简便方法做弯曲内力图

弯曲第9章9-4

求惯性矩的平行移轴公式9-2

剪力图和弯矩图的进一步研究9-3

弯曲正应力9-6

梁的强度条件9-5

弯曲切应力9-8

弯曲应变能9-10

超静定梁9-7

挠度和转角§9-1

剪力和弯矩•剪力图和弯矩图9-9

斜弯曲内容提要剪力图和弯矩图的进一步研究§9-2

剪力图和弯矩图的进一步研究例题：画梁的剪力图和弯矩图1.2m4KN3KN.m1.2m+-1.83-4AB4m2mq=6KN/mCM=12KN.MRARC1a2例题：画梁的剪力图和弯矩图+6KN18KN-剪力图a＝3m12弯矩图a=3m+2427单位：KN.M1.2m4KN3KN.m1.2m-4AB4m2mq=6KN/mCM=12KN.MRARC1a2+6KN18KN-剪力图a从上面的FS，M

图中容易看出（1）在梁上无荷载作用的区段，剪力图的图线为平行于梁轴的直线；在梁上均布荷载作用的区段，剪力图的图线为斜直线，而且dFs/dx

就等于均布荷载的集度q

。（2）在剪力为零的区段，弯矩图的图线为平行于梁轴的直线；在剪力为常数的区段，弯矩图的图线为斜直线，且斜率dM/dx就等于该区段内剪力FS的值；在剪力不为常数的区段，弯矩图的图线为曲线，且曲线上各点处切线斜率的变化与剪力值的变化相对应。+-1.83-412弯矩图a+2427单位：KN.M+6KN18KN-剪力图a一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系设梁上作用有任意分布荷载，其集度q=q(x)xyq(x)Pm规定：q(x)向上为正。将坐标原点取在梁的左端。xyq(x)Pm假想地用坐标为x

和x+dx

的两横截面m—m

和n—n

从梁中取出dx

一段。q(x)mmnnCxyq(x)Pmdxxmmnn略去q(x)沿dx

的变化q(x)mmnnCxyq(x)Pmdxxmmnnm—m

截面上内力为

FS(x)

，M(x)Fs(x)M(x)x+dx

截面处则分别为

FS(x)+dFS(x)

，M(x)+dM(x)Fs(x)+d

Fs(x)M(x)+dM(x)FS(x)-[FS(x)+dFS(x)]+q(x)dx=0得到

写出平衡方程Fs(x)M(x)mmnnq(x)CFs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)

Fy=0dx略去二阶无穷小量即得

Mc=0dx2=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-FS(x)dx-q(x)dx.FS(x)M(x)mmnnq(x)CFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxFS(x)M(x)mmnnq(x)CFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dx由和知，公式的几何意义（2）

概括了关于弯矩图的规律，即弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。（1）概括了关于剪力图的规律，即剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。（3）二阶导数的符号用来判定曲线的凹向。q(x)<0时，弯矩图的图线凹向上，反之凹向下。q(x)=0，即梁段上无荷载作用，剪力图为一条平行于杆轴的直线弯矩图为一斜直线xFS(x)oxM(x)oxoM(x)当FS(x)>0时，弯矩图向右下方倾斜。当FS(x)<0时，弯矩图向右上方倾斜。FS(x)>0FS(x)<0二、剪力图、弯矩图的规律q(x)=常数<0，即梁上有向下的均布荷载，M(x)图为一凹向上的二次抛物线FS(x)图为一向右下方倾斜的直线xFS(x)oxM(x)o梁上最大弯矩可能发生在Fs(x)=0的截面上

或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。q<0向下的均布荷载无荷载集中力PC集中力偶mC向下倾斜的直线

或凹向上的二次抛物线或在FS=0的截面或梁段边界的截面上水平直线+一般斜直线或在C处有突变P在C处有尖角或在C处无变化C在C处有突变m在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征剪力图的特征一段梁上的外力情况弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置三、利用上表中所列的外力与内力图间的规律来画剪力图和弯矩图：从表中的规律可见：根据梁上的外力情况，⑴首先分段（以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段

），⑵然后判断各段内力图的形状。进而确定梁的几个控制截面并算出控制截面上的内力值，就可画出各段的内力图。这样，绘制剪力图和弯矩图就变成求几个截面的剪力和弯矩的问题，而不需列剪力方程和弯矩方程，因而非常方便。例题：一外伸梁荷载如图所示，已知l=4m。画此梁的内力图。l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRBRB=20KN,RD=8KN解：求支座反力l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRB将梁分为AB，BC，CD

三段l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRBAB段：（

）FSA=0FSB左=-ql/2=-8KNBC段：（—）FSB右=RB-ql/2=12KNCD段：（—）FSD左=-RD=-8KN（1）剪力图+--8KN8KN12KNFSD右=0l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRB+--8KN8KN12KN（2）弯矩图AB段：（

）BC段：（

）CD段：（

）MA=0168++-EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)例题：

一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100KNm,

如图a所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力将梁分为AC，CD,DB三段。AC和DB上无荷载，CD段有向下的均布荷载。BAC段：水平直线

Fs1

=RA=80KN

CD段：

向右下方的斜直线DB段：水平直线在C，D两点无集中力，所以剪力图无突变。最大剪力发生在AC和DB段的任一横截面上。+80KN80KN(b)剪力图EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)剪力图EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)弯矩图AC段：向下倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线其极值点在FS=0的中点E处的横截面上。BDB段：向上倾斜的直线MB

=0+161648单位：KN。m(C)弯矩图EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)+161648单位：KN.m(C)B全梁的最大弯矩：梁跨中E点的横截面上。若极值点的位置不能通过观察得到，必须进行求解。例题：画内力图AC:(—)CB:(

)qa2aACBxx+-x(1)剪力图设距A端为x的截面上剪力等于零x=1.5aqa2aACBxxx=1.5a+-AC:(

)(2)弯矩图CB:()(支座反力为例题：画剪力图和弯矩图RA=22KNRB=18KNq=10kN/mm=8kN•mABC4m2mRARB剪力图CA段：水平直线FSC=0AB段：斜直线FSA右=RA=22KNFSB左=-RB=-18KN+-22KN18KNFSmax=22kN,

发生在A

截面右侧

q=10kN/mm=8kN•mABC4m2mRARB+-22KN18KN令X=1.8mxEFS(x)

=-RB+qx=0q=10kN/mm=8kN•mABC4m2mRARB弯矩图CA段：水平直线MC右=-m=-8KN.mAB段：二次抛物线MB=016.2KN.m8KN.m-+x=1.8Eq=10kN/mm=8kN•mABC4m2mRARB弯矩图qP=2qam=2qa2CABDaa2aRARB（1）剪力图CA段：(—)FS=0AB段：(

)FSA右=RA=-qaFSB左=P-RB=-3qaBD段：(—)FSB右=P=2qa+-qa3qa2qaFSD右=0RA=－qa,RB=5qa例题：画剪力图和弯矩图qP=2qam=2qa2CABDaa2aRARB（2）弯矩图CA段：(—)MC左=m=2qa2AB段：(

)MB=-Pa=-2qa2BD段：(

)+-qa3qa2qaMD=02qa22qa2+-练习题：作内力图3aABCq7q2/2aRBRARA=2qa,RB=qa解：求支座反力3aABCq7q2/2aRBRA画剪力图AC：（—）FSA左=RA=2qaCB：(

)FSB左=-RB=-qaFSB右=0+-2qaqax令FS(x)=qx-RB=0x=a3aABCq7q2/2aRBRA画弯矩图AC：（

）MA=0CB：(

)+-2qaqaxMmax

=RBx-qx2/2=qx2/2=ga2/2MC左=Raa=2qa2MC右=Raa-7qa2/2=-3qa2/2MB=02qa23qa2/2qa2/2++-q<0向下的均布荷载无荷载集中力PC集中力偶mC向下倾斜的直线

或凹向上的二次抛物线或在FS=0的截面或梁段边界的截面上水平直线+一般斜直线或在C处有突变P在C处有尖角或在C处无变化C在C处有突变

总结---在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征剪力图的特征一段梁上的外力情况弯矩图