（新教材）【人教A版】必修一1.1.2（数学）

第2课时

集合的表示

1.列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.【思考】(1)一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.(2)数集R可以写为{实数集}、{全体实数}、{R}吗?提示:实数集R可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.因为花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义.2.描述法(1)设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.(2)具体步骤:①在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围.②画一条竖线.③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)不等式x>1的解集可以用列举法表示.(

)(2){x∈Z|x=2k,k∈Z}与{x∈Z|x=2k,k∈N}是相等的集合. (

)(3)集合{(1,2)}和{1,2}表示同一个集合. (

)(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.(

)提示:(1)×.不等式x>1的解集中有无限多个元素,无法一一列出,不能用列举法表示.(2)×.{x∈Z|x=2k,k∈Z}表示所有偶数构成的集合,{x∈Z|x=2k,k∈N}表示所有非负偶数构成的集合,两个集合是不相等的.(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2),而{1,2}中有两个元素1和2.(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.2.用列举法表示集合{x∈N*|x-3≤2}为 (

)A.{0,1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4,5}C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}【解析】选D.集合{x∈N*|x-3≤2}={x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数,则{x∈N*|x-3≤2}={x∈N*|x≤5}={1,2,3,4,5}.3.第一象限的点组成的集合可以表示为 (

)A.{(x,y)|xy>0} B.{(x,y)|xy≥0}C.{(x,y)|x>0且y>0} D.{(x,y)|x>0或y>0}【解析】选C.第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0,所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x,y)|x>0且y>0}.类型一列举法表示集合【典例】用列举法表示下列集合:(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合.(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合.【思维·引】先明确集合中的元素是什么,然后把元素一一列举出来(注意不重复),并用“{

}”括起来,元素间用分隔号“,”.【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1和2,因此可以用列举法表示为{1,2}.(2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}.(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.(4)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,-1),因此可以用列举法表示为.【内化·悟】1.对于数集与平面直角坐标系内的点集,用列举法表示时有什么区别?提示:数集中的元素直接表示出来即可,点集中的元素要用有序数对的形式表示.2.对于含较多元素或无限个元素的集合,能用列举法表示吗?提示:如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.如正整数集{1,2,3,4,…},就不能写成{2,1,4,3,…}.【类题·通】1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.(3)用花括号括起来.2.在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时,先应明确集合中的元素是什么.如本题(4)是点集,而非数集.集合的所有元素用有序数对表示,并用“{

}”括起来,元素间用分隔号“,”.(2)元素不重复,元素无顺序,所以本题(1)中,{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.【习练·破】用列举法表示下列集合:(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合.(2)式子(a≠0,b≠0)的所有值组成的集合.【解析】(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.(2)因为a≠0,b≠0,所以a与b可能同号也可能异号,所以①当a>0,b>0时,=2;②当a<0,b<0时,=-2;③当a>0,b<0或a<0,b>0时,=0.故所有的值组成的集合为{-2,0,2}.【加练·固】用列举法表示下列集合:(1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2,且n∈N}.(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.(3)x2-4的一次因式组成的集合.(4)由方程组的解所组成的集合.【解析】(1)用列举法表示为P={0,2,4}.(2)用列举法表示为{6,9,12}.(3)用列举法表示为{x+2,x-2}.(4)用列举法表示为{(1,2)}.类型二描述法表示集合【典例】1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为(

)A.3 B.6 C.8 D.102.用描述法表示下列集合:(1)小于10的所有非负整数构成的集合;(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;(4)集合{1,3,5,7,…}. 世纪金榜导学号【思维·引】1.先根据x∈A,y∈A,x-y∈A,求出集合B中的元素,再统计个数.2.先确定集合的一个特征性质,再用描述法的形式表示出来.【解析】1.选D.x=5,y=1,2,3,4;x=4,y=1,2,3;x=3,y=1,2;x=2,y=1,共10个.2.(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.【内化·悟】1.描述法中的代表元素一般有哪几种?提示:{x|p(x)}表示数集,{(x,y)|p(x,y)}表示点集.2.常用什么式子表示集合中元素具有的共同特征?提示:常用方程、不等式等.【类题·通】1.描述法表示集合的两个步骤2.用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.【习练·破】1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2018______M,2019________M.(填“∈”或“∉”)

【解析】因为2018=7×288+2,2019=7×288+3,所以2018∈M,2019∉M.答案:∈∉2.用描述法表示下列集合:(1)正偶数集.(2)被5除余2的正整数集合.(3)坐标平面内坐标轴上的点集.(4)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合.【解析】(1){x|x=2n,n∈N+}.(2){x|x=5n+2,n∈N}.(3){(x,y)|xy=0}.(4){(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}.【加练·固】用描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.(3)函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合.【解析】(1){x∈R|x2-2=0}.(2){x∈Z|10<x<20}.(3){(x,y)|y=x2-2}.类型三集合表示方法的综合应用【典例】1.若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的取值集合是__________.

2.用适当的方法表示下列集合.(1)36与60的公约数组成的集合.(2)在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合.(3)不等式x-2>6的解的集合.(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.世纪金榜导学号【思维·引】1.转化为关于x的方程mx2+2x+m=0只有一个实数根,求出m的值.2.选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示元素个数较少的集合,描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合.【解析】1.当m=0时,方程mx2+2x+m=0为2x=0,解得x=0,A={0};当m≠0时,若集合A只有一个元素,则一元二次方程mx2+2x+m=0有相等实根,所以判别式Δ=22-4m2=0,解得m=±1;综上,当m=0或m=±1时,集合A只有一个元素.所以m的值组成的集合B={-1,0,1}.答案:{-1,0,1}2.(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.(2){x|x=2n+1且x<1000,n∈N}.(3){x|x>8}.(4){1,2,3,4,5,6}.【素养·探】在与集合的表示方法有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,通过研究集合中元素具有的共同特征,抽象出方程、不等式、函数等有关问题,并选用恰当的方法进行解答.将本例1的条件改为“A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}”,若A中元素至多只有一个,求m的取值集合.【解析】①当m=0时,原方程为-2x+3=0,x=,符合题意.②当m≠0时,方程mx2-2x+3=0为一元二次方程,由Δ=4-12m≤0,得m≥,即当m≥时,方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根,符合题意.由①②知m=0或m≥.【类题·通】1.解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的,