2014年高考数学模拟试题及答案一

2014年高考数学模拟试题及答案一2014年高考数学模拟试题及答案（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。2.答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。3.答题卡上第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集U=R，集合A={x|x-1>2}，B={x|x^2-6x+8<0}，则集合(U-A)∩B=（）A.{x|-1≤x≤4}B.{x|-1<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2<x≤3}解析：D。容易解得A={x|x>3}或者x<1，B={x|2<x<4}。于是(U-A)∩B={x|2<x≤3}。2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人。为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为（）A.5B.10C.15D.50解析：C。容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为3:2，超过45岁的职工人数为25×2/5=10人。于是抽取不超过45岁的职工人数为25-10=15人。3.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC交圆O于点B，∠PAB=30°，则圆O的半径为（）A.1B.2C.3D.23解析：C。∠PCA=∠PAB=30°，CA=2/3，于是圆的半径为3。4.已知等比数列{an}为递增数列，且a3+a7=3，a2×a8=2，则a11=（）A.2B.3C.4D.6解析：A。不妨设等比数列的公比为q。由a3+a7=a5(2+q^2)=3知a5>0。又a2×a8=a5^2=2，解得a5=√2，q=√2。于是a11=a5×q^6=√2×2=2。二、填空题：9．如果复数$(m^2+i)(1+mi)$是实数，则实数$m=\underline{-1}$。10．若$(2+i)(1+mi)=(m^2-m)+i(1+m^3)$，则实数$a=\underline{-1}$。11．将参数方程$\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}$化成普通方程为$(x-1)^2+y^2=4$。12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出$M,N$的值分别为$\underline{13,21}$。13．若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$a_n=S_n-S_{n-1}$。类比上述结果，若数列$\{b_n\}$的前$n$项积为$T_n$，则$b_n=\underline{\dfrac{T_n}{T_{n-1}}}$；此时，若$T_n=n^2(n\in\mathbb{N}^*)$，则$b_n=\underline{\dfrac{n}{n-1}}$。14．定义在$\mathbb{R}$上的函数$f$满足$f(0)=\dfrac{1}{52}$，$f(x)+f(1-x)=1$，$f(\frac{1}{2010})=f(x)$，且当$0\leqx_1<x_2\leq1$时，$f(x_1)\leqf(x_2)$，则$f(\dfrac{1}{32})=\underline{\dfrac{1}{2}}$。又由f(x)单调增，知当x≤4时，f(x)≤f(4)；当x>4时，f(x)>f(4)。而f(4)=f(2)+f(2)+f(2010)=3f(2)+f(2010)。又因为f(2)=f(5)+f(5)+f(10)=3f(5)+f(10)，所以f(4)=3f(5)+f(10)+f(2010)。于是有f(5)=(f(4)-f(10)-f(2010))/3。解析：根据题意，首先利用单调性得到f(4)=3f(2)+f(2010)。然后利用f(2)的表达式得到f(4)的表达式，再代入f(5)的表达式中，即可得到f(5)的表达式。在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sinA=5/25=1/5，且三角形ABC的面积为S=1/2。求bc的值和当b+c=6时，a的值。解析：首先根据正弦定理得到bc的值为5。然后根据余弦定理得到a^2=20，从而得到a=5√2。注意到b+c=6，可以将b或c表示为6-b，然后代入余弦定理中求解a的值。为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示。已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位。⑴求m；⑵工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不在同一组的概率是多少？解析：首先根据直方图可知产品数量在[20,25)之间的人数为6，从而得到m×5×0.06=6，解得m=20。其次根据直方图可知每组内的人数，从而可以列出所有不在同一组的选法，计算概率即可。三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形ABC，AB1=2，AA1=4，B1C1=6，A1C1=8。以A1B1为底面，过点C1作平面A1C1C的垂线交于点D。求AD的长度。解析：首先根据勾股定理得到AC=BC=√13，AB=2√13。然后利用平行四边形法则得到A1C1^2+A1B1^2=2AC^2+2AD^2，代入已知数据得到AD=2√10。中，侧棱与底面垂直，$M,N\angleABC=90^\circ$，$AB=BC=AC/2$，分别是$AB$，$AC$的中点。⑴证明：$MN\parallel$平面$BCC$。因为$M,N$是$AB,AC$的中点，所以$MN\parallelBC$。又因为$MN$与$BC$不在同一平面上，所以$MN\parallel$平面$BCC$。⑵证明：$MN\perp$平面$ABC$。以$B$为原点建立空间直角坐标系$B-xyz$，则$B(0,0,0)$，$C(0,2,2)$，$A(−2,0,0)$，$M(−1,0,2)$，$N(−1,1,1)$。设平面$ABC$的法向量为$n=(x,y,z)$，则$n\cdotBC=0$，$n\cdotAB=0$，代入坐标得$n=(0,-1,1)$。因为$MN$的方向向量为$NM=(0,-1,1)$，所以$MN\perp$平面$ABC$。⑶求二面角$M-BC-A$的余弦值。设平面$MBC$的法向量为$m=(x,y,z)$，则$m\cdotBC=2z$，$m\cdotBM=-1$，代入坐标得$m=(2,-1,1)$。所以$\cos\angleM-BC-A=\frac{n\cdotm}{|n|\cdot|m|}=\frac{2}{3}$。已知$f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x$（$a\inR$）。⑴求函数$f(x)$的单调递减区间。$f'(x)=3x^2-12ax+9a^2=3(x-a)(x-3a)$。因此，当$x<a$或$x>3a$时，$f(x)$单调递减。⑵当$a>0$时，若对$\forallx\in[0,3]$有$f(x)\leq4$恒成立，求实数$a$的取值范围。当$x=0$时，$f(x)=0$，当$x=3$时，$f(x)=27-54a+27a^2$。因为$f(x)$单调递减，所以$f(x)\leq4$恒成立等价于$f(3)\leq4$，即$27-54a+27a^2\leq4$。解得$a\in[\frac{1}{3},1]$。19．已知抛物线$y^2=4x$，点$M_1(1,0)$，$M_2(-1,0)$，$N$为抛物线上一点，且$N$在$x$轴上方，$A,B$分别为$N$到$M_1,M_2$的连线与$x$轴的交点，则连接$NA,NB$，证明其斜率互为相反数，求$\triangleANB$面积的最小值。⑴当$N(x,y)$时，$A,B$的坐标分别为$(\frac{y}{2},0),(-\frac{y}{2},0)$，则$NA,NB$的斜率分别为$\frac{y}{2-x},\frac{y}{2+x}$，由题意得$\frac{y}{2-x}\cdot\frac{y}{2+x}=-4$，即$y^2=4x^2-16$，代入$y^2=4x$中，得$x=\frac{4}{5},y=\frac{8}{5\sqrt{5}}$或$x=-\frac{4}{5},y=\frac{8}{5\sqrt{5}}$，由于$N$在$x$轴上方，故取$x=\frac{4}{5},y=\frac{8}{5\sqrt{5}}$，此时$A(\frac{4}{5},0),B(-\frac{4}{5},0)$，故$NA,NB$的斜率互为相反数。⑵设$\triangleANB$的面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}AB\cdoth=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{5}\cdot\frac{8}{5\sqrt{5}}=\frac{16}{25\sqrt{5}}$，即$\triangleANB$面积的最小值为$\frac{16}{25\sqrt{5}}$。⑶当$M(m,0)(m>1,m\neq1)$时，易知$N(\frac{m}{2},\sqrt{m})$，$A,B$的坐标分别为$(\frac{\sqrt{m}}{2},0),(-\frac{\sqrt{m}}{2},0)$，$NA,NB$的斜率分别为$\frac{\sqrt{m}}{2-m},\frac{\sqrt{m}}{2+m}$，不难发现斜率互为相反数，故直线$NA,NB$的斜率互为相反数。$\becauseAB$为定值，$\therefore$当$h$取到最小时，$\triangleANB$的面积最小，而$h$为$\triangleANB$的高，故$h$在$x=\frac{m}{2}$处取到最小值，此时$h=\sqrt{m}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{2}}$，故$\triangleANB$面积的最小值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{m}}{2}\cdot\left(\sqrt{m}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{2}}\right)=\frac{1}{8}m\sqrt{m}\left(2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。n(a1)n1a1(a1)n1(n≥2)．----------------6分⑶当a=4时，有bn9an36，∴Tn36n，且(an3)(an13)(4n3)(4n13)(2n1)(2n2)(2n1)24n12．显然不存在整数n使得上式成立，因为左边是奇数，右边是偶数．∴不存在正整数n和整数使得37成立．----------------10分当$a=1$时，$a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}=\frac{(a_{n-2}+1)a_{n-1}}{a_{n-3}}$，即$a_n=a_{n-2}+a_{n-3}$，且$a_1=1,a_2=1,a_3=2$。因此，$a_4=3,a_5=4,a_6=6$。当$a=2$时，$a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}=\frac{(a_{n-2}+2)a_{n-1}}{a_{n-3}}$，即$a_n=2a_{n-2}+a_{n-3}$，且$a_1=1,a_2=2,a_3=3$。因此，$a_4=7,a_5=11,a_6=16$。当$a=3$时，$a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}=\frac{(a_{n-2}+3)a_{n-1}}{a_{n-3}}$，即$a_n=3a_{n-2}+a_{n-3}$，且$a_1=1,a_2=3,a_3=4$。因此，$a_4=13,a_5=22,a_6=31$。当$a=4$时，$a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}=\frac{(a_{n-2}+4)a_{n-1}}{a_{n-3}}$，即$a_n=4a_{n-2}+a_{n-3}$，且$a_1=1,a_2=4,a_3=5$。因此，$a_4=21,a_5=85,a_6=341$。根据题意，$a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}=\frac{(a_{n-2}+a)a_{n-1}}{a_{n-3}}$，即$a_n=aa_{n-2}+a_{n-3}$。当$a=4$且$n\geq2$时，$a_n=3\times4^{n-2}$。因此，$b_n=\frac{9a_n}{(a_n+3)(a_{n+1}+3)}=\frac{3}{4^{n-2}+3}\cdot\frac{3}{4^{n-2}+1}$。当$n=1$时，$b_n=\frac{3}{32}$。当$n\geq2$时，$b_n=\frac{3}{4^{n-2}+3}\cdot\frac{3}{4^{n-2}+1}=\frac{3}{4^{n-2}(4+\frac{3}{4^{n-2}})}\cdot\frac{3}{4^{n-2}+1}=\frac{3}{4^{2n-4}+4^{n-1}+3}$。因此，$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\f