陕西省咸阳市陕西天王兴业集团有限公司职工子弟中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析

陕西省咸阳市陕西天王兴业集团有限公司职工子弟中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．2.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.－2 B.4 C.6 D.－6参考答案：D【分析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，使实部为0，虚部不为0，可得结论．【详解】复数，若复数是纯虚数，则，解得a＝﹣6．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的分类，是基础题．3.直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知﹣=10，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】直接展开排列数公式，化为关于n的一次方程求解．【解答】解：由﹣=10，得（n+1）n﹣n（n﹣1）=10，即n（n+1﹣n+1）=10，∴2n=10，得n=5．故选：B．5.设集合A=，，已知∈B,且B中含有3个元素，则集合B有(

)

A．A个

B．C个

C．A个

D．C个参考答案：B略6.等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知数列各项的绝对值均为，为其前项和.若，则该数列的前七项的可能性有（

）种.

A.

B.

C.

D.42参考答案：C由可知，前七项之中有5项为，2项为，故该数列前七项的排列有8.下列有关命题的说法错误的为（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件C．命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“|x|＜2”?“﹣2≤x≤2“，“x2﹣x﹣6＜0”?“﹣2≤x≤3“，故“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故B正确；命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；p∧q为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假，故D错误；故选：D9.已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=(

)A．12

B．16

C．20

D．24参考答案：D10.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．恰有1个红球与恰有2个红球B．至少有1个黑球与都是黑球C．至少有1个黑球与至少有1个红球D．至多有1个黑球与都是红球参考答案：A【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“恰有一个红球”与事件：“恰有两个红球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴C不正确对于D：事件：“至多有一个黑球”与“都是红球”能同时发生，∴这两个事件不是互斥事件，∴D不正确故选A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，直角梯形绕直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是_________.参考答案：圆台12.函数的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是____________．参考答案：略13.已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为

．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，∴2m+n+5=0．则==≥，当且仅当m=2时取等号．∴的最小值为．故答案为：．14.若则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有__

参考答案：①④15.已知直线恒过一定点，则此定点的坐标是

▲

.参考答案：(0,-1)16.对于任意实数a、b、c、d，命题①；②③；④；⑤．其中真命题的个数是 （ ）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４参考答案：A略17.若为奇函数，当时，且，则实数的值为

参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．参考答案：【考点】不等式的证明．【分析】法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立，即要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，从而得到证明；法二，综合法：a2﹣2ab+b2≥0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．【解答】证明：法一：（分析法）要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立又因为a＞0，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，由此命题得证．法二：（综合法）a2﹣2ab+b2≥0∴a2﹣ab+b2≥ab（*）而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）∴a3+b3≥a2b+ab2．法三：比较法（作差）（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a3﹣a2b）+（b3﹣ab2）…又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a﹣b）2≥0．∴（a+b）（a﹣b）2≥0．…故（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0即a3+b3≥a2b+ab2…19.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(Ⅱ)求二面角Q－BP－C的余弦值．

参考答案：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(Ⅰ)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以·＝0，·＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQDC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(Ⅱ)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则

可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角Q－BP－C的余弦值为－.

略20.已知函数f（x）=﹣+2ax2﹣3a2x+1，0＜a＜1． （Ⅰ）求函数f（x）的极大值； （Ⅱ）若x∈[1﹣a，1+a]时，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数最值的应用． 【专题】计算题；综合题． 【分析】（I）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解 （II）由题意可得﹣a≤﹣x2+4ax﹣3a2≤a在[1﹣a，1+a]恒成立，结合二次函数的对称轴x=2a与区间[1﹣a，1+a]与的位置分类讨论进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，（1分） 当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a； 当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a； ∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）； f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞）．（5分） 故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分） （Ⅱ）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2， ⅰ）当2a≤1﹣a时，即时，f′（x）在区间[1﹣a，1+a]内单调递减． ∴[f′（x）]max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a﹣1． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴∴∴． 此时，．（9分） ⅱ）当2a＞1﹣a，且2a＜a+1时，即，[f′（x）]max=f′（2a）=a2． ∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即 ∴∴． 此时，．（12分） ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分） 综上所述，实数a的取值范围为．（14分） 【点评】本题综合考查了函数的导数的运用及二次函数在闭区间上的最值问题，（II）的求解的关键是要对二次函数的对称轴相对区间的位置分类讨论，体现了分类讨论的思想在解题中的应用． 21.设分别为椭圆的左、右两个焦点．（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．参考答案：解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即．又点在椭圆上，因此，得，且．所以椭圆的方程为，焦点为；（2）设椭圆上的动点，线段的中点，满足，，即，．因此，，即为所求的轨迹方程．略22.如图所示，△ABC和△BCD都是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，连接AD，E是线段AD的中点．（1）判断直线CE与平面ABD是否垂直，并说明理由；（2）由二面角D﹣CE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设BC中点为O，连接OD、OA，分别以射线OC、OD、OA为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求出CE与平面ABD是不垂直．（2）求出平面DCE和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角二面角D﹣CE﹣B的余弦值．【解答】解：（1）直线CE与平面ABD是不垂直．…理由如下：设BC中点为O，连接OD、OA，依题意得OC、