8.1-8.2 空间几何体的结构特征、直观图-(必修第二册) (教师版)

空间几何体的结构特征、直观图1空间几何体的结构特征①空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体;旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.②棱柱(1)概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2)性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形.(3)分类①按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.②按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)③棱锥(1)概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.(2)性质平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.)(3)常见棱锥正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.(4)侧面展开图正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的.4棱台(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.(2)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.5圆柱(1)概念以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.(2)性质上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.(3)侧面展开图圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.6圆锥(1)概念以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.(2)性质平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图:三角形SAB如上图：l2(3)侧面展开图圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形.7圆台(1)概念用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.8球体(1)概念以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.(2)性质球心与截面圆心的连线垂直于截面；R2=r2+d22空间几何体的直观图①空间几何体的直观图用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图.②用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，一般步骤如下：建立平面直角坐标系:在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画出斜坐标系:在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45度(或135度),它们确定的平面表示水平平面.画对应图形:在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于x'轴,长度保持不变.在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y'轴,且长度为原来一半.对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.擦去辅助线:图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.③斜二测画法口诀平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚.④斜二侧画法的面积是原来图形面积的24(原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的22倍，故新高是原来高的24，而横向长度不变，所以面积变为原面积的【题型一】空间几何体的结构特征【典题1】给出下列命题：①底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③一个棱锥可以有两个侧棱和底面垂直；④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.其中正确的命题是()A.①②③B.①③C.②③④D.④【解析】对于①，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，如图所示，

若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V−ABC表示正三棱锥，∴①错误；对于②，当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴②错误；对于③，一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴③错误；对于④，一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如①中图形，∴④正确；对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑤错误．综上，正确的命题是④．故选：D．【点拨】①正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥；②若判断含“一定”“都是”之类绝对性字眼的命题是错误，举一个反例就行，比如判断命题②、⑤；若命题是含“可能”字眼的，便举个正例，比如判断命题④；③判断命题③，利用了反证法.【典题2】如图所示,在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,水面的形状,水的形状有何变化?【解析】(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.易得四边形FGHE是平行四边形，又∵∴四边形FGHE是矩形；(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱;水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形;水的形状可以是棱锥、棱柱,但不可能是棱台.【点拨】本题中水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分的几何体，第一要注意多种情况的考虑，比如可以想象平面α逐渐往上升，截面会出现多少种情况；第二要有什么量是不变的，主要就是平面FGHE均与平面BB1垂直的关系.巩固练习1(★)给出下列三个命题①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故①错误；当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故②错误；当锐角为60°的菱形沿短的对角线折成本棱锥时，有可能不是正三棱锥，举个特殊的三棱锥底面是正三角形，一个为等腰三角形的侧面与底面垂直，这时三侧面中，有一个是正三角形，两个是等腰三角形，故③错误．故选D．2(★)一个棱柱是正四棱柱的条件是()A、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】D【解析】上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．故A和B错在有可能是斜棱柱，C错在上下底面有可能不是正方形，D:底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故选D．3(★★)在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为()A．64 B．65 C．66 D．67【答案】C【解析】根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数16+9+16+9+16=66(个)．故选C．4(★★)如图是由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心O到点P的距离为()A．2 B．3 C．2 D．3【答案】B【解析】连接OP交平面ABC于O′，∵三根铁杆的两两夹角都是60°，∴△ABC和△PAB为正三角形，∴O'A=∵AO'⊥PO，OA⊥PA，∴△A∵半径OA=1∴OP=3故选B．【题型二】空间几何体的折叠和展开【典题1】如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A.2【解析】画出几何体的图形，连结D1A，延长至G，使得AG=AD，连结C1B，延长至F，使得BF=BC，连结连结D1F，则D1F∴D1E+CE【点拨】此题属于“最短路径问题”:要让线段D1E与EF共面，其实就是把平面ABCD沿着线段AB展开到与平面D1C1【典题1】小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm、20cm、5cm的长方体．为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎．如图所示，彩绳以A为起点，现沿着AB→BC→CD→DE→EF→FG→GH→HA环绕礼盒进行捆扎，其中A、B、E、F分别为下底面各棱的中点，C、D、G、H分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为()A．(40+152)cm B．(40+302)cm C．【解析】由A、B、E、F分别为下底面各棱的中点，可得AB+EF=20+20=40，由对称性可得要求所用包装彩绳的最短长度，可求BC+CD+DE的最小值，可将BC，CD，DE所在的平面展开到一个平面上，如图所示可得B，C，D，E四点共线时，BC+CD+DE的和取得最小值152，则所用包装彩绳的最短长度为40+302cm．故选巩固练习1(★)下面图形中是正方体展开图的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；B折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不成正方体．故选A．2(★★)如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1、2、3对面的数字是()A．4、5、6 B．6、4、5C．5、6、4 D．5、4、6【答案】D【解析】第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6，故选D．3(★★)北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)()A．14B．14πC．1+4π【答案】D【解析】过点A作AE⊥D′B′，垂足为E，其展开图如图所示由水管直径为4cm，所以水管的周长为AE=4πcm，则∠AB'E=α，又BE=所以cos∠α=B'E故选D．4(★★)如图，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高是()A．133+23a B．133−【答案】D【解析】折叠之后的正三棱锥如图，其中PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=b，AO=2∴PO=PA2∵∠PAC=30°，∴AC即b2代入①，得PO=1+故选D．5(★★)如图所示,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱A(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从B经M到C1的最短路线长及此时A1MAMQUOTE【答案】(1)210【解析】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形(1)矩形BB1B1所以三棱柱侧面展开图的对角线长为62(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到所以最短路线长为BC1=42显然Rt△ABM≌Rt△A所以A1M=AM,即【题型三】斜二测画法【典题1】如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中A'B'=A'C'，A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，那么△ABC是()A．等腰三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【解析】根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A'B'C'的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．【点拨】斜二测法：平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.【典题2】梯形A1B1C1D1(如图)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若AA.5 B.10 C.52 D.【解析】方法一如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O'y'，A1从而得出AD⊥DC，且AD=2A直观图中A1B1∥C1D1，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积S=12(2+3)×2=5方法二∵∠A1∴S梯