两个平面垂直

9.5两个平面垂直【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题．

【知识梳理】1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．【知识梳理】2．两个平面垂直的判定和性质Ba

O

A

a

Ba

O

A

l

a

类语言表述图示字母表示应用判定根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角．

AOB是二面角

a

的平面角，且

AOB=90，则

证两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角．

，

AOB是二面角

a

的平面角，则

AOB=90证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

a

证直线和平面垂直【知识梳理】重要提示1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面

的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和

垂直的平面

，设

=l，在

内作直线a

l，则a

．2．三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直

线线垂直”；③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．【知识梳理】重要提示(2)线面垂直的证明①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直

线面垂直”；②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直

线面垂直”；④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.(3)面面垂直的证明①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直

面面垂直”.【点击双基】

1.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有()A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCDC2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是()A.aB.aC.aD.aC3.设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0C【点击双基】

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1—BD—A的正切值为5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为a

【典例剖析】

例1如果

，

，

=a，那么a

．mAPnB

a

【典例剖析】

例2

如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.【典例剖析】

例3

如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.【典例剖析】

例4

已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.【典例剖析】

补：例5由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设

ASB=

，

BSC=

，

ASC=

，其中

，

，

均为锐角，则平面ASB

平面BSC的充要条件是cos

cos

=cos

．【知识方法总结】

1.证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线