傅里叶分解与合成

周期信号的傅里叶分析任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。1周期函数的傅里叶展开周期为T的函数f(t)可以展开为三角函数构成的傅里叶级数1.1)1.2)f(t)=a+兰(acosnwt+bsinnwt)1.1)1.2)20nnn=1周期为T的方波函数(如图1.1所示)h(0<t<-)2-h(--<t<0)2可展开为傅里叶级数f(t)=4hf(t)=4h(兀1sm®t+sm3(1]j2n-1丿3®t+1sin5®t+—sin7wt+57sin[(2n-1)®tn=1(1.3)由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位，基波与前三阶谐波频率比为一1111:3:5:7,振幅比为1:-:-:—。3572周期信号的傅里叶分解2.1实验原理用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，在示波器上显示被分解的波形。实验电路如图2.1所示，其中R、C是可变的。L取0.1H。图2.1RLC串联谐振电路当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率①为01®=0LC(2.1)这个响应的频带宽度以Q值来表示(2.2)图2.1RLC串联谐振电路当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率①为01®=0LC(2.1)这个响应的频带宽度以Q值来表示(2.2)其中R为取样电阻，”为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电阻之和。当Q值较大时，在①附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择Q值足够0大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。调节可变电容C，在n®频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单元,0它的值为:V(t)=bsinn®tn0(2.3)这时电阻R两端电压为V(t)=IRsin(n®t+①)R00(2.4)Xb此式中①二tg=1,X为串联电路感抗和容抗之和，I=n,Z为串联电路的总R0Z阻抗。在谐振状态时X=0，此时，阻抗Z=r+R+R+R=r+R+R，其中r为LCL方波电源的内阻；R为取样电阻；R为电感的损耗电阻；R为标准电容的损耗LC电阻。（R值常因较小忽略）C通过傅里叶分解合成仪中的1KHz的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。2.2实验装置实验装置包括：傅里叶分解合成仪；十进式电容箱；0.1H标准电感；双踪示波器；2.3实验内容2.3.1谐振时电容值的测量测量RLC串联电路时对lKHz,3KHz,5KHz正弦波谐振时的电容值C、C、12C，并与理论值进行比较，结果如表2.1所示。方波频率f=1000Hz，取样电阻R=270，实验测得信号内阻r=230，电感L=0.1H。表2.1谐振频率1000Hz3000Hz5000Hz实验值0.2498卩f0.0279卩f0.0100卩f理论值0.253卩f0.0280卩f0.0101卩f2.3.2方波的分解RLC串联谐振电路连线图如下

FLY-1傅立叶分结合咸仪幅度o方潼三毎被嫌©正藍渡

暦啟悒度

OO加法器QiKHzFLY-1傅立叶分结合咸仪幅度o方潼三毎被嫌©正藍渡

暦啟悒度

OO加法器QiKHz地O相技O相也O示彼器iKHzaKHzQ0sKHzrKHzO0辅人电感电舂将1KHz方波输入到RLC串联电路，然后调节电容值至C、C、C附近,电舂123从示波器上观测谐振波，测量基波和n阶谐波的相对振幅。1KHz方波输入信号，如图2.1所示：图2.1谐振频率f=1KHz,谐振时电容值c1=0.2498財，波形如图2.2所示，相对振幅A=1.7V，李萨如图形如图2.3所示。

图2.2图2.3谐振频率f二3KHz，谐振时电容值C1=0.0279財,波形如图2.4所示，相对振幅A=0.5V。李萨如图形如图2.5所示。图2.4图2.5谐振频率f二5KHz，谐振时电容值C1=0.0100財，波形如图2.6所示,相对振幅A=0.24V。李萨如图形如图2.7所示。

图2.6图2.72・3・3计算并校正相对振幅损耗电阻的测定图2.8损耗电阻测量电路用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图2.8所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为1KHz、3KHz、5KHz时,信号源输出电压V和取样电阻R两端的电压V，根据Vab二Vr可计ABRr+R+R+RRLc算出R的值。L损耗电阻测量电路连线图如下:

FLY-1博立叶分结合成仪正轅迹煽恿O方液三箱潼幅度O加法器iKHz相位ClKHz5KHn5KHz7KHzFLY-1博立叶分结合成仪正轅迹煽恿O方液三箱潼幅度O加法器iKHz相位ClKHz5KHn5KHz7KHz

®OOOlKHzaKH^sKHzzKHz

Q-OOO示碱器电感电客不同频率时电感的损耗电阻R为:电客LlKHzVAB二6.2*0.5=3.1v错误味找到引用源。错误味找到引用源。=3*0.5v=1.5v错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。r=23Q,R=27Q错误!未找到引用源。-0代入数据得：错误!未找到引用源。=5.803KHzVAB=3.5*0.2=0.7v错误!未找到引用源。=1.5*0.2v=0.3v错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。r=23Q,R=27Q错误!未找到引用源。-0代入数据得：错误!未找到引用源。=13Q5KHzVAB=2.3*0.2=0.46v错误!未找到引用源。=0.8*0.2v=0.16v错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。r=23Q,R=27Q错误!未找到引用源。-0代入数据得:错误!未找到引用源。=27.625Q相对振幅的校正采用分压原理校正。设A为谐波校正后的振幅，A/为谐波未被校正时的振幅。R为lKHz使用频率时的损耗电阻。R为3KHz或者5KHz使用频率时的损L1L耗电阻。则校正公式为：A:A:A/R+R+rL1

人人R+R+rA/xL-R+R+rL1校正结果如下：基波lKHz,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。’=i.700v谐波3KHz,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。'*错误!未找到引用源。=0.500*13+23+27=0.565v5.8+23+27谐波5KHz,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。'*错误!未找到引用源。=0.240*27.63+23+27=0.334v5.8+23+27经过校正后，错误!未找到引用源。=1700:565:343〜1：错误!未找到引用源。：错误!未找到引用源。,与理论值符合较好。3周期信号的傅里叶合成3.1实验原理利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为lKHz,3KHz,5KHz,7KHz的同相位正弦波按振幅1:丄：1:丄调节好输入到加法器，叠加后形成方波。3573.2实验过程用丽萨如图形反复调节各组移相器使1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波同相位。同相位同相位调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波，而Y轴输入傅里叶分解合成仪提供的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波，在示波器上显示出如图3.1所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。同相位同相位同相位同相位Y输入1KHz3KHz5KHz7KHz图3.1方波相位调节图111调节1KHz，3KHz，5KHz，7KHz正弦波振幅比为1:::-357将1KHz,3KHz,5KHz,7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。3.3实验数据实验调节的波形如下图所示图3.2lKHz的正弦波图3.33KHz的正弦波图3.45KHz图3.2lKHz的正弦波图3.33KHz的正弦波图3.45KHz的正弦波图3.57KHz的正弦波对应的李萨如图如下图所示:图3.61KHz正弦波对应的李萨如图图3.73KHz正弦波对应的李萨如图图3.97KHz图3.61KHz正弦波对应的李萨如图图3.73KHz正弦波对应的李萨如图图3.97KHz正弦波对应的李萨如图图3.85KHz正弦波对应的李萨如图lKHz正弦波与3KHz正弦波叠加波形，如图3.10所示。图3.101KHz图3.101KHz与3KHz正弦波叠加波形(4)lKHz,(4)lKHz,KHz，5KHz正弦波叠加波形，如图所示3.11所示。图3.111KHz图3.111KHz、3KHz、5KHz正弦波叠加波形(5)1KHz，(5)1KHz，KHz，5KHz，7KHz正弦波叠加波形，如图3.12所示。图3.121KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波叠加波形3.4数据分析通过傅里叶分解合成仪将频率为lKHz、3KHz、5KHz、7KHz的正弦波按照一定的相位关系和振幅比进行叠加，能够实现方波的合成。根据实验数据，可以得到以下结论：（1）基波上迭加