微积分上册答案第五章习题5 8

5.8（1）2y"y'y xyC1exC2e2y*Aex2Aex2exxA1,y*ex，所以原 解为yexC1exC2e2y"a2y解：特征方程为λ2a20，λai，所以齐次方 解为yC1cosaxC2sinax。设非齐次方程的一个特解为y*Aex，代入后得1a2Aexex，所以A

y*

解为y exCcosaxCsina1

1

1 2y"5y'5x22x解：特征方程为2λ25λ0，λ2λ50,λ0,λ5,所以齐次 解 5yCCe2。设非齐次方程的一个特解为

x

BxC，代入后得

712A10B2,A3B5C25yx35254B5C

7CCe5解为yx

2 y"3y'2y解：特征方程为λ23λ20，λ1λ20,λ1,λ2,所以齐次 yC1exC2e2x。设非齐次方程的一个特解为y*xAxBex2A ，所以A ,B

yx x3

，所以原 解2AB

yx2x3exCexCe2x y"2y'5yexsin解：特征方程为λ22λ50，λ12i,所以齐次 解yC1excos2xC2exsin o设非齐次方程的一个特解A1 y*xexAcos2xBsin2x，代入后得

4y*1xexcos2xCexcos2xCexsin y"6y'9yx1 解为yCe3xCxe3x A1 设非齐次方程的一个特解为y*x2e3xAxB，代入后得 ，所 B y*x2e3x1x1，所以原 解为yx2e3x1x1Ce3xCxe3x 2y"5y'4y3

2 A1 2， B 以y*1x11，所以原 解为y1x11CexC y"4yxcos

解为yC1cos2xC2sin2x。C 3D2A 方程的一个特解为yAxBcosxCxDsinx，代入后得 3A 3CD2所 y*1xcosx2sin

，所以原方程通解A1 By1xcosx2sinxCcos2xCsin (9)y"yexcos 解为yC1cosxC2sinx。设非A1 次方程的一个特解为 AeBxcosxCxsinx，代入后得B ，所 C y*1ex1xsinx，所以原 解为y*1ex1xsinxCcosxCsin

y"ysin2

解：y"ysin2x11cos2x,特征方程为λ210，λ1，所 yC1exC2ex。设 方程的一个特解为y*ABcos2xCsin2x，代入后A1 B

，所 y*

，所以原方解

Cy*11cos2xCexC y"2y'5ysin解：特征方程为λ22λ50，λ12i，所以 解yC1excos2xC2exsin2x。设 方程的一个特解为y*Acos2xBsin2x， A

，所以y cos2x

，所以原方解B y*4cos2x1sin2xCexcos2xCexsin y"'y''2y'xexλ3λ22λ0，λλ2λ10λ0,λ2,λ1, 解为yCCe2xCex。设 方程的一个特解 A1 4

exxx1 9CD 解为y*xx4exxx1CCe2xC​

y''4y'5y

9

解：特征方程为λ24λ50，λ2i，所以方解 方程的一个特解为y*A，代入后得A y''2y'解：特征方程为λ22λ0，所以方解为yCCe2x。设 特解为y*Ae3x，代入后得A4，所以原 解为y4e3xCCe2xy''7y'12y

解：特征方程为λ27λ120，所 A1

12，即y*1x7，所以原 B y1x7Ce3xC y''9y10sin 解为yC1cos3xC2sin3x。设 A y*Acos2xBsin2x，代入后得

y2sin2xy''9y10cos 解为yC1cos3xC2sin3x。设 Ay*Acos2xBsin2x，代入后得

2y''3y'2yex

x A1 y*AexBex

y*1ex1exB 1 1 通解为y e 1 1 y''ycosxcos

2.yycosxcos3x

cos4x

cos2x，特征方程为λ210，所 解 yC1cosxC2sin o设非方程的一个特解A1y*Acos4xBsin4xCcos2xDsin ，代入后得

B1，即1C Dy*1cos4x1cos y1cos4x1cos2xCcosxCsinx. y''2y'5yexsinxcos解：特征方程为λ22λ50，λ12i，所以 解yC1excos2xC2exsin2x。设 方程的一个特解为y*exAcosxBsinA3B

x ，即ye65cosx65sinx，所以原 解 yex3cosx11sinxCexcos2xCexsin2x. 2y''y'y 解：特征方程为2λ2λ10，λ1,λ ，所 解为yCexCe2 A1 设 方程的一个特解为y*e2xAx2BxC，代入后得B

, x1x

x2x1x

y*e2x x 解为ye

x C Ce2. y''4ycos2

解：y''4ycos2x1cos2x，特征方程为λ240，所 解 yC1e2xC2e2x。设 方程的一个特解为y*ABcos2xCsin2x，代入后A1 B ， y*

，所以原方程通解 C

y11cos2xCe2xC (23)y44y35y"4y'4y解：特征方程为λ44λ35λ24λ40，λ22λ210,λ1,22,λ3,4i,所以 解为yCe2xCxe2xCcosxCsinx。设非 方程的一个特解为 1y* ，代入后得A1

，即y1

，所以原方解y

exCe2xCxe2xCcosxCsinx y"ysin2x0,

解：特征方程为λ210，所 解为yC1cosxC2sinx。设 A 一个特解为y*Acos2xBsin2x，代入后得B ，即y3sin2x，所以原 C1解为y sin2xCcosxCsinx.代入初始条件

C

1y1sin2xcosx1sin y"3y'2y5,

解：特征方程为λ23λ20，所以 解为yC1exC2e2x。设非 一个特解为y*A，代入后得y5，所以原 解为y5CexCe2x.代入初2

e2

C y"10y'9ye2x,

6,

337解：特征方程为λ210λ90，所

y*Ae2xA1y1

，所以原方解1y e2xCexC

2.代入初始条件得

，所以特解为

y1e2x1ex1 y"y4xex,

0,

解：特征方程为λ210，所 解为yC1exC2ex。设 Ay*xexAxBB

，即y*xexx1，所以原 yxexx1CexC

.

yxexx1exy"4y'5,

解：特征方程为λ24λ0，所以方解为yCCe4x。设 解为yxCCe4x.代入初4C11

条件得 16，所以特解为y5x11

e4 C

y"2y'ycosx,

0,

32解：特征方程为λ22λ10，所 A

C1 解为y2sinx

sinx y"4y1,

0,

14 特解为y*A，所以y*1，所以原 解为y1Ce2xCe2x.代入初始条C1

4

得 3，所以特解为y

e2x

e2C

u"4u'3usint, 0, t t A1 一个特解为u*AcostBsint，代入得

1，所以u

costsintB

解为u

1cost

1sintCetCe3t

C1

4

Cu1cost

1sint1et

1

y"y'2x1ex,

解：特征方程为λ2λ0，所 方解为yCCex。设 Ay*AxBxCex，代入得B12

y*2x1x1ex C y2x1x1exCCex.C1

4 C2 y2x1x1ex11 4 d2mdt2dy0vsinαyt1gt2tvsin y0 d2mdt2 x0

000RLC含源串联电路中，电动势为E的电源对电容器C充电。已知E20VC0.2μF（微法L0.1H（亨R1000K电流it及电压uCtLCd2uCRCduCu 2108d2uC2104duCu

duC0

，即uC0 duC0 特征方程为2108λ22104λ10，λ50005000i，所以 解uCC1e5000tcos5000tC2e5000tsin5000t。设非 u*20，所以原 CC

，所以特解为

而iC 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m，分别在以下两 d220ρdt2ρg4

特征方程为20λ22g0，所 解x0xC C 通解为x2C C .代入初始条件得

g x2e10 d2

g10，令x8得下滑时间为t

C220ρdt2ρg42x

特征方程为20λ22g0，所 解x0xC C 。设 方程的一个特解为x*A，代入得x*3，所以原方 g3g通解为x C C

4

C g

3