2021年高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题：阶段示范性金考卷4

精品文档2021年高考（新课标）数学（理）大一轮复习试题：阶段示范性金考卷4一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.[xx·福建高考]某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体答案：AD.三棱柱αβmmα2.[xx·广东七校联考]已知平面、和直线，给出条件：①∥；②mαm⊂ααβαβmβ⊥；③；④⊥；⑤∥.能推导出∥的是()A.①④C.②⑤B.①⑤D.③⑤解析：由两平面平行的性质可知两平面平行，在一个平面内的直线必平行于另一个平面，于是选D.答案：DABCD3.在下列四个正方体中，能得出⊥的是()实用文档精品文档ABBCDCDABCD解析：A中，直线在平面内的投影与垂直，故⊥.答案：Aαβγ4.设、、为平面，lmnmβ、、为直线，则⊥的一个充分条件为()αβαβlmlnαnβmαA.⊥，∩＝，⊥B.⊥，⊥，⊥αγmαγβγαγβγmαC.∩＝，⊥，⊥D.⊥，⊥，⊥解析：如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故B正确．答案：B5.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()实用文档精品文档A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α⊥β，m⊥α，则m∥βD.若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β解析：对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；易知D正确．答案：D6.[xx·云南昆明模拟]一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为()A.(1,1,1)B.(1,1，2)D.(2,2，3)C.(1,1，3)解析：因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，则所求实用文档精品文档的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为3，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±3，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，3)或(1,1，－3)，选C.答案：C23，体积为，E27.如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A.π6C.π3B.π4D.π2解析：连接AC、BD交于点O，连接OE，OP，易得OE∥PA，∴所求角为∠BEO.∵PO⊥OB，OB⊥OA，∴OB⊥平面PAC，OB⊥OE.由所给条件易得OB＝26，OE＝122，在△OBE中，tan∠OEB＝3，2PA＝π∴∠OEB＝，选C.3答案：C8.[xx·辽宁三校联考]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()实用文档精品文档2π3B.π3A.C.2π916πD.9解析：由题知该几何体为底面半径为2，高为4的圆锥的31部分，其体积是13π×22×4×39.故选D.116π＝答案：D9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝21，则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确．由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．A到平面BEF实用文档精品文档2，且S△＝1BB1×EF＝定值，2的距离即A到平面DBB1D1的距离为2BEF故VA－BEF为定值，即C正确．答案：D10.[xx·安徽高考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()233476A.B.C.6D.7解析：由三视图知这个多面体是正方体截去两个全等的三棱锥后剩余的部分，其直观图如图所示，结合题图中尺寸知，正方体的体积为23＝8，111，因此多面体的体积为8－2×61一个三棱锥的体积为32××1×1×1＝623＝，故选A.3答案：A11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点，则直线BC1与平面MC1D1所成角的正弦值是()实用文档精品文档101530A.C.B.101010D.31010解析：设正方体的棱长为1，以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，12则M，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，B(1,1,0)，1，0，→→1111则MD＝－1，0，，MC＝－1，1，，22→＝(－1,0,1)．BC1设平面MC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，→n·MD1－x＋1z＝0，＝0，＝0，2则即→n·MC1－x＋y＋21z＝0，所以取x＝1，则z＝2，y＝0，即n＝(1,0,2)．设直线BC1与平面MC1D1所成角为θ，→→－＋12n·BC＝10，故选C.则sinθ＝|cos〈n，BC〉|＝＝1→1015×2|n||BC|1实用文档精品文档答案：C12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.21B.233322C.D.解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，12则A1(0,0,1)，E1，0，，D(0,1,0)，→→12∴AD＝(0,1，－1)，AE＝，1，0，－11设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，－＝，1yz0y2＝，z＝2.则∴1－z＝0，2∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，22＝n〉＝3×13.2即所成的锐二面角的余弦值为2.3答案：B实用文档精品文档第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.[xx·忻州期末]已知不重合的直线m、l和不重合的平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．解析：对于①，∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又l⊂β，∴m⊥l，①正确；对于②，∵m⊥α，α⊥β，∴m∥β或m⊂β，又l⊂β，∴m与l可能相交、平行或异面，②错误；对于③，∵m⊥α，m⊥l，∴l∥α或l⊂α，又l⊂β，∴α与β有可能相交，也有可能平行，③错误；对于④，∵m⊥α，m∥l，则l⊥α，又l⊂β，∴α⊥β，④正确，∴正确命题的个数是2.答案：214.[xx·北京西城区模拟]已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为23.实用文档精品文档答案：2315.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为E到平面ABC1D1的距离是________________．1，E是A1B1上的点，则点解析：解法一：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0≤a≤1)，连接D1E，→→＝则DE＝(1，a,0)．连接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1，则DA11(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量．→→|D1E·DA1|＝2.∴点E到平面ABC1D1的距离是d＝→2|DA1|解法二：点E到平面ABC1D1的距离，即B1到BC1的距离，易得点B1到BC1的距离为22.实用文档精品文档2答案：216.在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．解析：底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r＝23，3球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝r2＋d2＝72133＝.21答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答说明、证明过程或演算步骤)应写出必要的文字17.[xx·江苏高考](本小题满分10分)如图，在三棱锥D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.P－ABC中，求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.实用文档精品文档又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝21PA＝3，EF＝BC＝4.12又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.18.[xx·江西九江模拟](本小题满分12分)已知点P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，点F在AB边上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP边折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．实用文档精品文档解：(1)证明：∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.(2)连接PF，∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形，22.∴D′E＝DE＝EF＝∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，∵S梯形ABCP＝12×(1＋2)×1＝23，D′－ABCP＝D′E·S梯形ABCP42.13∴V＝19.[xx·大连双基测试](本小题满分12分)已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求证：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．解：(1)证明：如图，取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC实用文档精品文档是等边三角形，所以AO⊥BC，又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以BB′⊥底面ABC.(2)如图，显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．实用文档精品文档20.[xx·武汉调研](本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，∴AD⊥C1E.(2)∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°.∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，实用文档精品文档从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.故C1E＝A1C1＝22，又B1C1＝AC＋AB＝2，22cos60°1111∴B1E＝C1E－BC＝2.221113113223从而VC1－A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2×2×2＝.21.[xx·陕西高考](本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．实用文档精品文档又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．(2)解法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，→DA→→＝(0,0,1)，BC＝(－2,2,0)，BA＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，→→∴n·DA＝0，n·BC＝0，z＝0，得取n＝(1,1,0)，－2x＋2y＝0，→→∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝BA·n25×2105＝＝.→|BA||n|解法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，12，F(1,0,0)，G(0,1,0)．得E1，0，实用文档精品文档→→→，FG＝(－1,1,0)，BA＝(－2,0,1)．12∴FE＝0，0，设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，→→则n·FE＝0，n·FG＝0，1z＝0，2得取n＝(1,1,0)，－x＋y＝0，＝→→∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝BA·n25×2105＝.→|BA||n|22.[xx·重庆高考](本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A－PM－C的正弦值．解：(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝→→→O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA，OB，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.因为∠BAD＝，故OA＝AB·cosπ6＝3，OB＝AB·sin＝1，π3π6实用文档精品文档→所以O(0,0,0)，