全国大学生数学建模竞赛题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型

#图形说明：以上五幅图表示四种疗法分别在五个分段周期内随着cd4的增长人数比例的变化趋势，经对比可看出第四种疗法随着时间的推移cd4的值大的部份人数比例比另外三种高，因此我们认为其疗效最好。疗效从优到劣依次为：4，3，2，1，每幅图的四条曲线均从1到4标明，分别表示四种疗法。对疗法四进行评价和预测，由于已知的因素只有统计的病人CD4的浓度，并且无法确定其它不确定因素，对于疗效也没有一个准确的描述，因此我们采用了灰色预测法。灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，它的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。尽管灰色过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具备潜在的规律。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相应程度，即进行相关分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势的状况。灰色预测用等时距观测到的反映预测对象的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。第一步，把时间平均分成40段，每段为一周，统计每段时间的平均CD4浓度作为每个时间点的值，生成一个序列x（0）{x（o）（k）}（k=l,2・・・38）作为原始时间序列（第2周和第3周没有病人进行检测，故k=38)。将原始序列累加k二1,x⑴(1)二x(0)(1)k二2,x(i)(2)二x⑴(1)+x(o)(2)k二3,x⑴⑶二x(1)(2)+x(0)(3)生成新的序列x⑴二{x⑴(k)}(k=l,2・・・38)第二步，建立GM(1，1)模型，相应的微分方程为：dx(1)+ax⑴=卩dt其中，a为发展灰数，卩为内生控制灰数。(aA设a为待估参数向量，a=，利用最小二乘法求解可得5丿a=(BtB)-1BtYn其中(11\——[x⑴(1)+x⑴⑵]12x(0)(2)--[x⑴(2)+x(1)(3)]1x(0)(3)B=2.・.Y=n-1x(0)(38)丿一一[x⑴(37)+x⑴(38)]1(2丿求解微分方程即可得预测模型a(1)aa、x(k+1)=[x(0)(1)一]e-ak+(k=0,l,2・・・n)aa第三步，模型检验。<1>关联度检验。按预测模型计算x⑴(i)，并将x⑴(i)累减生成x(0)(i)，然后计算原始序列x(0)(i)与x®(i)的绝对误差及相对误差序列：a(0)A(0)(i)=x(0)(i)-x(i)Q(i)=A^x100%x(0)(i)

计算(i)与x(O)(i)的相关系数：x(min(A(0)(i))+pmax(A(o)(i))O5)耳(i)二(i=1,2p=0.5A(0)(i)+pmax(A(0)(i))r=—^x(i)n

i=1r=0.851满足p=0.5时的检验标准r>0.60。故关联度检验通过。<2>后验差检验.:y⑼一y[x(0)(i)一x]2计算原始序列X⑼的标准差S=iYn—1计算残差A(0)计算残差A(0)的标准差S1(0)[A(0)(i)一An一1]2计算C=S2计算小误差概率S=0.6745S01(0)e(i)=A(0)(i)一A所有e(所有e(i)都小于S0，P=8.651，C<0.50，比较满意后验差检验通过。第四步，残差修正<3>残差检验。观察相对误差序列有的相对误差很大，所以要对原模型进行残差修正以提高精度。第四步，残差修正残差e(0)(j)=x(1)(j)-x⑴(j),按照同样的方法对e(0)建立相应的GM(1，1)模型u——&au——&aee(k+1)=[e(0)(1)一e]e—aek+ae求导得e(k+1)=(一。)[e(0)(1)一匕]e-aekea修正后的模型x(k+1)二[x(o)(l)—]e-ak++g(k—1)(—a)[e(o)(l)—e]e-a扌aaeaeb(k—1)J1'k-21为修正系数[0,k<2j经过计算后的结果原模型X⑴(k+1)=—2284.5e-0.0014k+2287.6修正后的模型k=0,1X⑴(k+1)=—2284.5e-0.0014k+2287.6k>2A(1)X(k+1)=—2284.5e—0.0014k+2287.6+—0.0128e—0.0019k预测之后CD4的变化趋势X(0)(k+1)=x(1)(k+1)—x⑴(k)得到预测序列A(0)x(n+1)二{3.034744,3.030498,3.026258,3.022024,3.017797,3.013575,3.009359,3.005148，3.000944，32.996746，2.992553，2.988367，2.984186，2.980011，2.975842，2.971678,2.967521,2.963369,2.959223,2.955083,2.950949,2.946821,2.942698,2.938581,2.93447,2.930365,2.926265,2.922171,2.918083,2.914,2.909924,2.905853}与原始序列进行比较，第38周以后的CD4值在不断递减，说明药物已产生副作用,应该停止治疗。问题(3):设8周为一个疗程,则4种疗法一个疗程所需费用分别为：1：68.04美元；2：193.2美元；3:137.2美元；4:204.4美元。由问题(2)知,四种疗法的疗效从优到劣依次为：4,3,2,1。将这些药品供给到不发达国家的人民则需考虑费用问题,疗法1费用低但疗效差,因此不考虑。疗法3比2的疗效好且费用低,因此考虑疗法3,将疗法3和4比较,虽然后者疗效好但费用远远高于前者,因此我们建议使用疗法3。模型评价由于对数据的处理采用了插值法填充缺失数据,平均值法求各整点数据,得到的统计值有一定的误差。问题(1)和问题(2)对模型的评价方法利用统计作图的方法,其准确性有待进一步讨论,还需进一步改进。参考文献徐国祥,《统计预测和决策》（第二版），上海：上海财经大学出版社，2005年8月《运筹学》教材编写组，《运筹学》（第三版），北京：清华大学出版社，2005年6月/tb/p.asp?/=10[4]Matlab电子教程附录>>a=[1.697.6313.1014.7911.54];>>plot(a)>>holdon;>>b=[14.0420.3424.1123.4719.23];>>plot(b,':')>>c=[42.7050.5634.2334.6950.00];>>plot(c,'r')>>d=[26.4013.8416.3718.8819.23];>>plot(d,'r:')>>e=[10.675.088.045.100.00];>>plot(e,'k:')>>f=[2.531.132.982.040.00];>>plot(f,'k--')>>g=[1.971.411.191.530.00];>>plot(g,'r--')>>holdoff;>>h=[0.004.656.855.26];>>plot(h)>>holdon;>>i=[0.577.5616.2012.91];>>plot(i,':'