数理统计试卷及答案

安徽大学2011—2012学年第一学期《数理统计》考试试卷（B卷）

（闭卷时间120分钟）一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设总体一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设总体(A)(C)X~N(1,9)，(X1,X2，|l(,X9)是X的样本，则(X-1〜N(0,1)；1X-1〜N(0,1)；9(B)(D)).X-13X-1N(0,1)；N(0,1)•2、设X2、设X「X2,…,Xn为取自总体X〜N（~；「2）的样本，X为样本均值,1n_S2 (Xi-X)2，ny则服从自由度为n-1的t分布的统计量为(A) n(X— (b)(A) n(X— (b) -1(X-■丄)Sn(C) 、n-1(X-」)（D）十3、若总体X〜N（U「2）,其中二2已知,当样本容量n保持不变时,如果置信度1减院/系 年级 专业 姓名 学号 题号-一--二二三四五总分得分得分小，则」的置信区间（（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.4、 在假设检验中，分别用〉，［表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n—定时，下列说法中正确的是（ ）.（A）＞减小时1也减小； （B）■增大时一：也增大；（C） 其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.5、在多元线性回归分析中，设（?是B的最小二乘估计，◎二Y-X是残差向量，则（）.（A）；?=0n； （B）Cov（?）=；「2［ln-X（XX）'X］；（C） 是▽2的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对.n—pT、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6、设总体X和丫相互独立，且都服从正态分布N（0,32），而（X,X2HX9和（丫1飞川,绻）TOC\o"1-5"\h\z是分别来自X和Y的样本，则II-4亠川亠X9服从的分布是 .施+川+丫92 "7、设8?与§2都是总体未知参数日的估计，且筑比必有效，则说与必的期望与方差满足8设总体X~N（.=；「2），二2已知，n为样本容量，总体均值.二的置信水平为1-二的置信区间为（X_扎X+“，则k的值为 .9、设X「X2,…,Xn为取自总体X〜N（72）的一个样本，对于给定的显著性水平 :-，已知关于2检验的拒绝域为 1&n—1），则相应的备择假设Hi为 ;10、多元线性回归模型Y二XB•;中，B的最小二乘估计是了二三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）［丄「5XA011、已知总体X的概率密度函数为f（x）二-e,X0,其中未知参数二0,【0, 其它（X1,X2」l（,Xn）为取自总体的一个样本，求d的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.12、设X1,X2，…，Xn是来自总体X〜P「）的样本，一0未知，求，的最大似然估计量13、已知两个总体X与丫独立，X〜(叫，打),丫~(七,二；),%」2,打未知，_2(兀公2,||(人)和(丫仆丫2,||(,丫％)分别是来自X和丫的样本，求二的置信度为1-:的置信区间•14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤•在一批苹果中随机取9个苹果称重，得其样本修正标准差为S=0.007公斤,试问：(1)在显著性水平 0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求？(2)如果调整显著性水平〉=0.025，结果会怎样？(號.025(9)=19.023, 70.05(9)=16.919,龙.025(8)=17.535, 北爲5(8)=15.507)15、设总体X〜N(a,1)，a为未知参数，a，R，，…，X.为来自于X的简单随机样本，现考虑假设：H。：a=a°，比：aHa°(a°为已知数)取:=0.05，试用广义似然比检验法检验此假设(写出拒绝域即可) .(u0.025=1.96，U0.05-1.65， 0.025(1)=5.024， 0.05(1)=3.841)得分四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) _16、设总体X服从B(1,p)分布，(X1,X2,Xn)为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVU.E

17、设XmXn是来自两参数指数分布p（x;»i）=丄e"」）Ux匸0的样本，证明（X,x⑴）是（号）充分统计量.五、综合分析题（本大题共10五、综合分析题（本大题共10分）得分18、现收集了16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据，求得X=0.125,X=0.125,沪45.788,'(Xi—X)=0.3024,i=11616 2'(Xi-X)(yi-y)=25.5218,v(y—y)-2432.4566.iA i-1（1）建立Y关于X的一元线性回归方程？=氏+（?x;⑵对Y与X的线性关系做显著性检验（《■=0.05,Fo.05（1,14）=4.6O,t°.025（14）=2.1448,to.os(14)=1.7613)

安徽大学2011—2012学年第一学期《数理统计》(B卷)考试试题参考答案及评分标准、选择题(每小题2分，共10分)1、1、A2 、D3、C4 、C5 、B、填空题(每小题2分，共10分)6、t(9) 7、E(f?)=E(d?),D&)<D((?)9、二2：：：咗10、Cov(?二二2(XX)~(本大题共5小题，每小题10(本大题共5小题，每小题10分，共50分)n解：(1)v,二EX二xf(x)dx-xePx-v，用V1=- Xj二X代替，所以皿 0 n曲三、计算题11、：：1xn10(2)E(询=E(X)'E(XJ=E(X)-J，所以该估计量是无偏估计.10nyx12、解：总体X的分布律为p(x,J=P「X=x26e」,x"2m设(X1,X2,|l(,Xn)为样本(X1.X2JH.Xn)的一个观察值，似然函数n n?x nL()puP(X二片) , 4分im iTx! iTx!对数似然函数nlnL()=-n•亠二xiln，；-ln(x!)】，imd1n(lnL())d1n(lnL())=0.-n—'Xi■ i=1d‘'d2(lnL('))1xi=1?点的最大似然估计值，■的最大似然估计量为10分13、解：设S2,S2分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理知

P-F./2（n1~^1,n2一D*：F:::Fj/2（n17屯一〔）1=1八，s2/s2 w2 s2/s； <—<

lF1歆2（n1—1,n2—D°2 F（/2（n1_1,n2-2匚1~2二2S2/&置信度为1—的置信区间为2匚1~2二2S2/&置信度为1—的置信区间为<Fi_a：2（ni_1,n2-〔）S2/S；F：/2（n1_1,n2_1）10分14、解：(1)Ho：-冬0・005,22n-1S20.058二0.005，•:28，则应有:為5（8）=15.507,具体计算得:22 80.0070.0052=15・6815.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要求.(2)新设H0:；「2乞0.005,由0.025T7.(2)新设H0:；「2乞0.005,由0.025T7.535,—280.007假设，求.20.005即可以认为苹果重量标准-15.68:::17.535,则接受差指标达到要10分n1匹(X』15、解：似然函数为L(x1，…，xn;a)二 ei-（2二）n/2从而1 冷》（Xi厘0）2L（x1, ,Xn;a0）：（2二）n/~2e又参数a的极大似然估计为X，于是supL（x「supL（x「,Xn；a）=」e£（Ea二Rn/2（2二）得似然比函数为TOC\o"1-5"\h\zsupL（X1，…，Xn；a） n_（X1,,Xn）二宁 exp｛；（X-a。）2｝， 5分L（x「，Xn；a°） 2给定〉=0.05,得0.05=P（■（X1,,Xn） 0Ia=a°）=P°（n（X-a°） 2ln■°），因为当H。成立时，n（X—a。）2〜X2（1），此即V05（1）=3.84=2In打，从而上述问题的拒绝域是W0二｛n（X-a°）2 3.84｝. 10分四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)16、证明：X的分布律为f(x;p)=px(1—p)Jx=0,1.容易验证f(x;p)满足正则条件，于是I(p)：nf(x;p)1P(1-p)另一方面1 p(1—p)1Var(X)Var(X)=n nnl(p)10即X得方差达到C-R下界的无偏估计量，故X是p的一个UMVUE分1017、证明样本的联合密度函数为_nx_n-■育丁_nx_n-■育丁IxL1±% P(N，川，人；二丄)=(匚)匕二1§)_nx_n-■n_nx_n-■nerl§)jh(xJ|(,Xn)=1,取t二区“)),g(t^H(—)故由因子分解定理，(X,X(!))是(」,d)充分统计量. 10分五、综合分析题(本大题共10分)18、解：(1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为16(Xi-X)(yi-9)— 「皿二84.3975,、 2 0.3024点=45.788-84.39750.125二点