2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学二模试卷（解析版）

2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（共10小题）.

1.有理数-3■的绝对值为（）

2.下列立体图形中，其左视图与另外三个立体图形的左视图不可能相同的是（）

3.下列说法正确的是（）

A.“在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件

B.疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查

C.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5

D.数据201,202,198,199,200的方差是0.2

4.一把直尺和一个直角三角板（含30°角的直角三角形板）按如图所示放置，若Nl=15°,

A.60°B.50°C.45°D.40°

5.下列计算：①。2・03=a5；②（a-b）2=a2-2ab+b2-,③（-2a2be）3=-Sa^b^c3；@3x2y4

4-(-Ay2)=-3肛2,其中计算正确的共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对

学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩.设原计划购买口罩x包，

则依题意列方程为()

7.对于函数丫=(x㊉1)",规定(x㊉1)"=底门+(n-1)xn2+(/t-2)x"-3+-2x+l,例

如，若尸(x㊉1)6,则有(x㊉1)6=6x5+5x4+4x3+3x2+2x+l.已知函数丫=(x㊉1)3,

那么方程(x㊉I)3=6的解的情况是()

A.有一个实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

8.如图，平面直角坐标系xOy中，点C(0,4)、D(4,0),等腰直角三角板A8。的斜

边OA=4,且OA在x轴上，顶点8在第二象限，将三角板沿x轴向右平移，当顶点3

落在直线CD上时，点A关于直线C。的对称点的坐标为()

9.如图，一次函数^=卷计4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、8,点C在反比例函数y

=K(%<o)的图象上.若aABc是等腰直角三角形，则下列&的值错误的是()

D49

A.-28B.-21C.-14L).----------

4

10.如图，已知点C、。是以4B为直径的半圆的三等分点，而的长为等，连接OC、AD,

)

V3C.2-小

D,

34323432

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.写出一个小于-加而大于的有理数：.

'l-x〉0

12.不等式组|/的最小整数解为_______.

--l<.x

2

13.五一期间，某旅游公司开展团队旅游有奖活动，凡组团报名满二十人的团队有一次抽奖

机会.抽奖设置如图所示，左转盘被等分成四个扇形区，各扇形区分别标有数字8、6、2、

1;右转盘被等分成三个扇形区，各扇形区分别标有数字4、5、7.抽奖时左右转盘各转

动一次，将箭头停留在扇形区内的两个数字相加求出和.奖品设置：和不大于8的获得

矿泉水20瓶；和为9或10或1I的获得遮阳伞20把；和为12或13的获得太阳镜20付;

和为15的获得免旅游费2000元.某团队获得免旅游费2000元的概率

为

14.如图，在菱形A8CZ）中，对角线AC与8。相交于点。，延长到点E,使

连接AE,分别取AE、0C的中点尸、G,连接尸G,若AC=8,BD=4,则线段FG的长

为.

AD

E

15.如图，在△ABC中，ZBAC=45°,ZABC=60°,AB=2,P为边8c上的一个动点

（不与端点8、C重合），点。与点P关于直线4B对称，点E与点P关于直线AC对

称，DE与边AB、AC分别相交于点Q、R.当△PQR的周长最小时，MADE的周长

是__________________.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

今小附甫十估a2-4.门a2-2a+6.口.？，。„

16.先化简，再求值：—z-----r（2--）,已知342-。-2=0.

aJ+2a+la+1

17.为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：cm）,

并绘制了如下两幅不完整的统计图表.

学生身高的频数分布表

组别身高（单频数

位：cm）

Ax<15515

B155<x<

160

C160«35

165

D165«15

170

Ex)1705

请结合图表中提供的信息解答下列问题:

（1）填空：样本容量为,a=,样本中位数所在组别为.

（2）学生身高扇形统计图中，C组的扇形的圆心角度数为.

（3）己知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于165C/M的学生约有多少人？

学生身高的扇形统计图

18.如图，已知的直径48=2,C是余上一个动点（不与点A、B重合），切线DC交

A8的延长线于点。，连接AC、BC、OC.

（1）请添加一个条件使△BACg/XOOC,并说明理由;

（2）若点C关于直线AB的对称点为E.

①当NCDB=度时，四边形ACCE为菱形：

②当AD=时，四边形OCDE为正方形.

19.2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的

意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研

究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备.已知购买5台A

型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台8型设

备.

（1）求两种设备的价格.

（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关

系（如yi所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如”所示）.

①》的解析式为；X的解析式为.

②当销售量（x）满足条件时，该公司盈利（即收入大于成本）.

（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备

每天生产量为1.2吨，8型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出.为保证

公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进

20.九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度.小明与小东分别采用不同

的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容：

课测量旗杆的高度

题

测测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：，〃）的皮尺等

量

工

具

测小明小东

量

成

员

意

图

示如图，旗杆的最高点。到地面的高度为ov,在测点A、B用仪器测得点4、B处的

意仰角分别为a、0,点A、B、C、。、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同

图一条直线上.

说

明

测AM=l.50w,AB=13.12/M,Na=37°,ZAM=\.50m,AB=33.225，Na=37°,

量0=60°Zp=60"

数

据

参sin37°^0.60,cos37°g0.80,tan37°g0.75,tan60°«=1.73

考

数

据

（1）请选择其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到0.1〃?）.

（2）在制定方案时，小芳同学曾提出方案“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”，

但未被采纳你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

21.如图所示，抛物线丫=公2+以+。的对称轴为直线工=3,抛物线与x轴交于A（-2,0）、

B两点，与y轴交于点C（0,4）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC,在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P,使△尸BC的面积最大？最

大面积是多少？

22.如图1,在矩形A8CD中，AB^3cm,BC=4cm,圆弧杷过点A和A。延长线上的点E,

圆心R在CO上，AE上有一个动点P,PQLAC,交直线AC于点Q.线段AP的长xc机

与PQ的长ypQcm以及RQ的长yRQcm之间的几组对应值如表所示.

X012345678

ypQ0122.93.94.75.35.54.8

YRQ4.34.44.34.13.52.71.71.22.6

(1)将线段AP的长度x作为自变量，在平面直角坐标系X。)，中画出了函数的图象,

如图2所示.请在同一坐标系中画出函数》边的图象.

(2)结合函数图象填空：(结果精确到0.1)

线段PQ的长度的最大值约为;

线段RQ的长度的最小值约为；

圆弧金所在圆的半径约等于；

连接PC,/XPAC面积的最大值约为；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P、。、R

为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP的长度的近似值.（结果精确到0.1）

23.如图1,在RtzMBC中，ZABC=90°,AB=BC,把射线BC绕点B旋转得到射线BM,

设旋转角为a（0°<aW360°）,作点C关于直线的对称点。，射线AZ）交射线8M

于点E,连接B。、CD、CE,CD交BM于息F.

（1）如图1,当a=30°时，△C£>E的形状是____________,"的值为____________.

AE

（2）当0°<aW360。时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2或图3的情形进行证明；如果

不成立，请说明理由.

②如果AB=痴，以点C、D、E、G为顶点的四边形是正方形，那么当BG：CF=1：2

时，直接写出线段AE的长.

沙

An---~7\

B

图1图2图3

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的

1.有理数-■1•的绝对值为（）

4

A33p4p4

A.-DR.—c.-D.—

4433

【分析】根据绝对值的性质解答即可.

解：有理数-g的绝对值为

44

故选：A.

2.下列立体图形中，其左视图与另外三个立体图形的左视图不可能相同的是（）

【分析】从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案.

解：因为圆柱的左视图是长方形，圆锥的左视图是三角形，长方体的左视图是长方形，

三棱柱的左视图是长方形，

所以圆锥的左视图与另外三个立体图形的左视图不可能相同.

故选：B.

3.下列说法正确的是（）

A.“在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件

B.疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查

C.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5

D.数据201,202,198,199,200的方差是0.2

【分析】根据方差公式、事件的确定性和不确定性，以及随机事件的含义和特征，逐项

判断即可.

解：A、“在足球赛中弱队战胜强队”是是随机事件，不是确定事件，故本选项不合题意;

B、疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用普查，故本选项不符合

题意；

C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5,正确，故本选项符

合题意；

D、平均数是：gx(201+202+198+199+200)=200,

5

则方差为(201-200)2+(202-200)2+(198-200)2+(199-200)2+(200-200)

5

2]=2,故本选项不符合题意.

故选：C.

4.一把直尺和一个直角三角板(含30°角的直角三角形板)按如图所示放置，若Nl=15°,

则N2的度数为()

A.60°B.50°C.45°D.40°

【分析】过点A作A/〃。E,利用平行线的性质即可求解.

解：如图，过点A作AF〃。区

AZ1=ZBAF=15O,

VZB=30°,N4C8=90°,

・,.N84c=60°,

：.ZCAF=60°-15°=45°,

■:DE〃MN,AF//DE,

J.AF//MN,

：.ZCAF=Z2=45°,

故选：C.

5.下列计算：①〃2・〃3=〃5；②（〃-〃）2=〃2_2ab+b2；③（-2a2be）3=-Scfihyc3；④3/y4

+（-xy2）=-3肛2,其中计算正确的共有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案.

解：①原式=〃，故①符合题意.

②原式=。2-2"+房，故②符合题意.

③原式=-&卅3c3,故③符合题意.

④原式=-3町巴故④符合题意.

故选：D.

6.某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对

学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩.设原计划购买口罩x包，

则依题意列方程为（）

【分析】设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x+5）包，利用单价=总价+数量，

结合药店对学生购买口罩每包优惠2元，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x+5）包，

依题意得：至=3+2.

xx+5

故选：B.

7.对于函数丫=（x®1）",规定（x㊉1）n—nx"''+（〃-1）x"'2+Cn-2）x"'3+'"2x+\,例

如，若>=（x㊉1）6,贝!］有（x㊉1）6=6犬5+5/+413+3/+2*+1.已知函数），=（A®1）3,

那么方程（）㊉1）3=6的解的情况是（）

A.有一个实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

【分析】先根据新定义得到3X2+2X+1=6,再把方程整理得3N+2X-5=0,然后计算判别

式的值，再利用根的判别式的意义进行判断.

解：；（x㊉1）3=3/+2%+1,

.,.3JC2+2X+1=6,

整理得3N+2x-5=0,

VA=22-4X3X（-5）=64>0,

...方程有两个不相等的实数根.

故选：c.

8.如图，平面直角坐标系xOy中，点C(0,4)、D(4,0),等腰直角三角板48。的斜

边。4=4,且OA在x轴上，顶点B在第二象限，将三角板沿x轴向右平移，当顶点B

落在直线8上时，点A关于直线CQ的对称点的坐标为()

A.(4,4)B.(2,2)C.(4,5)D.(5,4)

【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到点8的坐标为(-2,2),由平移的性质得

到点B落在直线CD上时坐标为(2,2),由对称性和勾股定理可得出结果.

解：如图所示，作BELOA于E,设平移后点B的位置在直线CQ上的对应点为8,

,点C(0,4)、D(4,0),

直线CD的解析式为y=-x+4,

•••△48。是等腰直角三角形，

...NBAO=NBOA=45°,

VOA=4,

：.OE=BE=2,

.•.点BC-2,2),

■:B(-2,2)向右平移以后落在直线8上为B',

：.B'为(2,2),

.•.点。和点。重合，

设A'的对称点为A”,

在△A'QB'和AA"03中，

'NB'=A"B'

</A'B'D=/A"B'E.

B'D=B'D

.♦.△ADB'dA"DB(SAS),

：.DA'=DA"=4,

...点A”为(4,4),

故选：A.

9.如图，一次函数、=看:+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点C在反比例函数y

=K(x<0)的图象上.若△ABC是等腰直角三角形，则下列k的值错误的是()

A.-28B.-21C.-14D.--

4

【分析】过点G作CQ_Lx轴于。，证明△AOB丝△GD4(A4S),可得点G坐标，同

理求得C2的坐标，进而由4C2的坐标，求得C3,代入解析式求解即可.

4

解：在丁=方才+4中，当x=0时，y=4,

O

：.B(0,4),

・•・OB=4；

A

当y=0时，0=—x+4,

o

.*.%=-3,

.♦.A(-3,0),

：.OA=3；

①当NCAB=900时，

过点Ci作GOLx轴于。，

u：ZBAC=90°,AB=AC\,

AZC\AD+ZBAO=90°,

'：ZBAO+ZABO=90°,

：.ZCiAD=ZABO.

在△AOB和△GD4中，

'NCAD=/AB0

,ZADC=ZBOA.

,AC=AB

.".AAOB^ACiDA(A4S),

CtD=AO=3,AD=OB=4,

，0。=3+4=7,

.••G点坐标为(-7,3),

:点G在反比例函数v=K(x<0)的图象上.

X

：.k=-7X3=-21.

当乙MC=90°时，同理得到C2(-4,7),

•.•点C2在反比例函数y=K(x<0)的图象上.

X

：.k=-4X7=-28,

当NAC8=90°时，C3的坐标是A、C2的中点,

77

。3(--,—),

22

.,7V749

224

综上，k的值为-21或-28或-尊，

4

故选：C.

10.如图，己知点C、。是以AB为直径的半圆的三等分点，而的长为与L,连接OC、AD,

O

则图中阴影部分的面积为（)

D

AOB

穴

AMR兀F「2兀«n2HV3

34323432

【分析】连接。C，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到/C00=60°,根据弧长公式求

得半径，利用勾股定理求出OE、DE,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到

答案.

解：连接0。，

•点C是以AB为直径的半圆0的三等分点，

：.ZCOD=GO<,,

•.•而的长为等，

・60兀・R2兀

180

:.R=2,

・・・00=2,

OE=^OD=\,£>E=零。O=F，

•,-50i»=SmiCOD-S.00E=」O冗・2_--i-X1XA/3=-^-JI-

3602v032

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.写出一个小于而大于的有理数：-1.7（答案不唯一）.

【分析】根据2<1.72<3,得到后<1.7<F，从而-«<-1.7V-亚，问题即可解

决.

解：；1.72=2.89,

.\2<1.72<3,

-y/3<-L7V-圾，

・・・这个有理数是-1.7（答案不唯一），

故答案为：-1.7（答案不唯一）.

l-x》O

12.不等式组|〜的最小整数解为-1.

--l\x

2

【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解

集，即可求出最小整数解.

1-x》。①

解一羡1<X②，

由①得：

由②得：x>-2,

所以不等式组的解集为-2<xW1,

则不等式组最小的整数解为-1,

故答案为-1.

13.五一期间，某旅游公司开展团队旅游有奖活动，凡组团报名满二十人的团队有一次抽奖

机会.抽奖设置如图所示，左转盘被等分成四个扇形区，各扇形区分别标有数字8、6、2、

1;右转盘被等分成三个扇形区，各扇形区分别标有数字4、5、7.抽奖时左右转盘各转

动一次，将箭头停留在扇形区内的两个数字相加求出和.奖品设置：和不大于8的获得

矿泉水20瓶；和为9或10或11的获得遮阳伞20把；和为12或13的获得太阳镜20付;

和为15的获得免旅游费2000元.某团队获得免旅游费2000元的概率为

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出和为15的情况数，然后根

据概率公式即可得出答案.

解：根据题意画图如下：

开始

共有12种等可能的情况数，其中和为15的有1种，

则某团队获得免旅游费2000元的概率为击.

故答案为：焉.

14.如图，在菱形A8C7)中，对角线AC与8。相交于点O,延长。B到点E,使BE=BD,

连接AE,分别取AE、OC的中点/、G,连接尸G,若4C=8,BD=4,则线段FG的长

为5.

【分析】延长AC至“，使CH=OA,连接E”，由菱形的性质得。4=OC=4,OB=OD

=2,ACLBD,再由勾股定理求出E4=10,然后证FG是△?!£：”的中位线，即可求解.

解：延长AC至4,使CH=OA,连接E”，如图所示：

:四边形48co是菱形，AC=8,80=4,

；.OA=OC=LC=4,OB=OD=—BD=2,AC±BD,

22

：.CH=OA^4,

：.OH=OC+CH=S,

•:BE=BD=4,

：.OE=OB+BE=6,

在Rt^OEH中，由勾股定理得：£W=^QE2<)H2=^62+82=IO)

；G是0c的中点，

：.OG=CG,

：.OA+OG=CH+CG,

即AG=HG,

•.•丁是AE的中点,

是△AEH的中位线,

:.FG=LEH=5,

2

故答案为：5.

15.如图，在AABC中，NA4c=45。，/ABC=60°,AB=2,P为边BC上的一个动点

（不与端点8、C重合），点。与点尸关于直线AB对称，点E与点P关于直线AC对

称，OE与边AB、4c分别相交于点。、R.当△PQR的周长最小时，的周长是

2V3+V6—•

【分析】连接A。、AE、AP,由题意可得A、£＞、E三点在以A为圆心，A。为半径的圆

上，进而可以判断是等腰直角三角形，则当APL3c时，△AOE的周长最小，再

分别求出AO=A£=«,DE=®AD=y[^,即可求解.

解：连接A。、AE、AP,

由对称性可知，AD=AP=AEf

・・・A、D、E三点在以A为圆心，A。为半径的圆上，

9

：ZDAQ=ZQAPfNPAR=NRAE,

:・/DAE=2/BAC,

VZBAC=45°,

AZDAE=90°,

；.△£>/!£是等腰直角三角形，

.•.当A。最短时，△ADE的周长最小，

'：AD=AP,

...当AP最短时，ZVIOE的周长就最小,

.•.当4P_LBC时，ZVIDE的周长最小，

；NABC=60°,AB=2,

；."=AB.sin60°=2X零=«,

.".AD=AE=\f2>

在Rt^AOE中，DE=yp^D=E，

MADE的周长为2近+在，

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.先化筒，再求值：:&上一宇）已知3/-4-2=0.

aJ+2a+la+1

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据3a2-a-2=0,可以

得到a+2=3«2,然后代入化简后的式子计算即可.

解:高…*）

=<a+2)(a-?)=2a+2-a2+2a-6

(a+1)2a+1

(a+2)(a~~2)a+1

(a+1)2-Q-2)2

______a+2

(a+1)(a-2)

a+2

=~~7，

a-a-2

由3a2-a-2=0可得,a+2=3a2>

17.为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：cm）,

并绘制了如下两幅不完整的统计图表.

学生身高的频数分布表

组别身高（单频数

位：cm）

Ax<i5515

B155«

160

C160«35

165

D165«15

170

EG1705

请结合图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：样本容量为100,〃=30,样本中位数所在组别为C.

（2）学生身高扇形统计图中，C组的扇形的圆心角度数为126。.

（3）已知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于165c7〃的学生约有多少人?

学生身高的扇形统计图

【分析】（1）根据A组所对应的圆心角的度数和频数，可以计算出抽取的样本容量，然

后计算B组所占的百分比得到“的值；

（2）根据（1）中的结果和C组的人数，可以计算出C所在扇形的圆心角度数；

（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出该校七年级学生身高不低于165a〃的学

生有多少人.

解：（1）抽取的样本容量是15+袅=100,

360

B组的人数为100-15-35-15-5=30,

所以“％=i-X100%=30%,则a=30；

100

样本中位数所在组别为C.

故答案为：100,30,C；

（2）C所在扇形的圆心角度数是：360°X盖=126°,

故答案为：126°；

15+5

(3)1500X=*300（人），

100

答：估计身高不低于165cm的学生约有300人.

18.如图，已知。0的直径AB=2,C是金上一个动点（不与点A、B重合），切线。C交

A8的延长线于点。，连接AC、BC、OC.

（1）请添加一个条件使aBAC也△ODC,并说明理由;

（2）若点C关于直线AB的对称点为£

①当NC£>8=30度时,四边形ACCE为菱形：

②当4£>=、万+1时,四边形OC£>E为正方形.

【分析】（1）如添加条件NA=30°,由已知NACB=/OCO=90°得△80C是等边三

角形，可得0c=。8,/ABC=/BOC=60°,从而得出结论；

(2)①当NC£)B=30°时，四边形ACDE是菱形，连接CE,根据CD是切线，可得N

CDB=ZCAB=30°,从而的AC=C£>,根据对称的性质可得C£>=E£>,AC=AE,从而

得到四边形4CDE四边相等，即可得出结论；

②由已知得OA=OC=1,若四边形。CZ)E是正方形，则△OCD是等腰直角三角形，从

而得到0D=近,进而得到AD的长.

解:(1)如添加条件NA=30°,

是。。的直径，

AZACB=90°,

是00的切线，

：.OC±CD,即NOCO=90°,

NACB=ZDCO,

\"OA=OC,

：.ZA=ZOCA=30°,

...NBOC=60°,

OC=OB,

.♦.△3OC是等边三角形，

：.BC=OC,NA8C=NBOC=60°,

：./\BAC^^ODC(ASA)；

(2)①当NCQB=30°时，四边形ACQE是菱形，

如图，连接CE,

根据对称的性质，则CQ=EZ),AC=AE,NEDB=NCDB=30°,

\'OC±CD,

；./COD=90°-ZCDB=60°,

•：OC=OA,

.\ZCAB=-|ZCOD=30

・・・NCQ3=NCA3=30°,

：.AC=CDf

：.AC=CD=ED=AE,

・・・四边形ACOE是菱形，

故答案为：30；

②・・・AB=2,

.\OA=OC=\9

若四边形OCDE是正方形，则△OCD是等腰直角三角形，

OD=yf2>

.•.4£>=0。+04=亚+1,

故答案为：J"^+L

19.2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的

意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研

究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备.已知购买5台A

型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台8型设

备.

（1）求两种设备的价格.

（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关

系（如）1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如”所示）.

①yi的解析式为yi=2x；y2的解析式为y2=x+10.

②当销售量（x）满足条件x>10时,该公司盈利（即收入大于成本）.

（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备

每天生产量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出.为保证

公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进

【分析】（1）根据购买5台A型设备和3台8型设备共需130万元，购买1台A型设

备的费用恰好可购买2台B型设备，可以列出相应的方程组，然后求解即可；

（2）①根据函数图象中的数据，可以分别求得yi的解析式和”的解析式；

②根据函数图象中的数据，可以直接写出当销售量（x）满足什么条件时，该公司盈利；

（3）根据题意和图象中的数据，可以列出相应的不等式，然后再根据台数为正整数，从

而可以得到A型设备至少需要购进多少台.

解：（1）设4型设备每台的价格“万元，B型设备每台b万元，

"5a+3b=130,解得卜=20,

Ia=2blb=10

答：A型设备每台的价格20万元，8型设备每台10万元；

（2）①设yi与x的函数关系式为》=依，

:点（10,20）在该函数图象上，

104=20,得k—2,

即yi与X的函数关系式为），I=2x；

设”与x的函数关系式为yi=cx+d,

[d=10

110c+d=20，

解得卜=1，

ld=10

即与X的函数关系式为），2=X+10；

故答案为：yi—2x,y2=x+10；

②由图象可得，

当x>10时，该公司盈利，

故答案为:x>10；

（3）设购进4型设备机台，则购进B型设备（10-m）台,

由题意可得，1.2m+0.4（10-in）>10,

解得>7.5,

•••修为正整数，

：.m至少是8,

答：A型设备至少需要购进8台.

20.九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度.小明与小东分别采用不同

的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容:

课测量旗杆的高度

题

测测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：加）的皮尺等

量

工

具

测小明小东

量

成

员

意

图

示如图，旗杆的最高点。到地面的高度为。M在测点A、8用仪器测得点A、8处的

意仰角分别为a、0,点A、B、C、D、例、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同

图一条直线上.

说

明

测AM=\.50m,AB=\3A2m,Za=37°,ZAM=\.50m,AB=33.22m,Za=37°,

量0=60°Zp=60°

数

据

参sin37°"=0.60,cos37°««0.80,tan370弋0.乃，tan60°*1.73

考

数

据

(I)请选择其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度(精确到0.1〃。.

(2)在制定方案时，小芳同学曾提出方案“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”，

但未被采纳你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)

【分析】(1)利用小明的方案，设5C=x,在中由NOBC=60,即可求得CD

=小，在RtACHE中根据tan/D4c=嗡■可得出x的值，由DN=CD+CN即可得出结

Av

论;

(2)根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等(答案不唯一).

解：⑴设BC=x,

在RtZ^BCZ）中，ZZ）BC=60°,

**•CD=\f^Xj

在Rt"C£>中,

CD

・・・tanNQAC=¥g

AC

.•返J=tan37。=0.75,

13.12+x

.*.x=10.0（m）,即3C=10.0（相）,

ADN=CD+CN=10.0+1.5=11.5（加）,

答：旗杆的高度为115〃；

(2)受天气条件影响，没有太阳光线，或旗杆底部不可能达到相等.

21.如图所示，抛物线y=ax2+fov+c的对称轴为直线x=3,抛物线与x轴交于A(-2,0)、

B两点,与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接8C,在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P,使△P8C的面积最大？最

大面积是多少？

【分析】(1)利用抛物线的对称性求出B点坐标为(8,0),设抛物线的解析式为y=

a(Jt+2)(x-8),然后把C点坐标代入求出a即可；

1Q

(2)设点尸的坐标为(x,-32+*+4),过点「作「。〃)，轴，交直线BC于点。，

42

则点D的坐标为(x,--^+4),根据S&PBC=SAPCD+SAPBD,得出S^PBC=£PD*OB=-

(x-4)2+16.运用二次函数性质即可求得答案.

解：(1)・・•抛物线的对称轴为直线x=3,A(-2,0),

・・・5点坐标为(8,0),

设抛物线解析式为y=〃(x+2)(x-8),

把。(0,4)代入得4=aX2X(-8),

解得a=--y,

4

・••抛物线解析式为y=-1(x+2)(x-8),

4

12

即y=—-x2+—vi+4；

42

(2)存在.设点尸的坐标为(x,--j-x2+--x+4),

42

设直线Be的解析式为>=丘+切awo).

将8(8,0)、C(0,4)代入了="+加，

得:产3°,

Im=4

k」

解得：1《2.

m=4

,直线BC的解析式为>'=-/x+4.

过点P作PD//y轴，交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,-5+4),如图.

1211

PD=--x2+—x+4-(---x+4)----x2+2x,

4224

,•*S&PBC=S4PCD+S4PBD,

.,.△PCD与APBD可以看作成以PD为底，两高之和为OB的三角形，

S^PRC=—PD,OB=—X8,(-—x2+2x)=-JC2+8X=-(x-4)2+16.

224

V-l<0,

.•.当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.

此时P点的坐标为(4,6).

22.如图1,在矩形ABC。中，AB=3cm,BC=4cm,圆弧金过点A和A。延长线上的点E,

圆心R在CO上，AE上有一个动点P,PQLAC,交直线AC于点。.线段AP的长xcm

与PQ的长ypQcm以及RQ的长yR（）cm之间的几组对应值如表所示.

X012345678

ypQ0122.93.94.75.35.5