一元二次方程的根与系数的关系（导学案）九年级数学上册系列（人教版）

学习目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系。2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。重难突破韦达定理的内容：当Δ

≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为：x1+x2=−ba,x1【易错点】使用韦达定理的前提条件：1)先把方程化为一般式。2)Δ≥0。核心知识韦达定理的内容：当Δ

≥0时，两根的和等于______________与_____________的比的相反数，两根的积等于________________与____________的比，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为：x1+x2=____________,x1x2=【易错点】使用韦达定理的前提条件：1)先把方程化为____________。2)Δ___________0。思维导图复习回顾【提问】1.一元二次方程的一般形式？2.一元二次方程有实数根的条件是什么？3.一元二次方程的求根公式是什么？新知探究【问题】解下列方程并完成填空：(1)x−3x−4

=0(2)x

2−2x

=0(3)2【问题】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？【问题】从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论？由此引出韦达定理的内容：当Δ

≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为：x1+x2=−ba,x1人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。【易错点】使用韦达定理的前提条件：1)先把方程化为一般式。2)Δ≥0。典例分析例1不解方程，求下列方程两个根的和与积(1)2x2-3x＋1＝0(2)x2-3x＋2＝10(3)7x2-5＝x+8[针对训练]：“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。”你觉得他说的对吗？2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．43已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若m−1n−1A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．104关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x1、xA．74 B．75 C．75.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。新知讲解【问题】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x21）平方和x12）倒数和1x1+13）差的绝对值|x1-x2|=4)x15典例分析例2设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：1）x1+x2=,2)x1·x2=,3)x12+4)(x1+1)(5）1x1+1x[针对训练]1已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则baA．﹣6 B．2 C．16 D．16或22已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k−3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2αA．-13 B．12 C．14 D．154．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则b−A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．1感受中考1．（2023·四川遂宁真题）若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式2．（2023·湖南真题）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是3．（2022·湖北随州真题）已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范围；(2)若x1x24．（2022·湖北十堰真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．课堂小结【参考答案】复习回顾【提问】1.一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0（a≠0）2.一元二次方程有实数根的条件是什么？△=b2-4ac≥03.一元二次方程的求根公式是什么？x=新知探究【问题】解下列方程并完成填空：(1)x−3x−4

=0(2)x

2−2x

=0(3)2【问题】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？x1+x2=-px1x2=q【问题】从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？将方程(x－x1)(x－x2)＝0化为x2＋px＋q＝0的形式为：x2-(x1+x2)x+x1x2=0由此可得：x1，x2与p，q之间的关系为：x1+x2=-px1x2=q【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？根据求根公式可知x1+x2=−b+b2−4ac

2a+x1x2=−b+b2−4ac

2a×−b−b即：x1+x2=−ba,x1x【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论？当Δ

≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]而ax2+bx+c=a(x2+ba+c则a(x2+ba+ca)=a[x2-(x1+x2)x+x1x即：x1+x2=−ba,x1由此引出韦达定理的内容：当Δ

≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为：x1+x2=−ba,x1人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。【易错点】使用韦达定理的前提条件：1)先把方程化为一般式。2)Δ≥0。典例分析例1不解方程，求下列方程两个根的和与积(1)2x2-3x＋1＝0(2)x2-3x＋2＝10(3)7x2-5＝x+8答案：解：(1)x1+x2=−ba=32

x1x(2)x1+x2=−ba=3x1x2=(3)x1+x2=−ba=17

x1x[针对训练]1.小明说:“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。”你觉得他说的对吗？答案：不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程无实数根。2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（C）A．1 B．﹣3 C．3 D．43已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若m−1n−1A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．104关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且A．74 B．75 C．75.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1×2=3k=-6∴x1＝-3则方程的另一个根是-3,k的值是-2。新知讲解【问题】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x21）平方和x12+2）倒数和1x1+1x2

3）差的绝对值|x1-x2|=(4)x1x5典例分析例2设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:1）x1+x2=4,2)x1·x2=1,3)x12+x4)(x1+1)(x25）1x1+1x2=[针对训练]1已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则baA．﹣6 B．2 C．16 D．16或22已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0的两个实数根，且3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5βA．-13 B．12 C．14 D．154．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则b−A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．1感受中考1．（2023·四川遂宁真题）若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2∴a+b=3，∴a+b−ab=3−1=3−1=2，故答案为：2．2．（2023·湖南考真题）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是【详解】解：根据题意可得：a=1,b=m,c=−20，∴x1∵该方程一个根为−4，令x1∴−4x2=−20故答案为：5．3．（2022·湖北随州真题）已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范围；(2)若x1x2【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴此方程根的判别式Δ=2k+12−4k（2）解：由题意得：x1