用MATLAB求二元泰勒展开式

第九章用MATLAB求二元泰勒展开式1级数求和命令S=symsum(u,t,a,b)的功能是计算级数和S=工u。其中u是包含符号变量t的表达式，是待求和级数的通项。t=a当U的表达式中只含一个变量时，参数t可省略。例9.11.1判断下列级数是否收敛，如收敛则求其和：艺1，艺丄，刀 x2nn2 (1+x2)nn=1 n=1 n=0解创建符号变量n和x,用symsum命令计算各级数的和：symsnx/symsum(1/n,1,inf)/ans=inf知级数艺一发散至无穷大。nn=1TOC\o"1-5"\h\zsymsum(1/nA2,1,inf) /ans=1/6*piA2夕1 兀2知级数乙一收敛，且其和为一n2 6n=1Ex2，由于其通项中包含两个变量x和n,故使用symsum命令时须指定求(1+x2)nn=0和变量是n：un=xA2/(1+xA2)An; /symsun(un,n,0,inf)/ans=1+xA2得和函数为1+xA2对有些级数，symsum命令不能求得其和，从而也无法得知其敛散性。此时，可使用MATLAB的数值计算功能进行处理。例9.11.2试求级数艺ln(1+丄)的和n2n=1解用symsum命令求解：symsn/symsum(log(1+1/nA2),1,inf)/

ans=sum(log(1+1/nA2),n=1・・inf)此结果表示symsum命令不能求得其和。我们转而采用数值方法计算部分和S=£ln(l+丄)。将下面的程序存入一个m文件中：n k2k=1clearalln=9000; %部分和的项数Sn=0;fork=1:nSn=Sn+log(1+1/kA2);endfprintf(‘Sn=%f,(n=%d)',Sn,n)执行该程序，显示结果为Sn=1.301735，(n=9000)再对程序中的变量n分别赋值n=9000,n=900000,n=9000000并执行程序，得计算结果为：Sn=1・301835，(n=9000)Sn=1・301845，(n=900000)Sn=1・301846，(n=9000000)由此看出，随着n增大，Sn趋于1.30185。故知该级数收敛，且其和约为1.301852．泰勒级数展开泰勒级数展开命令是taylor,其调用格式为r=taylor(f,n,x,a).该命令的功能是将符号函数f展开成(x-a)的n-1阶泰勒多项式。其中x是待展开的符号变量，其缺省值为最接近x的字母。n的缺省值为n=6,a的缺省值为a=0。x例9.11.3将 分别展开为x和x-1的幕级数。1+X2解首先创建符号变量x及函数f：symsx/f=x/sqrt(1+xA2);/计算关于x展式的前8项：taylor(f,8)ans=x-1/2*xA3+3/8*xA5-5/16*xA7计算关于x-1展式的前3项：taylor(f,3>x,1)/ans=x<1+X21/2*2A(1/2)+1/4*2A(1/2)*(x-1)-16/3*2A(1/2)*(x-1)/2x<1+X2(x—1)2+...。3．傅里叶级数展开到目前为止，MATLAB中还没有专门计算傅里叶展开式的命令。但根据尤拉-傅里叶公式,用int命令很容易算出傅里叶级数的系数：symsnxa0=int(f,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi其中f为含符号变量x的待展开函数。类似可得，对周期为2l的函数，计算其傅里叶系数的命令为a0=int(f,-l,l)/lan=int(f*cos(n*pi*x/l),-l,l)/lbn=int(f*sin(n*pi*x/l),-l,l)/l.例9.11.4用MATLAB求f(x)二］］八［'"常数k丰0)的傅里叶展开式。［k,0<x<2,解symsknx/a0=int(k,x,0,2)/a0=kan=int(k*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2/an=sin(n*pi)*k/n/pibn=int(k*sin(n*pi*x/2),x,0,2)/2/bn=-k*(cos(n*pi)-1)/n/pi注意MATLAB不能把sin(n*pi)化为0,也不能把cos(n*pi)化为(-1)n例9.11.5本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的过程。取例9.11.4中所得傅里叶级数的前m项作和，记为S这是m个正弦波的合成波。执行下面程序可观察到，随着m逐渐m增大，S的波形逐渐逼近f(x)(周期性延拓后)的波形，图1与图2分别是该程序执行中m当m=3和m=6时的快照m=40;k=1;symsxholdonSm=k/2;forn=1:mfn=2*k*sin((2*n-1)*pi*x/2)/(2*n-1)/pi;Sm=Sm+fn;clfsubplot(2,1,1)ezplot(fn,[-6,6])subplot(2,1,2)ezplot(Sm,[-6,6])ifn<6pauseelsepause(5/n)endend图1420246O6