中考数学复习线段角相交线和平行线

第五章基本图形（一）第20课线段、角、相交线和平行线1．线段沿着一个方向无限延长就成为

；线段向两方无限延长就成为

；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．2．直线的基本性质：

．

线段的基本性质：

，连结两点的

，叫做两点之间的距离．

要点梳理射线直线两点之间线段最短线段的长度两点确定一条直线3.有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．

(1)1周角＝

平角＝

直角＝

，1°＝

，

1′＝

.

(2)小于直角的角叫做

；大于直角而小于平角的角叫做

；度数是90°的角叫做

．4.两个角的和等于90°时，称这两个角

，同角(或等角)的余角相等．两个角的和等于180°时，称这两个角

，同角(或等角)的补角相等．

24360°60′60″锐角钝角直角互为余角互为补角

5．角平分线和线段中垂线的性质：角平分线上的点到

．

线段中垂线上的点到线段

．

到角两边的距离相等的点在角平分线上．

到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上．6．两条直线相交，只有

．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角

．角两边的距离相等两个端点的距离相等一个交点相等7．两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相

，其中的一条直线叫做另一条直线的

，它们的交点叫做

．

从直线外一点到这条直线的

，叫做点到直线的距离．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中

．8．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的

，也叫线段的中垂线．9．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行．垂直平分线垂直垂线垂足垂线段的长度垂线段最短10.平行线的判定及性质：

(1)判定：

①在同一平面内

的两条直线叫做平行线；

②

相等，两直线平行；

③

相等，两直线平行；

④

，两直线平行；

⑤在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行；

⑥平行于同一直线的两直线平行．

(2)性质：

①两直线平行，

；

②两直线平行，

；

③两直线平行，

．不相交同位角内错角同旁内角互补同位角相等内错角相等同旁内角互补1.正确理解线段、射线、直线的概念

点通常表示一个物体的位置，无大小可言．点动成线，线有弯曲的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两边无限延伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线，射线是直线的一部分，向一方无限延伸，有一个端点，线段也是直线的一部分，有且只有两个端点．

“延伸”和“延长”是两个不同的概念．线段不能延伸，但可以延长；直线与射线是可以无限延伸，线段向一方延长的部分，叫做线段的延长线，指定哪个方向延长就是向哪个方向延长；反向延长的部分叫做反向延长线，如延长线段AB即为反向延长线段BA.[难点正本疑点清源]

线段的延长线即指线段向一方延长的部分，延长线常画成虚线．线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺序，以便确定延长方向．注意：一条线段可以延长，但线段的延长线不是原线段的一部分．

2．理解同一平面内两条直线的相互位置关系

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行．“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线，如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行．基础自测1．(2011·桂林)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是(

)

解析：在B图中，∠1、∠2有相同的顶点，且角的两边互为反向延长线，∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2.B2．(2011·茂名)如图，已知AB∥CD,则图中与∠1互补的角有

(

)A．2个B．3个

C．4个D．5个解析：∵AB∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°.

又∴∠CFD＝180°，∴∠1＋∠EFD＝180°，所以与∠1互补的角有∠AEF、∠EFD共2个．A3．(2011·金华)如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是

(

)A．30°B．25°C．20°D．15°

解析：∴AB∥CD，又∠3＋∠2＝45°，∴∠3＝∠1＝20°，∴∠2＝45°－∠3＝45°－20°＝25°.B4．(2011·绍兴)如图，已知AB//CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°，则∠BED

的度数是(

)A．17°

B．34°C．56°

D．68°

解析：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝34°，∠BED＝∠ABE.

又∵BC平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABC＝2×34°＝68°，∴∠BED＝68°.D5．(2011·黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为(

)A．5B．6C．7D．8

解析：平面上不同的几个点最多可确定条直线，则＝21，n2－n－42＝0，(n－7)(n＋6)＝0，

n＝7或n＝－6(舍去)，所以n＝7.C题型分类深度剖析

题型一线段的计算

【例1】已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE：AD.

解：如图，设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.

又AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.探究提高

在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：

①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；

②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．知能迁移1在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中点，求DB的长度．

解：(1)当点C在线段AB延长线上，如图：有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)．

(2)当点C在线段AB上，如图：有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．综上，DB的长度为2cm或5cm.题型二相交线【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD＝42°，则∠AOC＝________.

解析：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.∴∠AOC＋∠EOD＝180°－∠AOE＝90°.∵∠EOD＝42°，∴∠AOC＝90°－42°＝48°.探究提高当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含的“邻补角和对顶角”，以帮助解题．48°知能迁移2

(1)(2010·宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是(

)A．125°B．135°C．145°D．155°

解析：∵OE⊥AB，∴∠EOA＝90°.∵∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠COE＝∠EOA＋∠AOC＝90°＋45°＝135°.B(2)如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是(

)A．20°B．40°C．50°D．80°

解析：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×100°＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°.C题型三平行线【例3】

(1)如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断

BC∥AD的是(

)A．∠3＝∠4B．∠A＋∠ADC＝180°C．∠1＝∠2D．∠A＝∠5

解析：BC、AD被BD所截，当∠1＝∠2时，BC∥AD，应选C.C(2)如图，a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，求∠1＋∠2＋∠3之和．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解:思路一：延长MP交b于Q，因为a∥b，所以∠1＝∠4，故∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠2＋∠3，△PQN的三外角之和等于360°.思路二：连接MN，则原∠1被分成∠5、∠6之和，原∠3被分成∠7、∠8之和，又∠5＋∠8＝180°，∠2＋∠6＋∠7＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3

＝(∠6＋∠2＋∠7)＋(∠5＋∠8)＝360°.思路三：过P画c∥a，因为a∥b，所以c∥b，原∠2被分成∠9、∠10之和，因为∠1＋∠9＝180°，∠3＋∠10＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.探究提高

本例中集中给出了多种辅助线的作法，以构造平行线或构造“三线八角”基本图形为主要原则，利用平行线的性质求角度．知能迁移3

(1)(2011·德州)如图，直线l1∥l2,∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于(

)A．55°B．60°C．65°D．70°解析：如右图，在△ABC中，∠BAC＝∠2＝75°，∠ABC＝∠1＝40°.∴∠3＝180°－∠BAC－∠ABC＝65°.C(2)如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是(

)A．75°

B．65°

C．55°

D．50°解析：如图，过点B画，c∥a.∵a∥b，∴b∥c.∴∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∴∠4＝75°，∠5＝40°，∴∠3＝180°－∠4－∠5＝65°，选B.B题型四与直线交点个数有关的探究问题【例4】阅读下列材料并填空：

(1)探究：平面上有n个点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线，平面上有2个点时，可以画＝1(条)直线；平面内有3个点时，一共可以画＝3(条)直线；平面上有4个点时，一共可以画＝6(条)直线；平面内有5个点时，一共可以画

条直线……；平面上有n个点时，一共可以画

条直线．＝10探究提高

此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些问题会有所帮助．(2)迁移：某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行＝1(场)比赛，有3个球队时，要进行＝3(场)比赛，有4个球队时，要进行__________场比赛．＝6知能迁移4

(1)(2011·柳州)如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是(

)A．1条B．2条

C．3条D．4条解析：有三条线段AB、AC、BC.C(2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？

解：共握手＝15次，问好6×5＝30次．13．因概念理解不清，造成角的计算错误试题如图，已知：∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度数．学生答案展示∵OD是∠AOB的平分线，∴∠BOD＝∠AOB.∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC，∠EOC＝∠BOC，∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠EOC＝×180°＝60°.

答：∠EOC的度数是60°.易错警示剖析若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求其他角的度数，因为给出度数的角∠DOE不能运用角平分线，也不知∠DOE与其他角的任何关系，因此∠DOE＝72°，这个条件用不上，那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法，当某个量不知道或不好表示时，我们常用未知数把这个量设出来，其他的量也都可以用这个未知数表示出来，再列出方程解出这个未知数．当然，未知数的设法有多种．正解设∠AOD＝x，∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠BOD＝∠AOD＝x.

又∵∠DOE＝72°，∴∠BOE＝72°－x.∵∠BOE＝∠EOC，∴∠EOC＝2×(72°－x)．∵∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°，∴x＋x＋(72°－x)＋2×(72°－x)＝180°.∴x＝36°，即∠AOD＝36°.∴∠EOC＝2×(72°－36°)＝72°.批阅笔记

本题采用间接设未知数的方法，设∠AOD＝x，则可知∠DOB＝x，∠BOE＝72°－x，∠EOC＝2×(72°－x)，最后利用∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°这个等量关系列出方程解出x的值，利用方程的思想方法来解题，用代数的方法来解决几何问题.

方法与技巧

1.掌握平面几何的基本概念，正确理解平面几何的基本内容和方法，是学好平面几何的第一步．