负实部的极点，配置到s平面的左半开平面即可。因此，通过状态反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置，把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。定理6-3状态完全能控的系统

(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。证明根据状态反馈极点配置定理6-1，对状态完全能控的系统，可以进行任意极点配置。因此，也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内，即闭环系统是镇定的。故证明了完全能控的系统必定是可镇定的。定理6-4若系统

(A,B,C)是不完全能控的，则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的(特征值均具有负实部)，即系统

(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。6.6全维状态观测器对状态能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈来进行任意极点配置，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是，由于描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的，更甚者有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。在这些情况下，以状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。为此，人们提出了状态变量的重构或观测估计问题?所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理可实现的动态系统,它以原系统的输入和输出作为它的输入，而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值，并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律。在这里设系统的系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。1.全维观测器的构造思路设线性定常连续系统的状态空间模型为

(A,B,C)，即为对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的如下系统来重构被控系统的状态变量:其中

为被控系统状态变量x(t)的估计值。如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观测器，对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态。利用输出变量对状态估计值进行修正的思想和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下状态观测器:其中G称为状态观测器的反馈矩阵。0)(ˆ)(Lim=-®¥tttxx该状态估计器称为全维状态观测器，也称为渐进状态观测器，其结构如下图所示。图6-3渐近状态观测器的结构图2.引入反馈项的必要性未引入输出反馈项的状态估计系统称为开环状态观测器，简记为图6-4开环状态观测器的结构图其结构如下图所示比较系统

(A,B,C)和

的状态变量,有则状态估计误差

的解为显然,当时,则有,即估计值与真实值完全相等。但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为：2.若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上(实部

0)，则矩阵指数函数eAt中包含有随时间t趋于无穷的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量x(0)，即不能保证;此时若或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态的扰动，则将导致状态估计误差将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。所以，由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零，易受噪声和干扰影响，收敛速度不能由设计者调整，其应用范围受到较大的限制。引入反馈后，状态估计误差:则有上述误差方程的解为显然，当状态观测器的系统矩阵A-GC的所有特征值位于s平面的左半开平面，即具有负实部,因此，状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G，使A-GC的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度，即状态观测器的极点是否可任意配置问题。定理渐近状态观测器的极点可以任意配置，即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)能观。则无论

等于x(0)否，状态估计误差

将随时间t趋于无穷而衰减至零，观测器为渐近稳定的。方法一比较特征多项式

（1）考察系统的能观性条件。如果系统是状态完全能观的，则可按下列步骤继续。（2）由于观测器的状态方程为则观测器的特征多项式为其中类似于状态反馈的极点配置技术，有如下状态观测器的设计方法。（3）希望特征值对应的特征多项式（4）两特征多项式系数比较，得方法二标准算法（1）先通过非奇异线性变换，将状态完全能观的被控系统Σ(A,C)变换成能观规范形。（2）对能观规范形进行极点配置，求得相应的能观规范形的观测器的反馈阵Gz，如下（3）原系统Σ(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为úúúúúûùêêêêêëé---=--1*11*1*aaaaaaGznnnnM其中ai*和ai(i=1,2,…,n)分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。例6-3

系统方程为要求设计系统的状态观测器，其特征值为-3、-4、-5.解（1）首先判断系统的能观测性系统能观测，可设计观测器。设：其中，待定（2）希望特征值对应的特征多项式而状态观测器的特征多项式（3）同次幂系数分别相等，可以得出例6-4给定系统的状态空间表达式为设计一个全维状态观测器，并使