北师大七年级数学下册三角形课堂教学

适用教材：七年级数学（下册），北京师范大学出版社（2012年版）授课教师：第三章：三角形在这些优美的画面中，红线标出来的都是什么几何图形？一起来欣赏01:04:042学习目标认识三角形探索三角形全等的条件，并体会分类思想利用尺规做全等三角形运用三角形全等解决一些实际问题，感受数学与生活实际的密切联系进一步积累活动经验，发展推理能力01:04:04301:04:044第三章：三角形第一节：认识三角形第二节：全等三角形第三节：用尺规做三角形第四节：利用三角形全等测距离01:04:045本章知识框架01:04:046第一节：认识三角形（一）三角形的基本性质（二）三角形三个内角之间的关系（三）三角形三条边之间的关系（四）三角形的分类（五）三角形的三条重要线段01:04:047第一节：认识三角形什么是三角形？首尾尾首尾首不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。想一想：能否把“不在同一条直上”省略？01:04:048三角形有三条边、三个内角、三个顶点、三条线段首尾顺次相接。2、三角形有什么共同的特点？由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。1、什么叫做三角形？3、如何表示三角形？三角形可用符号“△”表示，如右图三角形记作：△ABC4、三角形的边可以怎么表示？如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示cABCacb（一）三角形的基本性质如图是用三根细棍组成的图形，其中符合三角形概念的图形（

）D巩固练习DACB01:04:049在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180˚，你还记得这个结论的探索过程吗?1ABD2C如右图,我们撕下两个角，把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置。如果只撕下三角形的一个角，你也能得到上面的结论吗？01:04:0410（二）三角形三个内角之间的关系利用准备好的三角形撕下一个角摆一摆，怎样摆那个撕下的角？才能得到三角形的内角和等于180°摆出撕下的∠1，让∠1与∠2的顶点重合，一条边与∠2一边重合，∠1的另一条边与边b是平行的。⌒12⌒⌒3ba⌒401:04:0411（二）三角形三个内角之间的关系通过刚才的活动，给我们的启示：过三角形的一个顶点作平行线，把三角形的内角转化成平行线的同旁内角，也能证明三角形的内角和等于180°01:04:0412（二）三角形三个内角之间的关系2、如图,求△ABC的度数.解：∵∠Ａ+∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°∴３ｘ＋２ｘ＋ｘ＝１８０°∴ｘ＝３０°∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ＝６０°∠C＝３０°1、在△ABC中，（1）∠C＝70º，∠A＝50º，则∠B＝_______度；（2）∠B＝100º，∠A＝∠C，则∠C＝_______度；604001:04:0413巩固练习01:04:0414（三）三角形三条边之间的关系元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有绿色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。利用你发现的规律填空AB+ACBCAB+BCACAC+BCABABC由此，你发现在一个三角形中任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系了吗?＞＞＞01:04:0415（三）三角形三条边之间的关系在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？CBA三角形任意两边之和大于第三边！01:04:0416ABCAB+AC＞

BCAB+BC＞

ACAC+BC＞

AB（三）三角形三条边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边BC-AB＜

ACAC-AB＜

BCAB-AC＜

BC三角形任意两边之差小于第三边01:04:0417一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为

。若△ABC的三边为a，b，c，则化简|a+b-c|–|b-a-c|的结果是（）。（A）

2a-2b（B）

2a+2b+2c（C）

2b-2c（D）

2a-2c25C巩固练习01:04:0418有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？如果都不能，那么多长的木棒能？解：（1）取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形；（2）取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。（3）由于两边之差为8-5=3cm，两边之和为8+5=13cm，由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边可知，第三边须大于3cm，小于13cm。巩固练习

猜一猜（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由。01:04:041901:04:0420

猜一猜（2）下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较。思考下列问题1、三角形按角怎么分？2、什么叫锐角三角形、直角三角形、钝角三角形?3、直角三角形怎样表示？4、直角三角形的两个锐角有什么关系？01:04:0421

想一想三角形的分类锐角三角形三个内角都是锐角钝角三角形有一个内角是钝角直角三角形有一个内角是直角直角边是_____和____，斜边是

。3、直角三角形的两个锐角ABCRt∆ABCBCACAB互余1、2、直角三角形ABC用符号表示为

01:04:0422（四）三角形的分类直角三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形1、下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内2、一个三角形两内角的度数分别如下，那么它是什么三角形？

（1）30°和60°（）

（2）40°和70°（）

（3）50°和30°（）

（4）45°和45°（）③⑤⑥①④②⑦01:04:0423巩固练习①如图所示，以AB为边的三角形有哪些？

②如图所示，以∠E为内角的三角形有③图中有几个？分别是哪些？△ABD、△ABE、△ABC△ACE、△ABE、△ADE1、按要求回答△ABC、△ABD、△ABE、△ACE、△ACD、△ADE01:04:0424巩固练习3、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D（1）图中有几个直角三角形？_______

是哪几个？（用符号表示出来）

__________________

（2）∠1和∠A有什么关系？∠2与∠A呢？为什么？3个Rt∆ADC、Rt∆BDC、Rt∆ACB∠1+∠A=90°∠2=∠A理由：∵∠1+∠A=90°

∠1+∠2

=90°∴∠2=∠A2、在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，求这个锐角的度数。25巩固练习01:04:04如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔最近时，∠ACB是多少度？E01:04:0426巩固练习01:04:0427（五）三角形的三条重要线段三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。BACD12AD是角平分线，∠1=∠2BACDAD是中线，BD=DCBACDAD是中线，AD⊥BC01:04:0428角平分线的性质在纸张上分别画一个锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。（1）分别画出每个三角形的三条角平分线；（2）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的关系？三角形的三条角平分线交于三角形内同一点（五）三角形的三条重要线段在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。01:04:0429如图在三角形ABC中，AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E点，若∠BAC=40°，则∠EDA=______。

ABCDE巩固练习提示：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD∠CAD=∠EDA两平行线间内错角相等20°01:04:0430中线的性质在纸张上分别画一个锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。（1）分别画出每个三角形的三条中线；（2）在每个三角形中，这三条中线之间有怎样的关系？三角形的三条中线交于三角形内同一点（五）三角形的三条重要线段在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。01:04:0431如图AD是△ABC的BC边上的中线，DE是△ADC的AC边上的中线，若△ABC面积等于4，则△ADE的面积等于_________。巩固练习提示：S△=底×高÷21S△ABC=2S△ADCS△ADC=2S△ADE01:04:0432高线的性质在纸张上分别画一个锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。（1）分别画出每个三角形的三条高线；（2）在每个三角形中，这三条高线之间有怎样的关系？（五）三角形的三条重要线段从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高。OABCDEFABCDDABCEF锐角三角形的三条高线交于三角形内同一点直角三角形的三条高线交于直角顶点钝角三角形的三条高线不相交01:04:0433钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点（五）三角形的三条重要线段钝角三角形的三条高ABCDFEO01:04:0434如图在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小。ABCDE解：∵AD是△ABC的高∴∠ADC＝90°∵DC+∠C+∠DAC=180°∴∠DAC=180°-（∠ADC+∠C）=180°-

90°-

40°=

50°∵AE是△ABC的角平分线且∠BAC=82°∴∠CAE=∠BAC÷2=41°∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°=9°巩固练习01:04:0435第二节：全等三角形（一）什么是全等图形（二）什么是全等三角形（三）全等三角形的表示方法（四）全等三角形的性质（五）三角形全等的条件01:04:0436观察图形01:04:0437同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。回忆：举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?能够完全重合的两个图形叫做全等图形.（一）什么叫全等图形01:04:04381.两个能够完全重合的图形称为_________.2.全等图形的_______和________完全相同.3.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案____全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片_____全等图形（填“是”或“不是”）.全等图形形状大小是不是巩固练习全等不等于相等01:04:0439能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

互相重合的顶点叫做对应顶点；

互相重合的边叫做对应边；

互相重合的顶点角叫做对应角。（二）什么是全等三角形01:04:0440（三）全等三角形的表示方法全等符号：“≌”△ABC≌△A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’，∠B和∠B’，∠C和∠C’01:04:0441（四）全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应边相等，对应角相等。∵△ABC≌△A’B’C’

∴AB=A’B’,BC=B’C’,AC=A’C’∴

∠A=∠A’

∠B=∠B’

∠C=∠C’01:04:0442ABCDABCD在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？有公共边的，公共边是对应边（四）全等三角形的性质01:04:0443（四）全等三角形的性质CDABEBDAC有公共角的，公共角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？01:04:0444（四）全等三角形的性质PABDCABCDEF一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？01:04:0445（四）全等三角形的性质有公共边的，公共边是对应边.有公共角的，公共角是对应角.有对顶角的，对顶角是对应角.一对最长的边是对应边.一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角.一对最小的角是对应角.在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？01:04:0446观察图中的全等三角形应怎样表示？△ABC≌△DEF记全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上巩固练习01:04:0447请指出图中全等三角形的对应边和对应角如右图中△ABD≌△CDB,则

AB=____；

AD=

____；

BD=____；∠ABD=

______；∠ADB=______；∠A=______；CDCBBD∠CDB∠CBD∠CAB与CD、AD与CB、BD与DB∠ABD与∠CDB、∠ADB与∠CBD、∠A与∠C巩固练习01:04:04481、能够______的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相______的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示______顶点的字母写在______的位置上.ABCDE2、如图△ABC≌△ADE若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=______；

∠DAB=______。

重合重合重合相对应∠BAC∠EAC巩固练习01:04:0449如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm，求DE的长.∵△ABD≌△EBC∴AB=EB、BD=BC∵BD=DE+EB∴DE=BD-EB

=BC-AB

=5-3=2cm巩固练习01:04:0450请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、△ABE≌△ACF对应角是：∠A和∠A、∠ABE和∠ACF、∠AEB和∠AFC；对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、△BCE≌△CBF对应角是：∠BCE和∠CBF、∠BEC和∠CFB、∠CBE和∠BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、△BOF≌△COE对应角是:∠BOF和COE、∠BFO和∠CEO、∠FOB和∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。巩固练习01:04:0451右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？巩固练习01:04:0452（五）三角形全等的条件一般三角形全等的条件：1．定义（重合）法；2．SSS（边边边）；3．ASA（角边角）；4．AAS（角角边）；5．SAS（边角边）.直角三角形全等特有的条件：6．HL（斜边、直角边）.包括直角三角形不包括其它形状的三角形01:04:0453（五）三角形全等的条件三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。例：如图，AB=AD,CB=CD。求证:AC平分∠BAD。ADCB证明：在△ABC和△ADC中

AC=ACAB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC∴AC平分∠BAD01:04:0454（五）三角形全等的条件两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。例：D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,

试问AD=AE吗？为什么？EDCBA解：AD=AE理由：在△ACD和△ABE中∠B=∠CAB=AC∠A=∠A∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE01:04:0455（五）三角形全等的条件两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。例：AB与CD相交于O点，O是CD的中点，∠A=∠B，求证：△AOC≌△BOD。证明：∵O是CD的中点

∴CO=OD在△AOC与△BOD中∠A=∠B∠AOC=∠BODCO=OD∴△AOC≌△BOD（AAS）01:04:0456（五）三角形全等的条件两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。例：AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。求证：DC∥AB证明：在△ABO和△CDO中

OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）∴∠A=∠C∴DC∥ABAODBC01:04:0457（五）三角形全等的条件在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。例：OB⊥AB、OC⊥AC，垂足分别为B、C，OB=OCAO平分∠BAC吗？为什么？OCBA答：AO平分∠BAC理由：∵OB⊥AB,OC⊥AC∴∠B=∠C=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

OB=OCAO=AO∴Rt△ABO≌Rt△ACO（HL）∴∠BAO=∠CAO∴AO平分∠BAC01:04:0458本节知识梳理1、什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？2、全等三角形有哪些性质？3、三角形全等的判定方法有哪些？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。SSS、ASA、AAS、SAS、HL（RT△）01:04:0459已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD（AAS）∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD（SAS）∴AC=AD巩固练习01:04:0460已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上。求证：BE=AD

EDCAB变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE（SAS）∴BE=AD巩固练习01:04:04611、已知：AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADF≌△CBE

2、已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D.求证：AE＝ED提示：找两个全等三角形，需连结BE.提示：SAS巩固练习01:04:04623、如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（

）

A、5对B、4对C、3对D、2对

提示：关键证明△ADC≌△BFCB4、如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F。求证：BF是△ABC中边上的高.巩固练习01:04:04635、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F.提示：由条件易证△ABC≌△CDA，从而得知∠BAC＝∠DCA，即：AB∥CD.01:04:0464第三节：用尺规做三角形豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮他画出来吗？01:04:0465三角形的基本元素是＿＿＿和＿＿＿。你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？自己动手试一试！你会用尺规作一个角等于已知角吗？边角你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？知识回顾01:04:04661、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。已知：∠α，∠β，线段c。求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。αβc你能作出这个三角形吗？αβABCc假设这个三角形已作出第三节：用尺规做三角形01:04:0467作法：（1）作∠DAF=∠α；（2）在射线AF上截取线段AB=c；（3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。DAFBCEαβABCc第三节：用尺规做三角形01:04:0468回顾刚才作三角形的顺序角角夹边夹边角角还有没有其他的作法？1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。第三节：用尺规做三角形01:04:0469BCDA作法：（1）作一条线段BC=a（2）以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α（3）在射线BD上截取线段BA=c（4）连接AC△ABC就是所求作的三角形。BACacααac第三节：用尺规做三角形