恒定电场习题解答

习题3，该轴平行于3-1半径为a的均匀极化介质球以它的一条直径为轴匀速旋转，角速度球的极化强度P,求：，该轴平行于由于旋转形成的面电流密度分布；通过球面上=0的半圆周也即球的一条“经线”的总电流；)的电流分别是通过这条“经线”的上半段( 0ww/2)和下半段(/2W<)的电流分别是多少？解：由于介质球均匀极化，极化强度为常矢量，可设Pa解：由于介质球均匀极化，极化强度为常矢量，可设PazP。介质球表面的极化面电荷密度为ppsppsP?nazP?arPCOS球面上任一点的线速度为vwvwrazaraaasin旋转时介质球表面的极化电荷形成面电流，其密度为(2)通过球面上JS PSV aasinPcos-Pasin22(3(2)通过球面上JS PSV aasinPcos-Pasin22(3)通过上半段(0w0的半圆周的总电流为ad2的电流为7t0Js?aw/27tsin2d0-P27t-P27ta22sin2d0丄Pa22通过下半段(/2通过下半段(/2ww)的电流为12nPaQn2d223-2如题3.23-2如题3.2图所示的平行板电容器中充满线形介质,是常数,axb(a、b为常数)。若已知电容器中恒定漏电流为Jx,求电容器中的电荷密度题3-2图解：由导电媒质的本构关系可知，两极板之间的电场强度为E虫x于是可得电位移矢量ax(axb)Jx电容器中的电荷密度为p?DaJx3-3内、外导体半径分别为a和b的同轴电缆，内外导体之间填充两层电容率分别为 i和2、电导率分别为 1和2的介质，介质分界面半径为 C。当外加电压为U时，求两种介质中的电场及分界面上的自由电荷密度。解：由同轴电缆的轴对称特点可知，电位、电场强度和电流密度仅是半径的函数，电流密度和电场强度沿半径a方向。设内外导体间单位长度的漏电流为I，由于在媒质分界面上电流连续，因此可写出JiiEi,J22E22n2n于是可得EiIE2 1—2n12n2内外导体间的电压为cbI cI bUaEidcE2dInInac2n1a2n2c解得I2nu1,c1.bInIn1a2c最后得出两种媒质中的电场强度分别为E1 a(ac)1c1bInIn 11a2cuE2a(cb)1,c1,bInIn 2ia2c两种媒质分界面上的自由电荷密度为S2ES2E2(C) 1E1(C)丄lnC丄lnbc3-4内、外导体半径分别为a和b的同轴电缆，内外导体之间以过轴线的平面为分界面，一半填充电容率为1、电导率为1的媒质，一半填充电容率为2、电导率为2的媒质，求该电缆单位长度的电容和漏电导以及单位长度储存的电能和损耗功率。解：由该同轴电缆的对称特点可知，电位、电场强度和电流密度仅是半径 的函数，电流密度和电场强度沿半径a方向。设内外导体间单位长度的漏电流为I，由于在媒质分界面上电场处于切向，应满足切向连续，因此有E1E2E。由可得内外导体间的电压为单位长度的漏电导为J11E1,n(J1bEdaGoJ22E2J2)可得内外导体间的电压为单位长度的漏电导为J11E1,n(J1bEdaGoJ22E2J2)n1 2)E由静电比拟关系可得单位长度的电容量为Co单位长度的静电能为1122)7C2)lnb

a.1ibIna2)\1ibInaE2d2)ban2ban2I27t1 2)U22訂a单位长度的损耗功率为PoGoU27tPoGoU27t2)U2a3-5设半径为Ri和R2的两个同心球面之间填充着0(1鲁）的材料，K为常数,求两球面之间的电阻。解：利用静电比拟原理，可设设Ri球带电量为q设Ri球带电量为q,则两球面间的电场为Erq4nr24nor(rK)两球面间电压为R2EdrRiq4n0KR2EdrRiq4n0KR21Ri(14n0K["ln(rk)]R2InoK民（RK）RRK)两球面间电容为4n0KlnR2(RK)R1(R2K)由静电比拟原理可得两球面间电阻为K)RK)R丄亠®G4n0KRMR2K)3-6如题3.6图所示的平行板电容器，极板面积为 S,板间距离为d。两极板之间正中间三分之一的空间填充电容率为 、电导率为 的介质，两边各三分之一的空间是空气。当外加电压为U时，求该电容器的电容和漏电导。Tu ,00题3-6图解：由介质分界面的边界条件可知，电容器内各部分电场强度均匀分布，即于是，极板表面各部分的电荷密度分别为oE、oE，极板上的总电量为oE)oE)SU3-(2o )SQ3(oE该电容器的总电容为(2o)S3d漏电导为S3dS3d3-7如题3.7图所示的扇形薄金属片，电导率为，厚度为，扇角为，内外半径分别R'。题3-7图u时，金属片中的电场为解：(1u时，金属片中的电场为EU极板上带电量为qsqsSDSES-电容量为cuq由静电比拟原理，可得上下方向的电阻即为RoGU时，金属片U时，金属片Ea亠内导体弧面带电量为Q sQ sS E(ri)riIn—

ri两弧面间电容为由静电比拟原理，可得沿半径方向的电阻即为In(D/rJU，金属片内电位（3U，金属片内电位满足拉普拉斯方程:两直边之间的电容量为s两直边之间的电容量为sdSr21CdUr1由静电比拟原理，可得两直边之间的电阻即为22解得C1C2代入边界条件 （0）U,()0，解得UG —,C2U于是得到电位解为UU直边上电荷密度为1Us0/In互ri3-8闪电在t 0时刻击中一个半径为a0.1m的有耗介质球（=10S/m，r=1.2)，求电荷从体积内扩散到把1mC的电荷散落在球上。假设t0时刻时电荷在球内均匀分布,求电荷从体积内扩散到表面上的暂态过程中任意时刻的电场强度和电流密度分布。解：由题意，t0时刻时，球内的电荷密度为3(C/m3)q 3103(C/m3)3 34na/3 4n(0.1)

电荷密度随时间变化的规律可由电流连续性方程、媒质的本构关系即高斯定律确定,t?J?(E)解方程得10-_t3 1.2ot3 9.421011toeee4n4n由任意时刻的高斯定律可得任意时刻球内任意点的电场强度为1 4n34n01.2r2 〒1 9.421011ta1 9.421011tar re4.8n0ar7.5910re119.421011t(V/m)任意时刻的电流密度分布为JE ar7.51O10re9.4210叫(A/m2)3-9在电导率为 的无限大均匀漏电介质里有两个导体小球，半径分别为 r1和「2,小球间距d(d>>r1,d>>r2,即两球之间的静电感应可以忽略) ，求两小球间的电阻 R。解：导体小球为等势体，设两球分别带 q和-q,由于d>>r1,d>>r2，因此，在求解球表面和球外的电位时，可忽略两球间的静电感应，把 q和-q看作是各自位于球心的点电荷，于是可求得q4n(dr1)qq2 B4nr2 4n(da)两球之间电压为LL4n r1 da于是得两球之间电容为小 q ,“1111、C 4n(-)U石d r1 r2 dr2由静电比拟原理，可得两球之间电阻为111111R-(-)G4nr1r2 d r1 da3-10一个半径为a的导体球接地器埋入地下， 球心距地面h（h>a），考虑到地面的影响,求该接地器的接地电阻，设土壤的电导率为 。（a）原系统 （b）镜像系统 （c）静电比拟系统题3-10图解：考虑地面的影响，可采用镜像法来求解下半空间的电位，镜像系统如题 3-10（b）图所示。需要注意的是（1）构造镜像系统时使用了恒定电场的边界条件 J1nJ（0），En E2t，因此其镜像电流应如图（b）中所示，而与图（b）对应的静电比拟系统中镜像电荷应是Q而不是-Q;（2）要使图（b）的下半空间电流分布与图（a）相同，注入的总电流须是图（a）的2倍；而镜像系统和原系统在求解区域电位必相同，因此，求得的电导必是原系统电导的2倍。由图（b）的静电比拟系统图（c）可求出土壤中导体球对无穷远处（零参考）的电位为q q4na4n(2ha)注意：两个导体球是连在一起的，因而电位相等。4n4na(2ha)h2114na4n(2ha)由静电比拟原理，可得原接地导体球的接地电导为G22na(2ha)h接地电阻为h2na(2ha)3-11厚度为d的无限大均匀导电媒质板上垂直地插有两根无限长金属圆柱形电极，两

圆柱的轴线相距D,半径为a，D>>a;两电极间电压为U,求两电极之间的电流。题3-11图解：由于媒质板与两平行圆柱的电场强度平行，按照电场强度切向连续的边界条件，

媒质板内外的电场强度和电位分布相同。 因此，先求没有媒质板时的电位。 设两圆柱导体单位带电量分别为i和-i,取两圆柱轴线的中分面为电位零参考，则两圆柱间电压为U2(a) -^12noa解得no解得noUinD厚度为d的导体圆柱表面的带电量为idnoUdid.Daina根据静电比拟原理,q与根据静电比拟原理,q与I是一对比拟变量，又由于D>>a，因此，两电极之间的电流nUdnUd.Da,Din ina a3-12半径为a,长为i的管形接地器直立于电导率为 的土壤中，管口与地面平齐，考图所示，其中利用了边界条件 J1nJ图所示，其中利用了边界条件 J1nJ2n（ °）, Eit E2t。而图（b）的电位解可用静电比2t。（b）镜像系统题3-12图3-12(3-12(b)拟法求解，其静电比拟系统如图（ C）所示。设导体管单位长度带电量为 i，可视为位于轴线上，取无穷远为零参考，于是，管外任一点电位为管表面单位（(,z)a,z0)(a,0)若Ia，取l2I II47Rdz l4n.(zz)2-In4n(zI)2 2(zI)(zI)2(zl)2dZII^/FVl4n 厂a2—Ia2 2I...I2 a2I2，则导体管表面电位近似为—In?2na该管的电容为4niin

a由静电比拟原理,可得原接地导体管的接地电导为由静电比拟原理,GG2nIG3戸In—a接地电阻为1 ,2IR In2nIa3-13在很深的湖底上方高h>>a。假设湖底为良导体平面，湖水电导率为h3-13在很深的湖底上方高h>>a。假设湖底为良导体平面，湖水电导率为，求单位长度的导线与湖底之间的电阻。2a「Of2a7//7/7Z77(a)7//7/7Z7