专题1 分类讨论含参函数的单调性-(选择性必修第二、三册) (教师版)

分类讨论含参函数的单调性1导数与函数单调性的关系在某个区间(a,b)内，若f'(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若f'(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减．2对含参函数单调性的分析思路(1)如何分析原函数的单调性？答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.(2)那如何分析导函数的正负性呢？。答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).(导函数看“零点”，原函数看单调性)(3)那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：①导函数是否存在零点；②若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？③零点是否在定义域内？(4)怎么做到准确的分类讨论呢？答：①熟悉模型，确定分类讨论的标准；②做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.3各模型分类讨论的标准分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小；“二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化【典题1】设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=fA． B．C． D．【解析】由y=f'(x)的图象可知，函数f(x)的增区间为(－3,－1)，(0,1)；减区间为(－1,0)，(1,3)；观察选项可知，只有D选项符合题意；故选：D．【点拨】导函数的零点x=−3,−1,0,1,3才影响到导函数的正负性，从而影响到原函数单调性，而−2,2没影响！充分理解导函数的穿线图与原函数的趋势图之间的关系.1(★)函数y=fx的图象如图所示，则导函数y=f'(x)的图象可能是【答案】D2(★)已知函数y=(x－1)f'(x)的图象如图所示(其中f则y=f(x)的图象可能是()【答案】B【题型二】“一次函数”型【典题1】求函数fx【解析】fx的定义域是(1,+∞)，f'x(通分，x>1⇒x−1>0，则y=f'x(判断y=−kx+k+1的函数类型，分k=0和k(1)当k=0时，f'x=1x−1(2)当k≠0时，令f'x=0(一次函数y=−kx+k+1的斜率−k正数还是负数会影响导函数的正负性，分k<0和k>0讨论；同时注意零点x=1①当k<0时，x=1k+1<1，在(1,+∞)上，f②当k>0时，x=1在(1,1k+1)上，f'x>0，fx综上所述，当k≤0时，fx在(1,+∞)上递增；当k>0时，fx在(1,1k+1)【点拨】①本题分类讨论的思考：确定函数类型②“一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小！③本题对于导函数f'x=(1)从代数角度，x>1⇒1x−1>0，则k≤0时f(2)f'x=1x−1−k看成分式函数y=1x−1上下平移得到，则k≤01(★★)求函数fx=【答案】若k=0，fx在R若k>0，则fx在(−∞,−1k若k<0，则fx在(−∞,−1k【解析】f'令f'x=0，即kx+1=0(1)若k=0时，f'x=1>0，f(2)若k≠0时，则由kx+1=0得x=−1k(这里需要对①若k>0时，当x<−1k时，f'x<0，f(x)递减；当当②当k<0时，当x<−1k时，f'x>0，f(x)递增；当综上所述：若k=0，fx在R上为增函数；若k>0，则fx在(−∞,−1k若k<0，则fx在(−∞,−1k2(★★)已知a是实数，求函数fx=【答案】当a≤0时，fx在[0,+∞)当a>0时，fx在[0,a3【解析】函数的定义域为[0,+∞)，f'x=x+(考虑a3是否落在导函数f'x的定义域[0,+∞)内，需对参数a的取值分a≤0(1)当a≤0时，则f'x>0在[0,+∞)上恒成立，所以f(2)当a>0时，由f'x>0，得x>a3因此，当a>0时，fx的单调递减区间为[0,a3]，综上所述当a≤0时，fx在[0,+∞)递增；当a>0时，fx在[0,a33(★★)求函数fx【答案】若a≤0时，fx在(0,+∞)若a>0时，fx在0<x<1a上递增，fx【解析】f'∵fx=lnx−ax∴f'x=(那我们只需要y=−ax+1在各区间符号问题，注意数形结合)(1)若a=0时，fx=lnx在(0,+∞)上递增；(判断y=−ax+1(2)若a≠0时，令f'x=①若a<0时，当x>0时，f'x>0②若a>0时，当0<x<1a时，f'x>0，fx递增；当x>综上所述若a≤0时，fx在(0,+∞)若a>0时，fx在0<x<1a上递增，fx(该题把导函数f'x=【题型三】“二次函数”型【情况1】讨论开口方向已知函数fx=plnx+p−1x2【解析】fx的定义域为(0,+∞)f'(因为x>0，所以y=f'x的正负性等价于2p−1x(1)若p=1时，f'x=1x(2)若p≠1时，(抛物线的开口方向会影响导函数的正负性，分p>1和0<p<1)①若p>1时，f'x>0，故fx②若0<p<1时，令f'x=0则当0<x<p21−p)时，f'x综上所述当p≥1时，fx在(0,+∞)当0<p<1时，fx在(0,p2【点拨】①本题分析函数y=2②从代数的角度，也可知当p≥1时f'x=2p<1【情况2】讨论判别式求函数fx【解析】f'x=(x2+ax−2a不一定能在实数内因式分解，故思考导函数是否存在零点，由判别式决定，分∆≤0和(1)若∆≤0，即−2≤a≤0时，f'x≥0，(2)若∆>0，即a<−2或a>0时，令f'x=0，解得x1=当x1<x<x2时，f'x<0综上所述，当−2≤a≤0时，f(x)在R上递增；当a<−2或a>0时，f(x)在(−a−在−∞,−a−【点拨】对于“二次函数”型，求导后要思考下能否可以因式分解，若不能，则对判别式进行讨论，确定导函数零点存在情况！【情况3】讨论零点大小求函数fx【解析】fx的定义域为f'x令f'x=0(对导函数零点2、a与定义域端点0三者比较大小，先比较a与0的大小，分a>0和a≤0)(1)若a≤0时，当0<x<2时，f'x<0，fx递减；当x>2时，(2)若a>0时，(判断导函数零点2、a的大小，分a=2、a>2、a<2三种情况)①若a=2f'x=②若a>2当0<x<2或x>a时，f'x>0，fx递增；当2<x<a时，③若0<a<2当0<x<a或x>2时，f'x>0，fx递增；当a<x<2时，综上所述当a<0时，fx递减区间为(0,2)，fx递增区间为当a=2时，fx递增区间为0,+∞当a>2时，fx递增区间为(0,2)或a,+∞，fx递减区间为当0<a<2时，fx递增区间为(0,a)或2,+∞，fx递减区间【点拨】①求导后能够因式分解，说明导函数存在零点；②若函数存在零点，需要注意零点的大小比较，并且零点是否在定义域范围内，结合图象会更容易得到分类讨论的标准！【综合题型】讨论fx【解析】y=f(x)的定义域为0,+∞，(注意函数的定义域)f'令gx=x−1ax+a−1，x>0(第一步：讨论函数类型)(1)当a=0时，gx 当x∈(0,1)时，gx>0，即f' 当x∈(1,+∞)时，gx<0，即(2)当a≠0时，由gx=0，解得(第二步：讨论开口方向)①当a<0时，抛物线gx由于1a−1<0x∈(0,1)时，gx>0，即f' x∈1,+∞时，gx<0，即f②当a>0时，抛物线gx(第三步：比较导函数零点大小)ⅰ当a=12时，x1=x2，gx>0恒成立，即 ⅱ当0<a<12时，1a x∈0,1或x∈(1a−1,+∞)时， x∈(1,1a−1)时，gx<0ⅲ当12<a<1x∈0,1a−1或x∈1 x∈(1a−1,1)时，gⅳ当a≥1时，1ax∈(0,1)时，gx<0，即f'x∈1,+∞时，gx>0，即综上所述： 当a≤0时，函数fx在(0,1)上单调递增；函数fx在 当a=12时，函数fx 当0<a<12时，函数fx在(0,1)上单调递增；函数f在(1当12<a<1时，函数fx在0,当a≥1时，函数fx在(0,1)单调递减；在1【点拨】①求导后，通分，因式分解是个好习惯，能因式分解说明不需要讨论∆.f②分类讨论思路讨论函数类型③“二次函数”型，经常分类讨论的标准有：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；④分类讨论的次序不是固定的，本题中也可以先讨论零点大小，再讨论零点与定义域端点的大小；⑤在讨论繁琐时，建议以思维导图形式，画“导函数穿线图和原函数趋势图”梳理思路.1(★★)讨论函数fx=a+1【答案】当a≥0时，fx在(0,+∞)上递增；当a≤−1时，fx在当−1<a<0时，fx在(0,−a+1【解析】fx的定义域为(0,+∞)，f'x=(1)当a=0时，f'x=1x>0，(2)当时，①若a>0，f'x>0，f②若a<0ⅰ若a≤−1，f'x<0，fⅱ若−1<a<0，令f'x=0则当x∈(0,−a+12a)时，f'故fx在(0,−a+1综上所述；当a≥0时，fx在(0,+∞)当a≤−1时，fx在(0,+∞)当−1<a<0时，fx在(0,−a+12(★★★)若函数fx【答案】a<0时，fx的递减区间为0,递增区间为：−1+1+8aa=0时，fx递减区间为(0,2)，递增区间为(2,+∞)a>0时，fx的减区间为0,−1+1+8a【解析】fx的定义域0,+∞,f设ℎx=ax(1)当a=0时，ℎxx∈(0,2),ℎx<0,即f'x<0x∈(2,+∞),ℎx>0，即f'x>0(2)当a<0时，因为x=−12a>0①若∆≤0,即a≤−18时，在x∈(0,+∞)上ℎx所以fx在(0，+∞)②若∆>0时，令ℎx=0得x当0<x<−1+1+8a2a或x>−1−当−1+1+8a2a<x<−1−1+8a(3)当a>0时，因为x=−12a<0所以ℎx=0有一正一负两根，解得当0<x<−1+1+8a2a时，f当x>−1+1+8a2a时，f'综上所述：a<0时，fx的减区间为0,−1+1+8aa=0时，fx递减区间为(0，2)，递增区间为(2，+∞)a>0时，fx的减区间为0,−1+1+8a3(★★★★)fx=2lnx−2x−3,gx=p−2【答案】(−∞,−1]【解析】fx的定义域为(0,+∞)设ℎ设ℎ(求导后因式分解，最好用十字相乘法，只要判别式∆一定不小于0，那就一定可以因式分解，比如本题∆=4+4pp+2令gx=(x+1)(−px+p+2)，(g(第一：对函数类型的讨论)(1)若p=0,gx=2x+2>0，则所以ℎx在[1,2]上为增函数，ℎ(2)若p≠0,令gx=0，得(第二：对开口方向进行讨论，同时注意对两零点的大小，定义域的端点的大小)①当p>0时，ℎ1(ℎ②当p<0时，x2=1+2p<1，在[1,2]上，gx>0，若要满足题意只需要ℎxmin=ℎ综上所述：p的取值范围为(−∞,−1].【题型四】“指数函数”型【典题1】举一个与导函数f'x=(【解析】导函数f'x=(ex而y=ex−e，y=−ex则导函数g'x=(x−1)(−x+2)在−∞,1,(2,+∞)为负，在1,2【点拨】若能把“指数函数”型转化为“二次函数”型，那在画“导函数穿线图”上会显得更简单.【典题2】已知函数fx=【解析】f'若a≤0时，f'x>0若a>0时，令f'x=0，当x>lna时，f'综上所述：若a≤0时，fx在R若a>0时，fx在(lna,+∞)递增，【点拨】①导函数f'x=ex−a的图象可以看成是由y=e②不要一开始就令f'x=ex−a⇒x=ln【典题3】求函数f(x)=(x−2)ex+【解析】由题意得f'x=(求导因式分解，知道存在零点x=1，那要分析y=e(1)若a≥0时，当x<1时，f'x<0，fx递减；当x>1时，(2)若a<0时，令f'x=0⇒x1(比较两个零点的大小，此时f'x=(①当a=−e时，x2=ln－a=1=x1②若－e<a<0时，x2当ln－a<x<1时，f'当x>1或x<ln－a时，f'x③若a<−e时，x2当1<x<ln－a时，f'当x>ln－a或x<1时，f'综上所述当a≥0时，fx在(−∞,1)递减，在(1,+∞)当a=−e时，fx在R当－e<a<0时，，fx在(ln－a当a<−e时，fx在(1,ln－a【点拨】①求导后的因式分解很重要，从而确定零点个数；②当a<0时，导函数f'y=(x−1)(x−ln⁡1.(★)以下哪个导函数的正负性与导函数f'A.g'x=ex【答案】D2.(★★)求函数f(x)=e【答案】当a=0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，x∈(－∞,ln(3a))时f(x)单调递减，x∈(ln(3a),+∞)时f(x)单调递增；当a<0时，x∈(－∞,ln(－a))时f(x)单调递减，x∈(ln(－a),+∞)时f(x)单调递增．【解析】f'x(1)若a=0时，f'x=ex>0(2)若a>0时，令f'x=0，解得当x∈(－∞，ln(3a))时，f'x<0，当x∈(ln(3a)，+∞)时，f'x>0，(3)若a<0时，令f'(x)=0，解得x=ln(－a)，当x∈(－∞，ln(－a))时，f'x<0，当x∈(ln(－a)，+∞)时，f'x>0，综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，x∈(－∞，ln(3a))时，f(x)单调递减，x∈(ln(3a)，+∞)时单调递增；当a<0时，x∈(－∞，ln(－a))时，f(x)单调递减，x∈(ln(－a)，+∞)时单调递增．3.(★★★)求函数fx【答案】当a≤0时，f(x)在(－∞,2)递减；在(2,+∞)递增；当a=e2时，f(x)在当0<a<e2时，f(x)在(－∞,lna)，(2,+∞)递增，在当a>e2时，f(x)在(－∞,2)，(lna,+∞)递增；在【解析】f'(1)若a≤0时，当x<2时，f'x<0，fx递减；当x>2时，(2)若a>0时，由f'(x)=0，解得x1=2或①若a=e2时，x2=x1,②若0<a<e2当lna<x<2时，f'x<0当x>2或x<lna时，f'x>0，③若a>e2时，当2<x<lna时，f'x<0当x>lna或x<2时，f'x>0综上：当a≤0时，f(x)在(－∞，2)递减；在(2，+∞)递增；当a=e2时，f(x)在当0<a<e2时，f(x)在(－∞，lna)，(2，+∞)递增，在若a>e2时，f(x)在(－∞，1)，(lna，+∞)递增；在4(★★★★)讨论函数f(x)=ax－12【答案】当a≥0时，fx在(−∞,1)递减，在(1,+∞)当a=−12e时，fx当a<−12e时，fx在(当−12e<a<0时，fx在【解析】f'(x)=2a(x－1)−1−x(1)若a≥0时，2a+1当x<1时，f'x<0，fx递减；当x>1时，(2)若a<0时，f'(x)=令f'x①若a=−12e时，x1=x2，②若a<−12e时，当x<ln⁡(−12a)或x>1当ln−12a<x<1时，则函数f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，x0)内单调递增，在(x0，+∞)内单调递减．③若−12e<a<0当x<1或x>ln⁡(−12a)时，当1<x<ln⁡(−12a)综上所述当a≥0时，fx在(−∞,1)递减，在(1,+∞)递增；当a=−12e时，fx当a<−12e时，fx在(ln−当−12e<a<0时，，fx在(1,ln【题型五】“二次求导”型【典题】求gx【解析】g'(x)=e令p(x)=g'(x)=ex－sinx－a当x≥0时，p'(x)≥0，故p(x)在[0,