平行曲面上测地线的性质

PAGEPAGE1平行曲面上测地线的性质1.什么是平行曲面？平行曲面指的是任意两个曲面，它们在每个交点处的任意两个切向量之间的数量积等于常数。换句话说，这两个曲面在每个交点处的切平面是相互平行的。举个例子，一个球面和一个圆柱面可以是平行曲面。在球面和圆柱面的交线上，它们的切平面在每个点处都是相互平行的。2.测地线的定义在一个曲面上，测地线是连接曲面上任意两点的最短路径。测地线有很多应用，比如地球上的飞行航路、行星轨道等都可以使用测地线来描述。在平面上，测地线是一条直线；在球面上，测地线是一段大圆弧。但在一般的曲面上，测地线是不是一条直线或者大圆弧就不一定了。3.平行曲面上测地线的性质对于平行曲面上的测地线，有一些有趣的性质。3.1测地线的交点和相交角度如果两条测地线在平行曲面上相交，那么它们交点的相交角度等于它们相交点在曲面上切平面的夹角。这个结论可以通过欧拉公式推导得出。假设在平行曲面上有两条测地线AB和CD，它们在点E处相交image-20210709104057336设两条测地线在E点处的切线为l和m，它们的夹角为$\\theta$。则从点E出发沿着测地线AB和CD的长度分别为s1和s对于测地线AB，可以用切向量和法向量表示它的长度：$$s_1=\\int_{A}^{B}\\sqrt{g_{ij}\\frac{dz^i}{ds}\\frac{dz^j}{ds}}ds$$其中，gij代表曲面上的第一基本形式，ds又因为在平行曲面上，AB和CD所在的切平面是相互平行的，所以测地线CD在点E处也沿着切线m。因此，可以用切向量和法向量表示测地线CD的长度：$$s_2=\\int_{C}^{D}\\sqrt{g_{ij}\\frac{dz^i}{ds}\\frac{dz^j}{ds}}ds$$对于欧拉公式，有：$$g_{ij}\\frac{dz^i}{ds}\\frac{dz^j}{ds}=1$$两边同时对s求导数，得：$$g_{ij}\\frac{d}{ds}(\\frac{dz^i}{ds}\\frac{dz^j}{ds})=0$$再将gij的偏导数用$(^{\\prime})$$$g^{\\prime}_{ij}(\\frac{dz^i}{ds}\\frac{dz^j}{ds})+g_{ij}(\\frac{d^2z^i}{ds^2}\\frac{dz^j}{ds}+\\frac{dz^i}{ds}\\frac{d^2z^j}{ds^2})=0$$因为曲面上的测地线是最短路径，所以它们在局部上是互相平行的。也就是说，如果两条测地线的切向量相等，那么它们的长度也相等。在点E处，测地线AB和CD的切向量相等，因此它们的长度也相等：s所以：$$\\begin{aligned}\\cos\\theta&=\\frac{AB\\cdotCD}{|AB||CD|}\\\\&=\\frac{-\\frac{dz}{ds}(A)\\cdot\\frac{dz}{ds}(C)+\\frac{dz}{ds}(A)\\cdot\\frac{dz}{ds}(D)}{\\sqrt{\\frac{dz}{ds}(A)\\cdot\\frac{dz}{ds}(A)\\cdot\\frac{dz}{ds}(D)\\cdot\\frac{dz}{ds}(D)}}\\\\&=\\frac{g_{ij}^{(1)}(A)\\frac{dz^i}{ds}(A)\\frac{dz^j}{ds}(D)-g_{ij}^{(1)}(A)\\frac{dz^i}{ds}(A)\\frac{dz^j}{ds}(C)}{\\sqrt{g_{ij}^{(1)}(A)g_{ij}^{(1)}(D)}}\\\\&=\\frac{\\cos(l,m)}{\\sqrt{g_{ij}^{(1)}(A)g_{ij}^{(1)}(D)}}\\\\\\end{aligned}$$所以，两条测地线在平行曲面上的交点处的相交角度等于它们相交点在曲面上切平面的夹角。3.2测地线在曲面上的变形尽管平行曲面上的测地线在交点处的切平面是相互平行的，但它们在曲面上的长度、曲率等特性在交点处并不一定相同。例如，对于圆柱面和球面来说，沿着球面的一条测地线在与圆柱面相交的那一点处会变成一条不再平行于原来方向的曲线。这是因为在交点处，圆柱面和球面的切平面相互平行，但是它们在该点处的切平面和法平面并不平行。因此，测地线在交点处的曲率和长