2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合A{1,0,2},B{0,1,2}，则AB＝（）A．{－1，0，2}2}B．{0，1，2}C．{－1，0，1}D．{－1，0，1，【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可.AB1,0,1,2.【详解】由题知，故选：D.2．已知复数z34i，z23i，则zz2（）121A．1iB．5iC．17iD．5i【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，zz3243i1i12故选：A3．函数f(x)logx的定义域是（2）A．(1,)【答案】BB．(0,)C．(1,)D．(2,)【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意x0，故函数故选：Bf(x)logx的定义域是(0,)24．下列函数中，在区间0,上单调递减的是（）1xA．yx2B．yC．y2xD．y2x【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.在0,1x【详解】函数yx2、yx、y2x在上为减函数.0,上均为增函数，函数y2故选：D.5．下列各点中，在函数()2x1的图象上的点是（）fxA．（0，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.fx2x1，所以f02010，故函数过点0,0.【详解】解：因为故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（）A．10B．20C．30D．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.3003【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的，50053则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的50人数为30人.5故选：C.7．如图，四边形ABCD是平行四边形，则ABBC（）A．ACB．CAC．BDD．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；【详解】解：ABBCAC故选：A8．在平面直角坐标系xOy中，角以为（）cos4,3终边经过点，始边，它的则Ox44343D．4A．B．C．55【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果.【详解】解：角以为始边，终边经过点，4,3Ox445cos.4232故选：B.()||1的零点个数是（）fxx9．函数A．0【答案】CB．1C．2D．3【分析】令f(x)|x|10求解.【详解】令f(x)|x|10，x1，解得f(x)|x|1所以函数的零点个数是2，故选：C10．已知aR，则“a1”是“a0”的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的【详解】若a1，则a0成立，若a0，无法推出a1，a推出关系，结合充要条件的概念分析即可．故a1是0的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题．11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（）231A．B．C．D．1222【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值.sin3012【详解】原式sin2010故选：AABCDABCDAA31DABCD12．如图，在长方体中，AB＝AD＝2，C．6，则四棱锥11111的体积为（）A．3【答案】BB．4D．9【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，DD底面ABCD，11DABCD的体积为2234.31则四棱锥故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（）A．0.08B．0.18C．0.25D．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解0.90.80.72【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为故选：D14．在△中，＝a4，＝45°，＝60°，则＝（）ABCABbA．22B．23C．26D．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解3422a【详解】由正弦定理bbasinBsinA26sinAsinB2故选：C15．不等式（－1）＜0的解集为（）xxA．{x∣0x1}B．{1x∣0}x∣0或x1}C．{xxD．{x∣x1或x0}【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集.xx10有两【详解】方程个根0,1，xx10的解集为x0x1则不等式故选：A16．在2，＝4，＝60°，则＝（）△中，＝ABCabCcA．2B．23C．4D．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】，∵ca2b22abcosC4168122c23.故选：B17．函数fx()3sinxcosx的最大值为（）31A．1B．C．2D．22【答案】D3fx【分析】由二倍角公式可得sin2x，结合正弦函数的值域即可得结果23fx【详解】∵3sinxcosxsin2x，2fx3sinxcosx的最大值是23.∴函数故选：D.18．已知，则（）224abA．a＞b＞2B．b＞a＞2C．a＜b＜2D．b＜a＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可【详解】22422ab2ab故选：A19．已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝（）A．3B．32C．6D．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果.a3，b22，两向量的图知，【详解】由夹角为45°，则a·ba·bcosa,b322262故选：C1log概率为，20．在信息论中，设某随机事件发生的称为该随机事件的自信息．若p2p随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（）1A．0B．C．1D．22【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；11次，则“正面朝上”的概率，p2【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1所以112logloglog21，故“正面朝上”这一事件的自信息为1；2p22故选：C二、填空题21．已知，是实数，且＞，则－________－（填“＞”或“＜”）．ababab【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】解：因为，所以abab故答案为：22．已知向量＝（1，），＝（2，4）．若，则实数＝________．amab//mb【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.1m【详解】由//知，，解得m=2.ab24故答案为：2,是两个不同的平面．给出下列三个命题：23．设，是两条不同的直线，mn①如果m∥n，m⊥，那么n⊥；②如果m⊥，m⊥，那么//；③如果⊥，m∥，那么m⊥．其中所有真命题的序号是________．【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③对于①，由m∥n，m⊥，可得n⊥，所以①正【详解】解：确；对于②，由m⊥，m⊥，可得//，所以②正确；对于③，由⊥，m∥，可得直线m与平面可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线在平面内，所以m③错误，故答案为：①②三、双空题24．已知数函f(x)x1x，则()是________数函（填“奇”或“偶”）；()在区间（0，fxfx＋∞）上的最小值是________．【答案】奇2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.1【详解】由题知，()xf(x)，故()是奇函数；fxfxx11x(0,)时，f(x)x2x2，当且仅当x1时，等号成立，xx则()的最小值为fx2.故答案为：奇；2.四、解答题fx25．已知函数()sinx4．（1）写出()的最小正周期；fx（2）求fx()在区间上的最小值和最大值．0,22221）；（）最小值为，最大值为．222【答案】（【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（fx1）()的最小正周期为．2（2）因为2，0x所以x44．40,所以函数在上单调递增，222当x，即＝xfx0时，()取得最小值；442x时，()取得最大值．fxx当，即44222220,所以fx()在区间上的最小值为，最大值为．226．阅读下面题目及其解答过程．2x3,x0f(x)已知函数x2x,x0，2（1）求（－f2）与（f2）的值；（2）求()的最大值．fx解：（1）因为－2＜0，所以（－2）＝①．f因为2＞0，所以（2）＝②．f（2）因为x≤0时，有()＝＋3≤3，fxx而且（f0）＝3，所以()在(,0]上的最大值为③fx．0时，有f(x)x2x(x1)11，又因为＞x22而且④，所以()在（0，＋∞）上的最大值为1．fx综上，()的最大值为⑤．fx以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“”或“B”）．A空格序号选项．（－3＝1B．(2)22(2)82）＋A①A．2＋3＝5．②③④⑤2220B2．A3．B0A．f（1）＝1B．f（1）＝0．A1．B3【答案】（1）①A；②B；（2）③A；④A；⑤B．【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；x3,x0【详解】解：因为f(x)x22x,x0，f2231，20（1）因为，所以20因为，所以f222202fxx33，（2）因为x0时，有f03而且，所以在上的最大值为．fx(,0]3x0f(x)x22x(x1)211又因为时，有，0,f11fx而且，所以在上的最大值为．1fx综上，的最大值为．327．如图，在三棱锥－中，，，两两互相垂直，＝，且，，OABCOAOBOCOAOBDE分别为，，的中点．ACBCABF（1）求证：DE∕∕平面；AOB（2）求证：⊥平面．ABOCF【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）D，E分别为AC，BC的中点，得DE∕∕AB，从而证明DE∕∕平面AOB；（2）OA，OB，OC两两互相垂直，得：OC平面，从而得出，由题易AOBOCAB知ABOF从而证明平面．AB⊥OCF1）在△ABC中，，分别为，的中点，【详解】解：（DEACBC所以DE∥AB．又因为DE平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．mmm假设待检测的总人数是2（为正整数）．将这2个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），28如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组2m1个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．x8，且标记为检测方案“”的人是唯一感染者时，“二分”可看出，需要经过4轮共n次检测后，例如，当待检测的总人数为x用下图表示．从图中可以才能确定标记为“”的人是唯一感染者．（）出写n的值；1（）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；若待检测的，且其中不超过2人感染，出写采用