《垂直于弦的直径》

垂直于弦的直径问题：把圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？结论：圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴.问题：已知：在⊙O中，AB是弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，图1是轴对称图形吗？在图1中，你能找到哪些线段相等？圆弧呢？证明你的结论.

图1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂直于弦的直径分析：在Rt△AOE和Rt△BOE中，利用HL定理证明两三角形全等可得AE=BE.利用轴对称可知.问题：1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米）垂直于弦的直径垂直于弦的直径解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE=3cm，AE=BE【例1】已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.

AB=8cm，∴AE=4cm.在Rt

AOE中，有OA===5（cm）.∴⊙O的半径为5cm.【解析】此题可用三角形全等来证明，构造△AOC与△BOD即可；但是若利用垂径定理来证明会更简单.【例2】已知：如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于CD两点.求证：AC=BD.

图1证明：过O作OE⊥AB，垂足E，则AE=BE，CE=DE.∴AE-CE=BE-DE.即AC=BD.垂直于弦的直径解：过O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C,则CD为拱高，【例3】如图2，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高.

图2则AD=AB=4，在Rt△AOD中，d=∴CD=2.垂直于弦的直径1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是________________________,对称中心是__________.2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_______.3.圆的一条弦把圆分为5:1两部分,如果圆的半径是2cm,则这条弦的长是_____cm.4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.垂直于弦的直径中心圆心过圆心的任一条直线60°253≤OP≤510相等垂直于弦的直径5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围____________________.6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径__________m.7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则与的大小关系是_______________.

图1

图2

图38．圆中两弦CD与AB互相垂直,垂足为E,若DE=3厘米,EC=7厘米,则圆心到AB的距离OF是_______厘米．9.P为⊙O内一点,PO=3cm,过P的最短弦为8cm,则过P的最长弦的长等于_______．10.AB⊥CD,垂足为E，CD为⊙O直径,且AB=20,CE=4,那么⊙O的半径是_____．210cm14.5垂直于弦的直径11.如图4,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有()A.0条B.1条C.2条D.4条12.如图5,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD的数量关系并说明理由.13.如图6,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4,求工件半径的长.

图5

图4

图6