2021年河南省商丘第一高级中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）附答案解析

2021年河南省商丘第一高级中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设〃=/?,若集合M={x|-l<xW2},则QM=()

A.(—oo,-l]B.(2,+8)

C.(―8,-1]U[2,+8)D.(―8,-1]U(2,4-oo)

2.已知复数2=三@为虚数单位)，则复数Z在复平面对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

%4-y<4

3.若实数x,y满足不等式组yNx,贝U2x+y的最大值是()

,x>1

A.3B.5C.6D.7

4.已知实数a,b,满足条件{:空老，则事件：“2a-b>0”发生的概率为()

A-JB.5C.|D4

5.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示

可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根

据连续7天的新增病例数计算，下列①〜⑤各个选项中，一定符合上述指标的是()

①平均数高士整；②标准差器唱整；③平均数一£兽且标准差器唱整；

④平均数高士兽且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。

A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤

6.若函数f(x)=sin(2x+»+cos(2x-§,则/(x)的单调递增区间为()

A.(kn—^,kn—k&ZB.(kn—^,kn+^),k&Z

C.(fc/r+g,ku+=),keZD.(k兀——,k兀+-)>kEZ

633o

7.下列函数中，在飒开嘴内为增函数的是()

A.醒=礴遍厘B.卜烂二/一需C.9='WD.醪=痴笳一需

8,化简cos(a-B)cos(B-y)-sin(a-£)sin(S-丫)为()

A.sin(a-2£+y)B.sin(a-y)

C.cos（cr—y）D.cos（a-2/?+y）

9.德国数学家洛萨•科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n,如果它是偶数，就将它减

半；如果它是奇数，则将它乘3再加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1（出

现1后运算结束）,现在请你研究：如果对正整数5（首项），按照上述规则实施变换，所得到的数组

成一个数列（末项为1）,则这个数列的各项之和为多少（）

A.34B.35C.36D.37

10.函数/（乃在定义域R内可导，若f（x+1）是偶函数，且（x-1）/（乃<0,设。=/（0）,b=/（I）,

c=/（3）,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

11.已知两圆的半径分别为6cm和8cm,圆心距为2cm,那么这两圆的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

12.在空间中，设m、九是不同的直线，Q、/?表示不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若0〃£,m//af则小〃£

B.若al/7,m1a,则？n//0

C.若a1氏mlfa,则m_L3

D.若Q10,mla,n1/7,则?nJ.n

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.向量万=（第1）,3=（1,2—%）,五〃丸则|苍|=.

14.设a=flcosxdx,则（ax->6的展开式中的常数项是.（用数字作答）

~2

15.双曲线2——y2=6的离心率是.

16.有一个空心钢球，质量为142g,测得外直径为5an,则它的内直径是cm（钢的密度为

7.9^/cm3,精确到0.1cm）.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，a==g.

⑴求sinG4+,

（2）求C

18.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案，且一年后投资盈亏

的情况如下：

投资股市：

投资结果获利不赔不赚亏损

113

概率

288

购买基金:

投资结果获利不赔不赚亏损

1

概率Pq

3

当p=：时，求q的值.

已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围.

已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同,

求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.

19.如图，在长方体ABCD-418165中，已知4B=4,4D=3,AAr=2,E,F分别是棱4B,BC上

(1)求异面直线EC】与FDi所成角的余弦值;

(2)试在面4BCD上确定一点G，使G到平面尸距离为当.

20.已知椭圆八盘+'=l(a>b>0)的右焦点为尸，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形

且面积为VT

(I)求椭圆r的标准方程；

(II)若直线l：x=my+q(m*0)与椭圆「交于不同的两点4、B,设点4关于椭圆长轴的对称点为

试求为、F、8三点共线的充要条件.

21.⑴已知函数f(x)=/—3x,过点P(L-2)的直线1与曲线y=/(%)相切，求2的方程；

(2)^/(%)=-1x3+1x2+2ax,当0<a<2时，f(x)在1,4上的最小值为一日，求/(x)在该区间

上的最大值.

22.在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为9=3-八t为参数)•以坐标原点。为极点，％轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为p2=2&psin(0-》.

(1)求直线，的普通方程以及圆C的直角坐标方程；

(2)若点P在直线1上，过点P作圆C的切线PQ,求|PQ|的最小值.

23.已知函数/(%)=2\x-3|.

(1)解不等式/(X-1)+/(%)44；

(2)若/(|)-|x+l|W5一1对VxGR恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：•.•〃=/?,集合”=(-1,2],

CyM=(-co,-1]U(2,4-co).

故选：D.

根据全集(7=/?,以及M,求出M的补集即可.

此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

2.答案：B

•・•复数z在复平面对应的点的坐标为(-|,|),位于第二象限.

故选：B.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.答案：C

由z=2%+y得y=-2x+z

平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线y=-2%+z经过点4时，直线y=-2x+z的截距最大,

此时z最大.

叱R=4,解得4(2,2),

一y

代入目标函数z=2x+丫得2=2x2+2=6.

即目标函数z=2x+y的最大值为6.

故选：C.

4.答案：D

解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：

则4(1,2),8(2,2),C(2,0),

则阴影部分的面积S=2x2-1x2xl=4-l=3,

则：“2a—b>0”发生的概率为警=

,正方形"

故选：D

作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论.

本题主要考查几何概型的概率公式，利用不等式组求出对应区域的面积是解决本题的关键.

5.答案：D

解析：试题分析：①②③错，④对，若极差等于。或1,在高士兽的条件下显然符合指标，若极差等

于2,则有下列可能，(1)0,1,2,(2)1,2,3,(3)2,3,4,(4)3,4,5,(5)4,5,6.在嬴谓的

条件下，只有(1)(2)(3)成立，符合标准。⑤正确，若众数等于1且极差小于等于4,则最大数不超过

5,符合指标，故选D

考点：方差、极差、平均数。

6.答案：D

解析：解：由题意知，/(x)=sin(2x+=)+cos(2x-=),

o3

.7T.717T,•o.71

=sm2nxcos-+cosn2xstn-+cosn2xcos-+sm2xsin-

6633

=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

由---F2/CTT42xH—W—F2kn(kGZ)得，

—~+2/CTT42.xWw+2/CTT,(kGZ),

则一三+/CTTWXW&+kir)(kGZ),

所以函数/(%)的递增区间是［―g+女扪,(k£Z),

故选D

由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式化简解析式，由整体思想、正弦函数的递增区间求出答案.

本题考查正弦函数的递增区间，以及两角和的正弦公式、两角差的余弦公式的应用，考查整体思想.

7.答案：C

解析：试题分析：对于4由于正弦函数是周期函数，因此不会再整个正数范围内递增，排除。对于

B,由于解=斓-富，、娟•能凡白；,出必就g因此增区间不符合题意，故错误，对于C,由于簟=,W

则可知M-ra力N孤源帚恒成立，那么可知，函数递增复合题意，对于D,由于解=1瞬,君-济，则

型』,上/；,*浏，故错误，选C。

或'

考点：函数的单调性

点评：本题考查基本初等函数的性质，判断的关键是掌握各种函数的图象与性质，属于容易题.

8.答案：C

解析：

此题考查两角和的余弦函数公式，属于基础题.

直接利用两角和的余弦函数公式化简即可.

解：cos(a—0)cos(0—y)—sin(a—/?)sin(/?—y)

=cos[(a—£)+(0—y)]=cos(a—y),

故选C.

9.答案:C

解析：解：由题意知：

a1=5,

=5x3+1=16,

=8,

=4,

as=2,

«6=1，

二这个数列的各项之和S6=5+16+8+4+2+1=36.

故选：C.

由题意知的=5,a2=5x3+1=16,a3=8,a4-4,as=2,a6=1,由此能求出这个数列的

各项之和.

本题考查数列的各项之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用.

io.答案:c

解析：解：•••/(>+i)是偶函数，

函数/(%+1)的图象关于y轴对称，

••・函数/(久)的图象关于直线x=1对称，

依题意得,当％<1时,f(x)>0,/(x)为增函数；

又/(3)=/(-1)，且一1<0<：<1,

因此有/(-1)<f(0)<fG),

即有f(3)</(0)</(i),

c<a<b.

故选：C.

判断函数的单调性，然后比较a、b、c的大小.

本题考查函数的单调性的判断与应用，考查计算能力.

11.答案：A

解析：

本题考查的知识点是两圆位置关系的判定，难度不大，属于基础题.

根据已知判断两圆的位置关系，可得答案.

解：•••两圆的半径分别为6cm和8cm,圆心距为2cm,

圆心距等于半径差，

即两圆内切，

故两圆的公切线有1条，

故选：A.

12.答案：D

解析：解：对于A,a/IP，mlla,可能有mu。，未必有m〃/?,

所以4错；

对于B,aLp,m1a,可能有mu口，未必有m〃夕，所以B错；

对于C,a10,m//a,可能有mu0或6〃0等，未必有m_L£,

所以C错；

对于D,设an£=l,取不在a、0、m,n上点P,过P作P4〃m交a于4,作P8〃71交3于B,

mla,nipPAla,PBIp,设P4与PB确定的平面y交/于0点，连4。，BO,AB,PO,

I1PA,11PBlly11OA,11OB=NAOB为二面角a-Z-0的平面角，

NP4。=NPBO=90。=四点4、。、B、P共圆=>z_40B+NZPB=180。；

a1/?=>/.AOB-90°=/.APB=90。=>PA_LPB=mJ_n,所以。对.

故选：D.

力根据线面关系基本定理举反例判断；B根据线面关系基本定理举反例判断；C根据线面关系基本定

理举反例判断；。根据线面关系基本定理判断.

本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与平面位置关系，属于基础题.

13.答案:V2

解析：解：•.,日=(x,1),b=(1,2-x)，

•・•由2〃丘可得x(2-x)-1x1=0,

解得x=1,3=(1,1),

|a|=Vl2+I2=V2

故答案为：V2

由向量平行可得久的方程，解方程可得云的坐标，由模长公式可得.

本题考查向量的模长，涉及向量的平行，属基础题.

14.答案：—160

解析：

本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基

础题.

求定积分得到a的值，再利用二项展开式的通项公式求得(ax->6的展开式中的常数项.

nn

解：设a=cosxdx—sinx\\—2,

~2~2

则(ax-i)6=(2x-i)6的展开式的通项公式为7；+1=展•(-l)r-26-r-”田，

令6-2r=0,求得r=3,可得展开式中的常数项为废•(-8)=-160,

故答案为:-160.

15.答案：V3

解析：解：双曲线2/-y2=6可化为

:.a—V3»b=V6»

:.c=y/a24-b2—3;

•••双曲线的离心率是e=£=5=次.

故答案为：V3.

把双曲线方程化为标准方程，求出它的离心率即可.

本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，是基础题目.

16.答案：4.5

解析：解：设钢球的内半径为r,

所以7.9xgx3.14x[(|)3-r3]=142,

解得r=2.25.

故内直径为4.5cm.

故答案为：4.5.

直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和

转换能力及思维能力，属于基础题型.

17.答案：解：(1)由。=鱼为=百,8=枭

利用正弦定理得号=-之，代入解得sinA=也.

sinAsinB2

由QVb,可知/<8,于是4=W，

故sin(4+£)=sin(-+-)=sin-cos-+cos-sin-=6+、'.

v6y'46，46464

(2)在△48C中，4+B+C=7T.

于是C=n—A—B=7T----=—.

4312

解析：⑴由已知利用正弦定理解得Sina=*，结合a<b,可知4<B,可求4=：,根据两角和的

正弦函数公式即可计算得解.

(2)根据三角形的内角和定理可求C的值.

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考

查了转化思想，属于基础题.

18.答案:

【小题1】【小题2】【小题3】

1725

——<p<-—

62439

解析：【小题1】因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种

投资结果相互独立，所以p+-+q=1,又因为p所以q=--

326

【小题2】因为由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，所以q<3,

,1237

因为p+-+q=1,所以q=----p<-.解得p>一,

33824

,1272

又因为p+-+q=l,q>0,所以pS-,所以一<p<-.

33243

【小题3】记事件4为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，

用a,b,c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，

用x,y,z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，

则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3x3=9种，

它们是:(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z),(c,x),(c,y),(c,z),

所以事件4的结果有5种,它们是：(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(c,x).

所以一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P(4)

9

19.答案：解：(1)以。为原点，DA,DC,分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

VAB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是棱AB,BC上的点，且EB=FB=1,

ADi(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),6(0,4,2).

'-EC\=(-3,1,2),尸加=(-2,-4,2)

••・异面直线EQ与FA所成角的余弦值=向S<

(2)vDj(0,0,2),E(3,3,0),尸(2,4,0),

(33-2),(2,4,-2),

设向量力=(%,y,z)与平面。送尸垂直，则有才.=0,.£)[/=0,

[3工+3y-22=0

解得力=(1二，3)，

y2x+4y-23=0

设在面4BCD上确定一点G(a,b,0),则无方=(a-3,6-3,0),

•••G到平面5EF距离为夺，

|a—3+b—3|^/TT

\/n11

・•・Q+b—6=1,即b=7—a.

故在面NBCD上确定一点G(a,7-a,0),使G到平面尸距离为噂L

解析：(1)以。为原点，DA,DC,DC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，得用向量法能求

出异面直线EQ与FC1所成角的余弦值.

(2)由。式0,0,2),E(3,3,0),((2,4,0),知庠=(3,3,-2),D^F=(2,4,-2),从而求出平面D】EF垂直

n=(1,1,3),再由G到平面/Er距离为今，能够在面4BCD上确定一点G.

20.答案：解：(1)由题意知a=2c,be=遮,

：•a=2»b=y/3，

椭圆r的标准方程是三+^=1.

43

x=my+q

x2.y2(=(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0,

{—I—=1

43

由4=12[3m2q2—(3m2+4)(q2—4)]=48(3m24-4—q2)>0

得3/+4-q2>0①，

记4(%1，%)，8(%2，兆)，

则yi+y=>yiNi=MI2

7172237n2+4，)1)23m2+4

•・・F(1,O),，TA[=(%i-1,-y。丽=(x2-1/2)，

因4,F,B三点共线，

・•.(%1-(x-l)(-yi)=0,

l)y2—2

••・(％i一1)为一(&一i)(-yi)=Oyi+q_1)为+(租刈+q-i)yi

=2my1y2+(q-1)d+y2)

3q2—12—6mq

=27n,——z-----+(q-1)•——5-----

3m2+437n2+4

=2m豁，②

=4,m0.

由①②知4，F>B三点共线的充要条件是>2且q=4.

解析：（1）由题意知a=2c,be=b，由此能求出椭圆「的标准方程是至+：=L

43

x=my+q

应"=1=>（3m24-4）y2+6mqy+（3q2-12）=0,由此根的判别式、韦达定理结合已

{~

43

知条件推导出公,F,B三点共线的充要条件是|刈>2且q=4.

本题考查椭圆方程的求法，考查三点共线的充要条件的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程

思想的合理运用.

21.答案：解：（1）设切点为（右,就一3q）,切线的斜率长=/（%（））=3诏一3,...（1分），

则切线L的方程为：y—（瑞-3%0）=（3福—3）（%—%0）...（2分）

因为过点P（l,—2）,所以-2-谓+3&=（3吐-3）（1-x0）,

解得殉=1或x（）=（4分）

故1的方程为y=-2或y-（-2）=-^（x-1）,

即y=-2或9x+4y—1=0...（5分）

（2）令/'（X）=-x2+x+2a=0得/=打=

故/（X）在（一8,%1）上递减，在（Xi，X2）上递增，在。2，+8）上递减...（1分）

当0<a<2时,有/<1<%2<4,所以<%）在［1,4］上的最大值为/。2）.“（2分）

又/（4）一/（I）=一£77+6a<0,即/（4）</（I）.

所以f（x）在［1,4］上的最小值为/（4）=8a-y=y,得a=l,右=2…(3分)

故/(x)在1,4上的最大值为/(2)=弓....(4分)

解析：(1)设切点为(x0,yo),根据导数的几何意义求出曲线在点X。处的切线斜率，可得切线方程，结

合点P,即可求得过点P且与曲线C相切的直线方程；

(2)求导数，确定函数的单调性，从