福建省三明市大田县太华中学高三数学文下学期期末试卷含解析

福建省三明市大田县太华中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离为（）A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】讨论直线l的斜率，联立方程组消元，利用根与系数的关系，令kOA?kOB=﹣1解出k，得出直线l的方程，从而求得点O到直线l的距离．【解答】解：F（﹣1，0），若直线l无斜率，直线l方程为x=﹣1，此时A（﹣1，），B（﹣1，﹣），∴kOA=﹣，kOB=，∴kOA?kOB=﹣．不符合题意．若直线l有斜率，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程组，消元得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=﹣+k2=﹣，∴kOA?kOB==﹣=﹣1，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0或x+y+=0，∴O到直线l的距离d==．故选A．2.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 A.4

B.5 C.6

D.7参考答案：A略3.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（

）A．1800

B．3600

C．4320

D．5040参考答案：B略4.设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B.｛2，3，4｝C.｛2，4｝D.参考答案：C，故选C.5.设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，.又函数，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（

）A.5

B。6

C。7

D。8参考答案：Ｂ6.()参考答案：D7.以下命题中，真命题有

①已知平面、和直线m，若m//且，则．

②“若x2<1，则-1<x<1”的逆否命题是“若x<-1或x>1，则x2>1”．

③已知△ABC，D为AB边上一点，若，则．

④极坐标系下，直线与圆有且只有l个公共点.参考答案：C8.

如图，数轴上点A对应的数值为，点B对应的数值为，点M对应的数值为，现将线段AB弯折成一个边长为2的正方形，使A、B两点重合于点P（P为该边的中点），设线段PM的长度为,则建立了一个关于的映射关系，有下列论断：

（1）（2）为偶函数（3）有3个极值点（4）在上为单调函数。其中正确的个数为(

)个

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略9.已知向量的夹角为θ，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C【知识点】向量的数量积解析：因为，,，所以，则，得，所以，则选C.【思路点拨】把所求向量用已知向量转化，再利用模的性质求出向量的模，利用最小值时对应的的范围求夹角范围即可.10.“”是“”的

(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则

．参考答案：12.已知向量，满足||=1，||=3，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则|﹣|等于．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：对应思想；综合法；平面向量及应用．分析：根据投影相等列出方程解出向量夹角，求出数量积，代入模长公式计算．解答：解：设夹角为θ，则cosθ=3cosθ，∴cosθ=0，．∴=0，∴（）2==10．∴|﹣|=．故答案为．点评：本题考查了平面向量的数量积运算及模长运算，属于基础题13.已知向量，不共线，，，如果，则k＝________．参考答案：14.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为

．参考答案：14【考点】茎叶图．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题．15.直线与曲线有四个交点，则的取值范围是

参考答案：(1,16.已知“不定方程的正整数解的组数（其中m，n，则的正整数解的组数为 。（用具体数字作答）参考答案：71517.设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为

．参考答案：[－1，1]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex，x∈R，g（x）=lnx，x∈（0，+∞）．（Ⅰ）若直线y=kx+2与g（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）设直线y=kx+2与g（x）=lnx相切与点P（x0，y0），则有，即可求实数k的值；（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点个数即方程f（x）=mx2根的个数，分类15讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）运用作差法，设m（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，求得导数，由基本不等式可得m（x）的单调性，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设直线y=kx+2与g（x）=lnx相切与点P（x0，y0），则有…

解得x0=e3，k=e﹣3．…（Ⅱ）

当x＞0，m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点个数即方程f（x）=mx2根的个数．由f（x）=mx2，∴m=

…令，…则当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增．故h（2）=是h（x）的极小值同时也为最小值．…所以对曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数，讨论如下：当m时，有0个公共点；当m=，有1个公共点；当m有2个公共点．…（Ⅲ）设=…令g（x）=x+2+（x﹣2）ex，x＞0．…则g'（x）=1+（1+x﹣2）?ex=1+（x﹣1）?exg'（x）的导函数g''（x）=（1+x﹣1）?ex=x?ex＞0，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0．因此，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，所以在（0，+∞）上，g（x）＞0．…因为当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）?ex＞0且a＜b，故，所以当a＜b时，…19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形．【分析】（I）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（II）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（I）∵向量=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），且∥，∴acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，利用正弦定理化简得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，∴sinAcosB+cosAsinB﹣2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，又0＜A＜π，则A=；（II）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：16=b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，∴S△ABC=bcsinA≤4，则△ABC面积的最大值为4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求面积的最大值．参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，学|科网S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.21.（本小题12分）已知定义在上的函数(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为.（Ⅱ）.（Ⅰ），而，等价于，于是当时，，原不等式的解集为；………2分当时，，原不等式的解集为；

………4分当时，，原不等式的解集为

………6分（Ⅱ）不等式，即恒成立

………………8分又当时，=(当且仅当时取“=”号)