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二次型与对称矩阵的规范形将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排变量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为22x

2p

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1

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是非奇异的,可将所给二次型化为2123w

.21

22w

2

4w

我们常对标准形各项的符号感兴趣, 用如下可逆

ii

xi

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1,2,

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j

r

1,r

2,

,n)线性变换二次型与对称矩阵的规范形我们常对标准形各项的符号感兴趣, 用如下可逆

ii

xi

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y(i

1,2,

,r)(

j

r

1,r

2,

,n)线性变换二次型与对称矩阵的规范形我们常对标准形各项的符号感兴趣, 用如下可逆线

定理5任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性交换无关(后一论断证明略).

xi

yi

/

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1,2,

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j

r

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,n)性变换化二次型(1)为22p

1

r

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.221

p

y

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这种形式的二次型叫做二次的规范形, 因此有下面定理:二次型与对称矩阵的规范形定理5任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性交换无关(后一论断证明略).二次型与对称矩阵的规范形定理5

任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性交换无关(后一论断证明略).把规范形中的个数p

称为二次型的正惯性指标,负项个数r

p

称为二次型的负惯性指标,r

是二次型的秩.注:任何合同的对称矩阵具有相同的规范形

0

0

0

0

Ep

0

0

Er

p0二次型与对称矩阵的规范形定理5

任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性交换无关(后一论断证明略).定理6

设A

为任意对称矩阵,如果C

Q, |

C

|

0, |

Q

|

0,

则

p

q

(证明略).完T

0C AC

0

Ep

0

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