大二下syx概率统计2012 2

第二章 随机变量及其分布1P(

AB)

P(

A)P

B

A

(P(

A)

0)(P(B)

0)P(

AB)

P(B)P

A

B

(P(

A1

A2

An

1

)

0)A1

A2

An

1

推广P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)P

A2

A1

P

An内

容

复习乘法公式利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式2B1B2BnAB1AB2ABn3n

Bi

i

1Bi

Bj

nA

ABii

1(

ABi

)(

ABj

)

A全概率公式与Bayes

公式

n

nP(A)

P(ABi

)

P(Bi)

P(A

Bi

)全概率公式Bayes公式P(BkP(

A)A)

P(

ABk

)

4n

i

1P(Bi

)P(

A

Bi

)P(Bk

)P(

A

Bk

)i

1

i

1意义：事件组Bn一般是导致A发生的所有可能的“原因”意义：A发生时，其原因是Bk的概率.A对B有修正作用。事件的独立性定义

设

A

,

B

为两事件，若P(

AB)

P(

A)P(B)则称事件A与事件B

相互独立四对事件

A,

B;

A,

B

;

A,

B;

A,

B任何一对相互独立，则其它三对也相互独立若

P(

A)

0,

P(B)

0,则“事件A

与事件B

相互独立”和

“事件A

与事件B

互斥”不能同时成立5定义 三事件

A,B,C相互独立是指下面的关系式同时成立：P(

AB)

P(

A)P(B)(1)P(

AC)

P(

A)P(C)P(BC)

P(B)P(C)P(

ABC)

P(

A)P(B)P(C)(2)注：1)

不能由关系式(1)推出关系式(2),反之亦然2)仅满足(1)式时,称A,B,C

两两独立A,

B,

C

相互独立

A,

B,

C

两两独立6常利用独立事件的性质计算它们的并事件的概率若n

个事件A1,A2,…,An

相互独立，则i

1nP(

Ai

)

P(

A1

A2

An

)ni

1

1

(1

P(

Ai

))n

i

1

1

P(

A1

A2

An

)

1

P(

Ai

)

1

P(

A1

A2

An

)ni

1ni

1P(

Ai

)

1

(1

P(

Ai

))7P(

A)

p,

0

p

1设Bernoulli

试验概型每次试验的结果与其他次试验无关——称为这n次试验是相互独立的n

重Bernoulli

试验概型：将随机试验重复n次每次试验感兴趣的事件为A即可看作每次试验有两个可能的结果：A,A8一般地，若

P(

A)

p,

0

p

19则k

kn

np)

,

k

0,1,2,

,

nP

(k

)

C

p

(1

n

kn

重Bernoulli

试验概型感兴趣的问题为：

在n

次试验中事件A

出现k

次的概率，记为Pn

(k

)第二章 随机变量及其分布10

正面向上

0,

反面向上X

(

)

1,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例

电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量

X

来描述

X

(

)

0,1,

2

例

抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述随机变量一般用

X,Y

,

Z,

或小写希腊字母,

,

表示

按一

定法

则

实数

X

(

)则称 上的单值实值函数

X(

)为随机变量定义

设E是一随机试验， 是它的样本空间，若§2.1

随机变量的概念随机变量的概念11随机变量是

R

上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域:随机性:随机变量X

的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值概率特性:X以一定的概率取某个值或某些值12

XA

1,

A

0,

A称XA

为事件A

的示性变量引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量随机变量的函数一般也是随机变量可以根据随机事件定义随机变量设A

为随机事件，则可定义13{X

100}

或

(

X

100)——表示“某天9:00

~10:00

接到的电话次数超过100次”这一事件14如，若用X表示电话总机在9:00~10:00接到的电话次数，则再如，用随机变量15

正面向上

0,

反面向上X

(

)

1,描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,

则(X

(

)

1)

—

正面向上也可以用

正面向上

1,

反面向上Y

(

)

0,描述这个随机试验的结果例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等=

{儿童的发育情况

}X

( )—身高Y( )—体重Z( )—头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系——即相互独立16随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为连续性随机变量任何随机现象可17被随机变量描述借助微积分方法 深入讨论引入随机变量重要意义(X

x)

的概率P(

X

x)定义了一个x

的实值函数，称为随机变量X

的分布函数，记为F

(x

),即F

(x)

P(

X

x),

x

随机变量的分布函数定义

设

X

为随机变量,

对每个实数

x

,

随机事件18分布函数的性质F

(x

)单调不减，即

x1

x2

,

F

(x1

)

F

(x2

)0

F

(x)

1且lim

F

(x)

1, lim

F

(x)

0x

x

F(x

)右连续，即F

(x

0)

lim

F

(t)

F

(x)t

x

0（为什么）19利用分布函数可以计算P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)ab（]]P(

X

a)

1

P(

X

a)

1

F

(a)P(

X

a)

F

(a)

F

(a

0)P(a

X

b)

F

(b)

F

(a

0)P(a

X

b)

F

(b

0)

F

(a)P(a

X

b)

F

(b

0)

F

(a

0)请填空20F

(x)

0

x

0x

1/

3

0

x

1/

21

x

1/

2计算21P(

X

0)P(

X

1/

4)P(

X

1/

4)P(0

X

1/

3)P(0

X

1/

3)P(

X

0)

F

(0)

F

(0

0)

1/

3

0

1/

3;例1

设随机变量

X

的分布函数：解P(

X

1/

4)

F

(1/

4)

F

(1/

4

0)

7

/12

7

/12

0;22P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

1

F

(1/

4)

1

7/12

5/12P(0

X

1/

3)

F

(1/

3)

F

(0)

2/3

1/3

1/

3P(0

X

1/

3)

P(

X

0)

P(0

X

1/

3)

1/

3

1/

3

2

/

3.§2.3

离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量的概念定义 若随机变量

X

的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称

X

为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即P(

X

xk

)

pk,

k

1,2,

X23Px1

x2

xk

p1

p2

pk

或概率分布的性质

非负性

pk

0,

k

1,2,

pk

1k

1规范性24离散型随机变量的分布函数xk

x25F

(x)

P(

X

x)

P(

(

X

xk

))

P(

X

xk

)

pkxk

x

xk

xpk

P(

X

xk

)

F

(xk

)

F

(xk

0)

F

(xk

)

F

(xk

1)F(

x)

是分段阶梯函数，在

X的可能取值xk

处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pk•1•2•

•

•k

k+1•o•1•o•o•op1p2kpF(X)26例1

设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令X表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数。目的地27出发地解P(

X

k)

pk

(1

p),

k

0,1,2,3P(

X

4)

p4

,

k

401xx]

•0,x

00

x

11

x

22

x

33

x

40.6,0.6

0.6

0.4,0.6

0.6

0.4

0.6

0.42

,0.6(1

0.4

0.42

0.43

),1x

4F

(x)

]•

]]

•

•

•2

3

4••pk120.60.4

0.6

0.42

0.6

0.433

40.6

0.44当p

0.4k

02801

2•

•

•

•3

4xF(

x)o••o1•o•o•o•29概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例2

在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：P(1

X

3),

P(

X

2)解

P(1

X

3)

P(

X

2)

P(

X

3)

0.42

0.6

0.43

0.6

0.1344或P(1

X

3)

F

(3)

F

(1)

0.42

0.6

0.43

0.6

0.134430P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

[P(

X

0)

P(

X

1)]

1

0.84

0.16P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

P(

X

2)

P(

X

2)

1

F

(2

0)

1

0.84

0.16或此式应理解为极限lim

F

(x)x

2

31例3

一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立，一次一次地轰击