7.1.1+数系的扩充和复数的概念+课件-福建省龙海市港尾中学2020-2021学年高一下学期数学

第七章复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标

了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程;（重点）01

理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念;（重点）02

掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.（重点）03

理解复数的分类.（重点、难点）04学科素养

了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程数学抽象

直观想象

掌握复数代数形式的表示方法，理解复数集出现的一些基本概念逻辑推理

理解复数相等的充要条件，会根据复数相等的充要条件解方程

数学运算

理解复数的分类数据分析

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge

在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢?复数概念的引入与这种想法直接相关.
02知识精讲

ExquisiteKnowledge

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程x²+a=0（a>0）有没有解，进而可以归结为方程x²＋1=0有没有解.

我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗?自然数集整数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数引入了无理数计数的需要引入了自然数解决度量正方形对角线等问题有理数集回顾数系的扩充:

人们把有理数集扩充到了实数集.

数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.

依照这种思想，为了解决x²＋1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引人一个新数i，使得x=i是方程

x²十1=0的解，即使得i²=-1.自然数负整数分数整数有理数实数无理数随着社会发展，数系在不断扩充．

把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?（1）把实数b与i相乘，结果记作bi;（2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi;

所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.复数的概念复数的代数形式其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).两复数的相等我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！【练习】已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为

．【解析】依题意，可得：x2－y2=0且2xy＝2，

即x=y=－1或x=y=1.

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d.即：a+bi=c+di⇔a

=c，b

=d.

复数的分类当且仅当b=0时，它是实数,当且仅当b≠0时，它是虚数；当且仅当a=0,b≠0时，它是纯虚数.当且仅当a=b=0时，它是实数0;

实数0b=0b≠0

实数a虚数a+bi纯虚数bi

复数集C与实数集R之间有什么关系？虚数集纯虚数集显然，实数集R是复数集C的真子集.【练习】写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．注：复数通常不能进行大小比较：虚数不能比较大小，只有相不相等；实数才能比较大小.【例1】当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【解析】当m-1=0时，即m=1时，复数z

是实数；当m-1≠0时，即m≠1时，复数

z

是虚数；当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数

z

是纯虚数.【练习】实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0？【解析】(1)当m2－2m－15=0时，即m＝5或m＝－3时，复数z

是实数；(2)当m2－2m－15≠0时，即m≠－3且m≠5时，复数

z

是虚数；(3)当m2－2m－15≠0且m2＋5m＋6=0时，即m=-2时，复数

z

是纯虚数.(4)当m2－2m－15=0且m2＋5m＋6=0时，即m=-3时，复数

z=0.03拓展