巧用数学思想解高考题

精品文档-下载后可编辑巧用数学思想解高考题新课程标准提出：高中数学教学应使学生掌握数学思想，能运用数学思想解决数学问题。数学思想在解决高中数学问题中起到关键作用。所谓数学思想是指人们在学习数学和运用数学解决问题过程中，不断地经历直观、观察发现、归纳对比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思构建得出的解决数学问题的思维方式。数学思想可以帮助学生理清数学问题的思路，帮助学生快速地解决数学问题。数学思维能力在形成性思维中发挥着独特的作用。而数学思想正是数学思维能力的一种反应。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且不断地发展。教师通过数学思想的培养，可以使学生的数学能力有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。数学思想是高考命题的重要依据。因此，把握住数学思想，就把握住了高考数学。

一、函数与方程思想

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼。函数思想在研究方程、不等式、数列、解析几何等内容时，起着重要作用。方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。高考数学把函数与方程思想作为七种重要思想方法中的重点来考查。

例1.设a>0，b>0，e是自然对数的底数则（）

A.若ea+2a=eb+3b，则a>b

B.若ea+2a=eb+3b，则a

C.若ea-2a=eb-3b，则a>b

D.若ea-2a=eb-3b，则a

本题主要考查了复合函数单调性的综合应用，通过构造法巧妙地确定函数的单调性。若ea+2a=eb+3b，必有ea+2a>eb+2b.构造函数：f（x），则f′（x）=ea+2>0恒成立，故存在函数f（x）=ea+2x在x>0上单调递增，即a>b成立。其余选项用同样方法排除。

例2.已知函数f（x）=axsinx-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值为■，

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

解：（1）在f（x）=axsinx-■≤■在[0，■]上恒成立，且能取到等号？圳g（x）=xsinx≤■在[0，■]上恒成立，且能取到等号？圳■=g（x）max

g′（x）=sinx+xcosx>0？圯y=g（x）在[0，■]上单调递增

■=g（■）=■？圳a=1？圯f（x）=xsinx-■

（2）f（x）=xsinx-■？圯h（x）=f′（x）=sinx+xcosx

①当x∈[0，■]时，f′（x）≥0？圯y=f（x）在（0，■]上单调递增

f（0）f（■）=-■×■

②当x∈[■，？仔]时，h′（x）=2cosx-xsinx

f′（x）>0？圳■≤x0？圳x0

由①②得：函数f（x）在（0，？仔）内有两个零点。

本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。

二、数形结合思想

数学研究的对象是数量关系和空间形式。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。在数形结合的考查中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化；在解答题中，考查推理论证严密性，突出形到数的转化。

例3.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a

A.①③B.①④C.②③D.②④

解：f（x）=x3-6x2+9x-abc，a

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由图得f（1）=1-6+9-abc=4-abc>0，f（3）=27-54+27-abc=-abc

三、分类与整合思想

分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。分类要从具体出发，选取适当的分类标准。划分只是手段，分类研究才是目的。有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。在对含字母参数的数学问题进行分类与整合的研究时，重点的是考查学生思维严谨性与周密性。

例4.已知函数f（x）=ex-ax，其中a>0。

（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函数f（x）的图象上去定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1

本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法。第一问利用导函数法求出f（x）取最小值f（lna）=a-alna，对一切x∈R，f（x）≥1恒成立转化为f（x）min≥1从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断。

四、化归与转化思想

将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。化归与转化思想灵活、多样，无统一模式，要利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。

例5.设？琢为锐角，若cos（？琢+■）=■，则sin（2a+■）的值为.

本题考查同角三角函数、倍角三角函数、和角三角函数，利用化归与整体转化思想，通过换元，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题容易解决。

五、特殊与一般思想

通过对个例认识与研究，形成对事物的认识；由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论；由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程；构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想。

例6.已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+■与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求对所有n都有■≥■成立的a的最小值；

（Ⅲ）当0

本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力。本题主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思想方法。

六、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

例7.如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为（■-■）x+（■-■）y=0请你完成直线OF的方程。

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本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程去求直线OF方程：（■-■）x+（■-■）y=0。类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

七、建模思想

为了使描述的一个实际现象更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述这种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

例8.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm。

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（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要