（新教材）【人教A版】必修一2.3.2（数学）

第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用类型一解简单的分式不等式【典例】1.不等式>0的解集是________.

2.已知关于x的不等式>0的解集是,则a=________.

3.解不等式≤2.【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再求解.【解析】1.因为>0,所以(x-2)(x+4)<0,故-4<x<2.答案:{x|-4<x<2}2.>0等价于(ax-1)(x+1)>0,由题意得a>0,且-1和是方程(ax-1)(x+1)=0的两个根,所以 =0,所以a=2.答案:23.移项得-2≤0,左边通分并化简得 ,可转化为所以x<2或x≥5,所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.【内化·悟】1.解分式不等式的思想方法是什么?提示:转化思想.2.解分式不等式要注意什么?提示:分母不为零.【类题·通】解分式不等式的关注点1.解分式不等式的基本思想是转化为整式不等式,根据是实数运算的符号法则,分式不等式经过同解变形可化为四种类型,解题思路如下:(1)>0⇔f(x)g(x)>0.(2)<0⇔f(x)g(x)<0.(3)≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)=0.(4)≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)=0.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.【习练·破】不等式≥0的解集为 (

)【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0,解得x<-或x>1或x=1,所以原不等式的解集为 .类型二一元二次不等式的实际应用【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】由题意,构建函数关系或不等式解决问题.【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%).依题意:y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0<x<10).(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).依题意得:a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%化简得,x2+40x-84≤0,所以-42≤x≤2.又因为0<x<10,所以0<x≤2.所以x的取值范围是{x|0<x≤2}.【内化·悟】解决实际应用问题的一般步骤是什么?提示:审题,建模,解模,检验作答.【类题·通】解不等式应用题的四步骤(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.(3)求:解不等式.(4)答:回答实际问题.特别提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120(0≤t≤24).令x=,则t=,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12),所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x<80,得x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<<8,,所以每天约有8小时供水紧张.【加练·固】有一批净水机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类净水机,问去哪家商场购买花费较少?【解析】设该单位需购买x台净水机,在甲、乙两商场的购货款的差价为y元,则因为去甲商场购买共花费(800-20x)x,据题意,800-20x≥440,所以1≤x≤18,去乙商场购买共花费600x,x∈N*,所以y= (x∈N*)= (x∈N*)得 故若买少于10台,去乙商场花费较少;若买10台,去甲、乙商场花费一样;若买超过10台,去甲商场花费较少.类型三不等式的恒成立问题角度1在R上恒成立问题【典例】若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】转化为二次项系数符号与判别式符号来解决.【解析】要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0, ⇒-4<m<0.所以-4<m≤0.【素养·探】本例主要考查不等式的恒成立问题,突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例若把不等式改为“mx2-mx+1>0”,则m的取值范围为________.

【解析】要使mx2-mx+1>0恒成立,若m=0,显然1>0,满足题意;若m≠0,则 ⇒0<m<4.所以0≤m<4.答案:{m|0≤m<4}角度2在给定区间上的恒成立问题【典例】若x∈{x|1<x<2}时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】转化为二次函数问题,结合图象解决.【解析】设y=x2+mx+4,图象开口向上,因为当x∈{x|1<x<2}时,不等式x2+mx+4<0恒成立,所以需满足x=1与x=2时的函数值同时小于或等于0,即 解得m≤-5.【类题·通】一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法1.在R上恒成立问题ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔

ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔

2.在给定区间上的恒成立问题(1)a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.(2)a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.【习练·破】已知不等式mx2-2x+m-2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立,求m的取值范围.【解析】当m=0时,-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立;当m≠0时,