2017年高考全国3卷理科数学试题及答案

2017年高考全国3卷理科数学试题及答案1.已知集合$A=\{(x,y)|x+y=1\}$，$B=\{(x,y)|y=x\}$，则$B$中元素的个数为2。2.设复数$z$满足$(1+i)z=2i$，则$|z|=1$。3.根据该折线图，下列结论错误的是B（年接待游客量逐年增加）。4.$(x+y)(2x-y)5$的展开式中$x^3y^3$的系数为$-40$。5.已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一条渐近线方程为$y=x$，且与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点，则$C$的方程为$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$。6.设函数$f(x)=\cos(x+\frac{x^2}{y^2}-1)$，则下列结论错误的是D（$f(x)$在$(\pi,\pi)$单调递减）。7.执行下面的程序框图，为使输出$S$的值小于$91$，则输入的正整数$N$的最小值为4。8.已知圆柱的高为$1$，它的两个底面的圆周在直径为$2$的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为$\frac{\pi}{2}$。9.等差数列$\{a_n\}$的首项为$1$，公差不为$0$。若$a_2$，$a_3$，$a_6$成等比数列，则$\{a_n\}$前$6$项的和为$-3$。10.已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$(a>b>0)$的左、右顶点分别为$A_1$，$A_2$，且以线段$A_1A_2$为直径的圆与直线$bx-ay+2ab=0$相切，则$C$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。11.已知函数$f(x)=x-2x+a(e^{x}+e^{-x}+1)$有唯一零点，则$a=\frac{1}{2}$。12.在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为多少？A.3B.2C.5D.2/313.若x，y满足约束条件x+y-2≤0，则z=3x-4y的最小值为多少？14.设等比数列{an}满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=多少？15.设函数f(x)如下，满足f(x)+f(x-)＞1的x的取值范围是多少？f(x)={x+1,x≤2;x/2,x>2}16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转。已知以下结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的结论编号是多少？17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2。（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10，15）2[15，20）16[20，25）36[25，30）25[30，35）7[35，40）4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD。（1）证明：平面ACD⊥平面ABC。证明：由于△ABC是正三角形，所以∠BAC=60°，∠ACB=∠ABC=60°。又因为∠ABD=∠CBD，所以△ABD和△CBD相似，进而得到∠ADB=∠CDB。又因为AB=BD，所以△ABD和△CBD全等。因此，AD=CD，即AD和CD垂直于平面ABC，即平面ACD⊥平面ABC。（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值。解：由于平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，所以DE平分AC，即AD=DC=CE。又因为△ACD是直角三角形，所以AC是△ACD的直径，即∠ACD=90°。因此，∠DCE=∠DCA+∠ACE=90°+∠ACE。又因为AD=CE，所以∠AED=∠CED=∠DCE/2=(90°+∠ACE)/2。因此，∠AEC=∠AED+∠CED=90°+∠ACE/2。由余弦定理可得：cos(D-AE-C)=cos(∠CED)=cos(∠AEC-∠AED)=cos[(90°+∠ACE)/2-∠ACE/2]=sin(∠ACE/2)/cos(∠ACE/2)=tan(∠ACE/2)又因为△ABC是正三角形，所以∠ACE=60°。因此，cos(D-AE-C)=tan(30°)=1/√3。20.（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。（1）证明：坐标原点O在圆M上。证明：过点（2,0）的直线l的方程为y=tx-2t，其中t≠0。将其代入抛物线C的方程可得：(2t2)x=4t2因为t≠0，所以x=2。因此，A（2,0）是抛物线C上的一个点。又因为AB是圆M的直径，所以O是线段AB的中点，即O的坐标为（1,0）。因此，O在圆M上。（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程。解：因为AB是圆M的直径，所以AB的中点O是圆M的圆心。因此，OP⊥AB，且OP=AB/2=√2。又因为O在圆M上，所以OP=2。因此，P的坐标为（1-√2，-2+√2）。因为P在直线l上，所以直线l的方程为：y-0=t(x-2)代入P的坐标可得：-2+√2=t(1-√2-2)解得t=2-√2或t=2+√2。因此，直线l的方程为y=(2-√2)(x-2)或y=(2+√2)(x-2)。21.（12分）已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx。（1）若f(x)≥0，求a的值。解：当f(x)≥0时，有：x-1-alnx≥0x≥elnx/ea因此，a≥1/e。（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+1/2+...+1/n)≤m，求a的最小值。解：根据调和级数的性质可得：(1+1/2+...+1/n)≥ln(n+1)因此，有ln(n+1)≤m。对两边取指数可得n+1≤em。因此，n≤em-1。因为n是任意正整数，所以em-1必须是整数。因此，m必须是em-1的上整数。又因为a≥1/e，所以lnx≥-ex，进而得到x≥e^-1/e。因此，f(x)的最小值为：f(e^-1/e)=e^-1/e-1-aln(e^-1/e)=1/e-1+1/e=2/e-1因此，a的最小值为2/e。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为{x=2+t，y=3-t}（t为参数），直线l2的参数方程为{x=-2+m，y=2m}（m为参数）。（1）写出直线l2的解析式。解：将直线l2的参数方程化简可得：y=2m因此，直线l2的解析式为y=0x+2m。（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与l2的交点，求M的极径。解：将直线l2的解析式代入直线l3的方程可得：ρ(cosθ+sinθ)-2=0因此，ρ=2/(cosθ+sinθ)。因为M在直线l2上，所以M的坐标为（-2m，2m）。因此，M的极径为：ρ=2/(cos(3π/4)+sin(3π/4))=2/(−√2/2+√2/2)=4/√2=2√223.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│。（1）求不等式f（x）≥1的解集。解：当f(x)≥1时，有：│x+1│–│x–2│≥1考虑x+1≥0和x+1<0两种情况：当x+1≥0时，有x+1-x+2≥1，即x≥-1/2。当x+1<0时，有-x-1-x+2≥1，即x≤-2/3。因此，不等式的解集为x≤-2/3或x≥-1/2。（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围。解：当f(x)≥x2–x+m时，有：│x+1│–│x–2│≥x2–x+m考虑x+1≥0和x+1<0两种情况：当x+1≥0时，有x2–x+m≤x+1+x–2，即x2–2x+m–1≤0，解得x≤1-√(1-m)或x≥1+√(1-m)。当x+1<0时，有x2–x+m≤-x-1+x–2，即x2–2x+m+1≤0，解得x≤1-√(1-m)或x≥1+√(1-m)。因此，不等式的解集为x≤1-√(1-m)或x≥1+√(1-m)。因为解集非空，所以有1-√(1-m)≤-2/3或1+√(1-m)≥-1/2。解得m≤-15/16或m≥7/16。因此，m的取值范围为m≤-15/16或m≥7/16。4sinBAC，即BAC的正弦值为23，由此可得BD=2AD=2DC=4.8，所以ABD的面积为3.2。18.解：（1）根据表格数据，可得X的分布列为：XP2000.23000.45000.4（2）考虑不同区间内最高气温对Y的影响：当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=2n；若最高气温位于区间20，25，则Y=1200-2n；若最高气温低于20，则Y=800-2n；因此，EY=0.4×2n+0.4×(1200-2n)+0.2×(800-2n)=640-0.4n。当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y=2n；若最高气温低于20，则Y=800-2n；因此，EY=0.8×2n+0.2×(800-2n)=160+1.2n。综上可知，当n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19.解：（1）根据题设可得AD=DC，又因为ABDCBD，所以ACD=90°。取AC的中点O，连接DO,BO，则DO⊥AC且DO=AO。又由于ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角。在RtAOB中，BO2+AO2=AB2，又因为AB=BD，所以BO+DO=BO+AO=AB=BD，故DOB=90°，所以平面ACD平面ABC。（2）根据（1）可知OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则OA的方向为x轴正方向，OAA(1，0，0)，B(0，3，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1)。由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的1/2，从而E到平面ABC的距离为D/2，即E为DB的中点，得E(3/2，3/2，0)。故AD=（1，0，1），AC=（2，0，0），AE=（1/2，3/2，0），可得AE=（3/2，3/2，1），由向量积公式可得ABE的面积为3/4。设平面DAE的法向量为n=(x,y,z)，则有31-x+y+z=0，同理可得平面AEC的法向量为m=(-1,3,1)，则有n·m=nmcosθ=7/√59，其中θ为二面角D-AE-C的角度。因此，cosθ=7/√413。解（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为x=my+2。由x=my+2可得y2-2my-4=(y1-2m)^2-2(y1-2m)y2+y2^2-4=0，解得y1+y2=2m，x1+x2=m(y1+y2)+4=2m^2+4。因此OA的斜率与OB的斜率之积为(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4，故OA⊥OB。因此坐标原点O在圆M上。（2）由（1）可得y1+y2=2m，x1+x2=2m^2+4。圆心M的坐标为(m+2,m)，圆M的半径r=√(m^2+2)+m。由于圆M过点P(4,-2)，因此(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=r^2，即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=r^2。由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，代入上式得到2m-m^2-1=0，解得m=1或m=-2/7。当m=1时，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x-3)^2+(y-1)^2=100。当m=-2/7时，圆心M的坐标为(9/7,-2/7)，圆M的半径为√413/7，圆M的方程为(x-9/7)^2+(y+2/7)^2=59/7。解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)。①若a≤0，则f(a)不存在，不满足题意；②若a>0，则f'(x)=1-axln2>0当且仅当x<1/a或x>a，因此f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一最小值点。由于f(1)=，所以只有当a=1时，f(x)≥。因此，a=1。(2)由(1)可知，当x∈(1,+∞)时，x-1-lnx>令x=1+1/(2n)，得ln(1+1/(2n))<2n/(1+1/(2n))，因此ln(1+1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/(2n))<2(1+1/2+...+1/n)<1+ln(1+1/