特征值特征向量及其应用

总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值与特征向量有着许多具体的应用。本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结：首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，例如定义法和初等变化法，并且对于每一种方法都详尽的叙述了解决过程，并举例说明。然后除此之外，本文重点介绍了特征值与特征向量在各个领域中的应用，在数学领域中，给出了对于高次幂矩阵的求解中的应用，从中可以知道对于高阶的矩阵如果发现其可对角化，那么就存在简便算法；在解决常微分方程和线性递推关系中同样有着重要的应用，从中可以了解对于有规律的线性关系可以通过对矩阵求解来进行递推；在物理领域中，先从简单的2阶振动模型入手，给出了如何将振动方程转化为矩阵特征值特征向量问题，然后再逐渐深入研究复杂的系统；在生活中，主要给出了三个方面，经济增长环境污染、种群分布以及生物中的遗传问题，通过具体的例子阐述二者在生活中的具体应用。最终可以得出，特征值与特征向量除了在数学中有着巨大的作用，在其他领域如生物、物理等方面同样被广泛应用，值得我们去深入的研究和讨论。参考文献[1]汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探讨[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报,2008(06):91-108[2]李延敏.关于矩阵特征值与特征向量同步求解问题[J].2004(08):20-31[3]赵院娥,李顺琴.矩阵的特征值与特征向量[J].江西科学,2009(10):05-14[4]邵丽丽.矩阵的特征值与特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报,2006:18-23[5]黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育,2007(04):34-45[6]向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院报,2009(03):105-117[7]张红玉.矩阵特征值的理论及应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2009(02):15-01[8]J.W.BackusETAL,ReportonthealgorithmiclanguageALGOL60,Numer.Math.v.2,1960,p.106—136.[9]夏慧明,周永权.求解矩阵特征值及特征向量的新方法[J].(广西民族大学数学与计算机科学学院学报,2008(11):83-93[10]郭华,刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报(自然科学版),2008(03):117-124[11]E.DURAND,SolutionsNumeriquesdesEquationsAlgebriques,VOL.2,MassonetCie,paris,1960,p,89—98.[12]H.J.MAEHLY,ZurIterativenAuflosungAlgebraischerGleichungen,A.Angew.Math.Phys.v.5,1954,p.234—254.[13]王秀芬.线性递推关系中特征值与特征向量的应用[J].潍坊学院学报,2004(04):36-42[14]E.N.LAGUERRE,OeuvresdeLaguerre,Gauthie-Villars,Paris,Vol.l,p.87—103.[15]J.B.RosserETAL,Separationofcloseeigenvalusofarealsymmetricmatrix,J..Res.Nat.Bur.Stangdars,v.47,1951,p.398—410.[16]杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：20—22.[17]戴华.矩阵特征值反问题的若干进展[J].南京航空航天大学学报，1995,27（3）：400—413.[18]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[19]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1993,115—137毕业论文文献翻译院系名称：院系名称：专业名称：学生姓名：学号：指导教师：完成日期年月日中国石油大学（北京）本科毕业论文文献翻译第11页PAGE11特征值与特征向量的应用引言在工程和科学的许多方面，都应用到矩阵的特征值与特征向量。控制理论、振动分析、电气回路、先进的动力学和量子力学，仅仅是在应用领域中的一少部分。许多应用都涉及到，将一个给定的矩阵转换为一个对角矩阵的过程中应用到特征值与特征向量，而我们在这部分中讨论这个问题。然后我们将继续展示求解一阶和二阶的耦合差方方程的过程是多么重要。先决条件：在本节的开始之前你应该：①了解矩阵和决定性因素②了解一阶线性微分方程学习成果：在完成本节之后你应该学会……①将模态矩阵对角化，使其变为具有鲜明特征值的矩阵。②用“退耦”法解线性微分方程组。特征值与特征向量的应用具有鲜明的特征值矩阵的对角化：对角化意味着将一个非对角线性矩阵转换成等价的对角矩阵，从而使其变得更容易处理。矩阵A具有鲜明的特征值，正如我们在第22.1节中提到的性质3，这是线性无关的特征向量。如果我们将矩阵P的列向量当成特征向量，然后它可以证明det(p)≠0使得P-1存在。乘积P-1AP，就是对角矩阵D的对角元素即为A的特征值。因此如果λ1、λ2……λn是A的不同特征向量X（1）、X（2）……X（n）的特征值。P=[X（1）﹕X（2）：……X（n）]得出P-1AP=D=我们可以看到在D中特征值的顺序，与在P中特征向量的顺序相匹配。N.B.（a）该矩阵P称为A的模态矩阵。（b）对于一个对角矩阵D，具有特征值，若它们合同则说明矩阵D与矩阵A相似。将A转换成D应使用：P-1AP=D，叫做一个相似转换。例:让A=。获得的模态矩阵和其相似化矩阵P-1AP。（这个特殊矩阵A的特征值与特征向量可以通过以前的计算中获得）。解：在矩阵A中有两个不同的特征值，，与对应的特征向量和，因此我们可以通过这些形式最简单的特征向量得到其构成的矩阵。（其他的特征向量也是可以的，比如我们可以用，但是没有必要做更复杂的运算）。很容易获得这个2×2矩阵的逆，但是读者必须确认：现在我们可以构造P-1AP∴===通过重复上面论述的方法，我们可以得到那么我们就可以发现，（所得到的对角元素也将被互换）。矩阵具有特征值-1和3以及相应的特征向量分别为。如果写出结果（你可能不需要做详细的计算）。注意，当D1=D2时，这表明A的任意特征向量可以用P来表示。另外请注意，由于列P1已经与P3互换然后有D3中的特征值与D1中的相比。矩阵的作用：如果P-1AP=D，那么我们就可以得到A作为矩阵方程的主体如下，在其左边乘以P在右边乘以P-1后得到PP-1APP-1=PDP-1.但是PP-1=P-1P=I，所以IAI=PDP-1并且A=PDP-1。我们可以用这个结果来获得一个方阵，这一过程有时是在控制理论中最有用的，但需要注意的是A2=A.A.A3=A.A.A。正如我们所期望的，想要直接获得A更高的权限，则需要更多的乘法。这个过程相当简单，但是对于一个对角矩阵D。如果D=那么求出D2、D3和D10。解：继续用此方法可得现在我们应用这种关系A=PDP-1.以获得用对角矩阵D更容易求A的算法，同理可得：同样：由此可以得出规律例如，求出。解：从以前处理过的例子我们可以得出的当，，因此可以得出，。这是很容易确定的。一阶线性微分方程系统：一阶线性常微分方程组出现在数学以及工程等许多领域，例如在控制理论和电路的分析中。在每种情况下，基本未知量是每个时间变量t的函数。许多方法已经被开发出来用来解决这种方程组；例如拉普拉斯变换或利用指数矩阵的方法。在这里我们将使用特征值与特征向量以获得解决方案。我们第一个步骤就是重铸常微分方程组中的矩阵形式，，其中A是n×n常系数矩阵，X是未知函数中n-1列的列向量，是含有未知量所衍生出来的n-1列的列向量。其主要步骤是使A的模态矩阵变成沿对角线方向的微分方程系统。这一过程将使得变为，其中D是对角矩阵。我们会发现，微分方程这一新的对角系统可以轻松解决。这种特殊的解决办法将使得我们获得原系统的解决方案。获得下述对一阶微分方程的解：对于给定的初始条件，x（0）=3x=3t=0，y（0）=2y=2（符号是）回想一下，在微分方程的课程中，该微分方程的通解为且在上面的例子中，虽然我们对两个差分方程求解，但他们是独立的，我们不需要了解矩阵理论来解决这些问题，不过我们应该注意的是，这里的两个差分方程可以写成矩阵形式。因此，如果则上式可以写成最终得。考虑两对差分方程本质的区别在于第一对是真正独立的方程，在第一个方程中仅仅涉及一个未知量x，第二个仅包含y。在矩阵计算中，这相当于中的对角矩阵A。在第二个系统中，x，y分别耦合在这个方程中，这对应于方程中的非对角矩阵A。显然，这里的第二个方程比第一个更加难以解决，在这里我们可以使用对角化知识。例如：找出下面耦合方程的解与初始条件x（0）=1，y（0）=0，这里。解：如上定义则微分方程的原始形式可以写为，正如我们所看见的，在本例中，。我们现在通过关系X=PY，其中P是A的模态矩阵，推出一个新的未知的列向量。然后，因为P是一个常数矩阵，所以，然后在左边乘以P-1可得。但是由于模态矩阵的性质，我们知道为对角矩阵，因此如果是A的不同的特种值则，那么上式变为。续解：当我们写出来即得到，这些是去耦方程。第一个方程只涉及到未知函数r（t），具有解，第二个方程只涉及到未知函数s（t），具有解，其中C，K为任意常数。一旦发现未知的r，s是原已知的x，y则可以发现关系式X=PY。需要注意的是，上面叙述的理论适用于任何微分方程系统，其中A是一个n×n阶，并具有鲜明特征值的矩阵。考虑本例中，很容易得出它的不同的特征值和特征向量。因此，如果然后可得，并且，所以因此，我们现在可以将初始条件x（0）=1，y（0）=0赋予，因此C=K=1和原方程的解为。我们已经证明，在这个例子中我们可以扩展到：（a）含有2个以上未知数的一阶微分方程系统中（b）二阶微分方程系统唯一的限制，我们已经说过，是在方程，其中A具有明显的特征值。二阶微分方程系统：在上面讨论的去耦方法中，可以很容易扩展到下面这种情形，比如在组成耦合弹簧的机械系统中。这种带有两个未知数方程有一个典型的例子如下，或者写成矩阵的形式其中，使得，其中A和P为模态矩阵。A假定在这里有不同的特征值。解决由此产生的去耦方程，在实际应用中均为负数。解：正是将一阶系统的X=PY放入二阶系统的，其中并且。总结出。也就是（其中为负）。这两个非耦合方程，表示简谐运动微分方程的形式。因此一般的解决方案，通过使用X=PY，可以获得x，y的解决方案。在第二种情况下，使用第四种初始条件，x，y分别是求A、B、C、E时所需的条件。对于一个物理系统，在它的特征值和特征向量进行分析，大大简化了系统的分析过程，并且给出了十分重要并深入了解系统特征的方法。例如，一旦系统的特征值和特征向量上面已经确定，那么它的运动方式完全可以根据初始条件和求解一组代数方程来简单的确定。介绍这篇文章是对于特征值和特征向量问题的一个简单介绍（不要担心如果在此之前你并没有听说过）。在开始之前你应该适应基本的矩阵运算。如果你有信心已经非常了解，那么可以跳过它。需要注意的是这里并没有说明怎么完成运算，假设你正在使用一台计算机，可以处理矩阵或应用Matlab这样一个程序。此外，本文只处理最普遍的情况。这里可能并没有涵盖所有特殊的情况。特征值和特征向量许多都是依据特征值对自身提出一个问题。在这个公式中A是一个n乘n阶矩阵，v是一个非零的n乘1阶向量，作为一个标量。对任意的一个的值，该方程中有一个解被称为矩阵A的特征值，它有时也被称为特征值。它的矢量v，对应于该值呗称为本征向量。特征值问题可以改写为：。如果v是非零的，该方程就只有一个解，如果，这个公式被称为A的特征方程，并且是一个n阶多项式与n的根。这些根称为A的特征值，我们只会处理n个不同的根的情况，尽管他们可能会重复，对于每一个特征值都将会有一个特征值向量，那么特征值方程为真，这是最容易通过举例子来说明的，下面举出一个例子：找出一个2×2矩阵的特征值和特征向量，如果，然后特征方程是，并且给出两个特征值为，接下来要做的就是找出两个特征向量，让我们找出特征向量，我们知道特征值，首先：如此我们便可以清楚的得出，需要注意的是，根据第二行我们可以得到，在任意一种情况下我们发现，第一个特征向量是任意两个元素的列向量，起中两个元素有相同的大小和相反的符号。，其中是任意常数，请注意我们没有使用+1和-1，我们可以使用任何两个大小相等符号相反的数。经过相同的步骤我们可以得出第二个特征向量为：再次，+1和-2是选择任意的特征向量，只有他们的比例是非常重要的。特征值和特征向量是为了分析各种各样微分方程所准备的。这一部分将通过考虑一个非常简单的振动问题，来告诉我们是如何将一个集总参数系统应用到其中。并且在接下来的部分，将给出详尽的物理解释，并考虑更加复杂的系统。特征值、特征向量和相似性1.0介绍在这一部分的所有章节中，我们会给出一些争论问题的解决办法，并在本章中通过举例说明它们是如何产生的，以及他们的概念和应用。1.0.1基变换和相似性每一个可逆的矩阵，都可以做基本的相似变换，并且每一个可以进行相似变换的矩阵都是可逆矩阵。因此如果是给定的向量空间V中的一个基础矩阵，且T是向量空间V中的给定的线性变换，并且如果A是基础矩阵在线性变换T下所得的矩阵，那么所有可能的关于基础矩阵变换T就变成是可逆变换。这是一种对于所有的矩阵相似于A的变换。相似但并不是完全相同的矩阵，因此不同的基本矩阵代表着不同的线性变换。人们希望找到一种相似矩阵来分享很多重要的内容，最终那些内容本质上就是一些潜在的线性变换，并且这在线性代数中也是一个十分重要的主题。通常将它们从一个关于矩阵的问题，转换为一个根本性质为线性变换的问题，并且仅仅是一些可能性问题的代表。这个相似性质在本章是一个最关键的概念。1.0.2约束极值和特征值在本章中第二重要的概念就是特征值和特征向量。我们将看到，使Ax是x的一个倍数的非零向量x在研究一般矩阵或线性变换的结构中起着重要的作用，而这样的向量出现在求具有一个几何约束条件的实对称二次型的极值的基本问题中，即取的最大值，使得是已经给定的。这样一种约束优化问题的传统方法是引入Lagrangian对于一个极值问题的重要条件是因此，如果满足的向量是的一个极值点，它必须满足方程因而Ax是x的倍数，这一对称为一个特征值、特征向量。1.1特征值-特征向量方程1.1.1记号我们用表示域F上的矩阵，通常F取实数域R或复数域C。所讨论的问题几乎常常是一些适合于复数矩阵的情形，这时简记作，对于复数矩阵的一般性质不感兴趣的读者，无论用实数代替复数来阐述什么内容，都很少在表述中，在代数中或在实际中做出本质区别。但是应注意，常常在讨论多项式的根和其他与“较大”的复数域有关的灵活性问题时，R与C之间存在着较大的差别，通常，最好把实数矩阵看成具有特定元的复数矩阵，我们知道，有n个实分量（相应地，复分量）的所有向量组成的集合（向量空间）用(相应地)表示，并且都把它们看作列向量。最后,的转置（0.2.5），记作,而当时，Hermite伴随是A的共轭转置，记作。类似地，如果，则表示与有相同分量的行向量，而当时，表示其分量为的相应分量取复共轭后的行向量，这里“”上加一横“”表示一个复纯量的复共轭(见附录A)或者表示一个响亮或矩阵按分量取复共轭。矩阵可看作从到的线性变换(对于的某个给定的基)，不过把它看作数的一个阵列也是有用的。A的这两个概念是相互影响的，数的阵列能告诉有关线性变换的信息，而这正是矩阵理论的实质和应用的关键。或许，矩阵理论中最重要的概念应该是与A相关联的n个数的集合，这就是A的特征值集合。1.1.2定义设，，考虑方程（1.1.3）其中是纯量，如果纯量和非零向量x恰好满足这个方程，那么称为A的一个特征值，而x称为A的属于的特征向量。注意，这两个概念不可避免的要成对出现，并且，特征向量不能是零向量。1.1.4定义的所有特征值的几何称为A的谱，记做，A的谱半径是非负实数。这真是包含A的所有特征值的、圆心在复平面原点的最小圆盘的半径。例考虑矩阵因为于是，有及相应的特征向量。同时，。可以求得相应于特征值5的特征向量。我们知道，多项式在矩阵处取值是有明确定义的，这是因为可以自乘方阵得到一个正整数幂，并且可以做出同阶矩阵的线性组合，于是，（1.1.5）请注意一个有用的事实，通过多项式的关系得到的与相关的矩阵A有想用的特征向量；他是诸多特征值与