2023-2023高考数学模拟试题含答案

2024-2024高考数学模拟试题含答案2024-2024高考数学模拟试题含答案

一、选择题

1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为()A．10组

B．9组

C．8组

D．7组

2．已知向量av，bv满意a=v

||1b=v，且2ba+=vv，则向量av与bv的夹角的余弦值

为（）

A．

2

B．

3

CD．

4

3．设双曲线22

22:1xyCab

-=(00ab>>，)的左、右焦点分别为12FF，，过1F的直线分别

交双曲线左右两支于点MN，，连结22MFNF，，若220MFNF?=uuuuvuuuuv

，22MFNF=uuuuvuuuuv，则双曲

线C的离心率为().

ABCD4．设i为虚数单位，则(x＋i)6的绽开式中含x4的项为()

A．－15x4

B．15x4

C．－20ix4

D．20ix4

5．已知P为双曲线22

22:1(0,0)xyCabab

-=>>上一点，12FF，

为双曲线C的左、右焦点，若112PFFF=，且直线2PF与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）

A．43yx=±

B．34

yx=?C．3

5yx=±D．5

3

yx=±

6．若()34ixyii+=+,,xyR∈,则复数xyi+的模是（）

A．2

B．3

C．4

D．5

7．若不等式222424axaxxx+->，则“4ab+≤”是“4ab≤”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

12．已知ABCV为等边三角形，2AB=，设P，Q满意APABλ=uuuruuur

，

()()1AQACλλ=-∈Ruuuruuur，若3

2

BQCP?=-uuuruur，则λ=（）

A．

12

B．

12

2

±C．

110

2

±D．

322

2

±二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处时测得大路北侧一山顶D在西偏北

的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________m.

14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.

15．已知实数x，y满意24240xyxyy-≥??

+≤??≤?

，则32zxy=-的最小值是__________．

16．已知sincos1αβ+=，cossin0αβ+=，则()sinαβ+__________．

17．某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一班级本科生中抽取_______名同学．

18．在极坐标系中，直线cossin(0)aaρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则

a=__________．

19．已知正三棱锥PABC-的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥

PABC-的体积为________.

20．如图，已知P是半径为2

，圆心角为

3

π

的一段圆弧AB上一点，

2ABBC=uuuvuuuv，则PCPA?uuuvuuuv

的最小值为_______．

三、解答题

21．已知椭圆22221(0)xyabab+=>>的离心率为6

，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点

为顶点的三角形的面积为22．（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与,AB两点，以线段AB为直径的圆截直线1x=所得的弦的长度为5，求直线l的方程．

22．某小组共10人，利用假期参与义工活动，已知参与义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参与座谈会．

()1设A为大事“选出的2人参与义工活动次数之和为4”，求大事A发生的概率；

()2设X为选出的2人参与义工活动次数之差的肯定值，求随机变量X的分布列和数学期

望．

23．已知等差数列{}na满意：12a=，且1a，2a，5a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；

（2）记nS为数列{}na的前n项和，是否存在正整数n，使得60800nSn>+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

24．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆2

2

34xy+=上，对角线BD所在直线的斜率为

1．

（1）当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程．（2）当60ABC∠=?时，求菱形ABCD面积的最大值．

25．某市场讨论人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2024年连续六个月的利润进行了统计，并依据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并猜测该公司2024年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要选购一批新型材料，现有,AB两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,AB两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B

10

30

40

20

100

假如你是甲公司的负责人，你会选择选购哪款新型材料？参考数据：

6

1

96i

iy

==∑6

1

371iiixy==∑

参考公式：回归直线方程???y

bxa=+，其中()()()

()1

1

2

22

1

1

?=

nn

i

i

ii

iin

n

i

i

iixxyyxynxy

bxxx

nx

====---=--∑∑∑∑

***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题1．B解析：B

由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.

2．D

解析：D

依据平方运算可求得12

ab?=rr，利用

cos,ababab?=rrrrrr求得结果.

由题意可知：222

2324bababaab+=+?+=+?=rrrrrrrr，解得：12

ab?=rr

cos,4ababab?∴===

rrr

rrr本题正确选项：D

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.

3．B

解析：B

本道题设2MFx=,利用双曲线性质,计算x，结合余弦定理，计算离心率，即可．

结合题意可知,

设22,,,MFxNFxMN===则

则结合双曲线的性质可得,21122,2MFMFaMFMNNFa-=+-=

代入,解得22xa=,所以12222,22NFaaNFa=+=,

01245FNF∠=对三角形12FNF运用余弦定理,得到

()()

()()(

)

2

2

2

22

22

22222222cos45aa

a

caa

a++-=+?,解得3c

ea

=

=故选B.

本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x，即可，难度偏难．

4．A

解析：A试题分析：二项式的绽开式的通项为

，令

，则

，故

绽开式中含

的项为

，故选A.

二项绽开式，复数的运算

本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于简单题.一般来说，把握复数的基本概念及四则运算即可．二项式

可以写为

，则其通项为

，则含

的项为

．

5．A

解析：A

依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PFFFc==，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，可得2MFb=，对2OFM∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2bac=+，联立222cab=+，即可求得4

3

ba=，问题得解．

依据题意作出图象，如下：

则1122PFFFc==，OMa=，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，所以2OMPF⊥,所以222MFcab=

-=

由双曲线定义可得：212PFPFa-=，所以222PF

ca=+，所以()()()()

222

22222cos2222caccbOFMccac++-∠==??+

整理得：2bac=+，即：2bac-=将2cba=-代入222cab=+，整理得：4

3

ba=，所以C的渐近线方程为43

byxxa=±=±故选A

本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算力量及方程思想，属于难题．

6．D

解析：D

试题分析：依据题意可知34xiyi-=+，所以有3{4

yx=-=，故所给的复数的模该为5，故

选D.

考点：复数相等，复数的模.

7．C

解析：C

由题意，不等式222424axaxxx+-=且()2

22age≠=，又由()fx在(1,2)上单调递增，得到

()0fx'≥在(1,2)上恒成立，进而得到xaxe≥在(1,2)上恒成立，借助函数()xgxxe=在

(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2age>=，即可得到答案.

由题意，函数()(3)(2ln1)x

fxxeaxx=-+-+，

可得2()(3)(1)(2)()(2)()xx

x

x

axeafxexeaxexxxx

-'=+-+-=--=-?，

又由函数()fx在(1,)+∞上有两个极值点，

则()0fx'=，即(2)()0xxea

xx

--?=在(1,)+∞上有两解，

即0xxea-=在在(1,)+∞上有不等于2的解，

令()x

gxxe=，则()(1)0,(1)x

gxxex'=+>>，

所以函数()x

gxxe=在(1,)+∞为单调递增函数，

所以()1age>=且()2

22age≠=，

又由()fx在(1,2)上单调递增，则()0fx'≥在(1,2)上恒成立，

即(2)()0xxea

xx

--?≥在(1,2)上恒成立，即0xxea-≤在(1,2)上恒成立，

即xaxe≥在(1,2)上恒成立，

又由函数()x

gxxe=在(1,)+∞为单调递增函数，所以2

(2)2age>=，

综上所述，可得实数a的取值范围是22ae>，即2(2,)ae∈+∞，故选C.

本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、规律推理力量与计算力量，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，推断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时留意数形结合思想的应用.

9．B

解析：B

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．

解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．

故选B．

考点：由三视图求面积、体积．

10．C

解析：C

本题依据双曲线的渐近线方程可求得ab=，进一步可得离心率.简单题，注意了双曲线基础学问、基本计算力量的考查.

依据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得ab=，所以c2a=则该双曲线的离心率为e2c

a

==，故选C．

理解概念，精确     计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易消失理解性错误.

11．A

解析：A

本题依据基本不等式，结合选项，推断得出充分性成立，利用“特别值法”，通过特取

,ab的值，推出冲突，确定必要性不成立.题目有肯定难度，注意重要学问、基础学问、规律推理力量的考查.

当0,0a>b>时，2abab+≥，则当4ab+≤时，有24abab≤+≤，解得

4ab≤，充分性成立；当=1,=4ab时，满意4ab≤，但此时=5>4a+b，必要性不成

立，综上所述，“4ab+≤”是“4ab≤”的充分不必要条件.

易消失的错误有，一是基本不等式把握不熟，导致推断失误；二是不能敏捷的应用“赋值法”，通过特取,ab的值，从假设状况下推出合理结果或冲突结果.

12．A

解析：A

运用向量的加法和减法运算表示向量BQBAAQ=+uuuruuuruuur，CPCAAP=+uuuruuuruuur

，再依据向量的数

量积运算，建立关于λ的方程，可得选项.

∵BQBAAQ=+uuuruuuruuur，CPCAAP=+uuuruuuruuur，

∴()()

BQCPBAAQCAAPABACABAPACAQAQAP?=+?+=?-?-?+?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

()()2211ABACABACABACλλλλ=?---+-?uuuruuuruuuruuuruuuruuur

()()232441212222

λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A.二、填空题

13．1006试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又由于所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：

试题分析:由题设可知在

中,

,由此可得

,由

正弦定理可得,解之得,又由于,所以

,应填

.

考点：正弦定理及运用．

14．18应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni

解析：18

应从丙种型号的产品中抽取300

60181000

?

=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝

n∶N．

15．6画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线

解析：6

画出不等式组表示的可行域，由32zxy=-可得322zyx=-，平移直线322

z

yx=-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．

画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由32zxy=-可得322

z

yx=-．平移直线322zyx=

-，结合图形可得，当直线322

z

yx=-经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．由题意得A点坐标为(2,0)，

∴min326z=?=，

即32zxy=-的最小值是6．故答案为6．

求目标函数(0)zaxbyab=+≠的最值时，可将函数zaxby=+转化为直线的斜截式：

az

yxbb=-+，通过求直线的纵截距zb的最值间接求出z的最值．解题时要留意：①当

0b>时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距z

b

取最小值时，z也取最小值；②当

0b，得(0)xyaa+=>，

由2cosρθ=，得2

=2cosρρθ，即22=2xyx+，即22(1)1xy-+=，

由于直线与圆相切，所以1112012.2

aaaa-=∴=±>∴=+Q，，，

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2

cos,sin,ρθρθρ的形式，

进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必需同解，因此应留意对变形过程的检验.

19．或做出简图找到球心依据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种状况正三棱锥的外接球的表面积为依据公式得到依据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径

解析：

334

或93

做出简图，找到球心，依据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种状况.

正三棱锥PABC-的外接球的表面积为16π，依据公式得到2

1642,rrππ=?=

依据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则

2,2,2OPrOArOHh=====-，底面三角形的外接圆半径为AH，依据正弦定理得

到

3

sin60=

在三角形OAH中依据勾股定理得到()2

23413hh-+=?=或三棱锥的体积为：13

ABChS??V

代入数据得到1113332???=

或者1133332???=

这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再依据半径，顶点究竟面中心的距离，球心究竟面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

20．5﹣设圆心为OAB中点为D先求出再求PM的最小值得解设圆心为OAB中点为D由题得取AC中点M由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最

解析：5

﹣

设圆心为O,AB中点为D,先求出22219

44

PCPAPMACPM?=-=-uuuruuuruuuuruuuruuuur，再求PM的最小

值得解.

设圆心为O,AB中点为D,

由题得22sin

2,36

ABACπ

=??=∴=.

取AC中点M，由题得2PAPCPMPCPAAC?+=?-=?uuuvuuuvuuuuvuuu

vuuuvuuuv,两方程平方相减得22219

44

PCPAPMACPM?=-=-uuuruuuruuuuruuuruuuur，

要使PCPA?uuuruuur

取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.

此时DM=

1,22

DM∴==

,

所以PM有最小值为2﹣

2

，

代入求得PCPA?uuuruuur

的最小值为5﹣

故答案为5﹣

本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面对量的数量积及其最值，意在考查同学对这些学问的理解把握水平和分析推理力量.

三、解答题

21．（1）22

162

xy+=；（2）2yx=-或2yx=-+.

（1）依据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2＝b2+c2，即可求椭圆C的方程；

（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12xx+及12xx?，结合弦的长度为

即可求斜率k的值，从而求得直线方程．

解：（1）由椭圆()222210xyabab+=>>的离心率为3

，

得c=

，b=.

由2

1223

Scba=??==a=b=22162xy+

=．（2）解：设直线():2ABlykx=-，()11,Axy，()22,Bxy，AB中点()00,Mxy．

联立方程()22

2360ykxxy?=-?+-=?

得()2222

13121260kxkxk+-+-=，

22

12122212126,1313kkxxxxkk-+==++.()

2122113kABxxk+=-=+．所以2

02

613kxk

=+，

点M到直线1x=的距离为22

022

316111313kkdxkk

-=-=-=++．由以线段AB为直径的圆截直线1x=

2

22

22ABd???-=?????

，所以(

)

2

2

22

22213113132kkkk?+????-?-=???++???

????

?，解得1k=±，所以直线l的方程为2yx=-或2yx=-+．

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12xx+及12xx?，代入弦长公式

AB=

，考查同学的计算力量，属于中档题．22．（1）1

3

；（2）()1EX=.

（1）可依据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参与义工活动的次数之和为4”的全部可能状况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；

（2）由题意知随机变量X的全部可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．

（1）由已知有11

23432

101

()3

CCCPAC?+==，所以大事A的发生的概率为

13

；（2）随机变量X的全部可能的取值为0，1，2；

2223342104(0)15CCCPXC++===；1111

33342107

(1)15CCCCPXC?+?===；11

342

104

(2)15

CCPXC?===；所以随机变量X的分布列为：

数学期望为()

0121151515

EX=?

??.

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理力量，是中档题．

23．(1)通项公式为2na=或42nan=-;(2)当2na=时，不存在满意题意的正整数

n；当42nan=-时，存在满意题意的正整数n，其最小值为41.

（1）依题意，2,2,24dd++成等比数列，故有()()2

2224dd+=+，∴240dd-=，解得4d=或0d=.∴()21442nann=+-?=-或2na=.

（2）当2na=时，不存在满意题意的正整数n；当42nan=-，∴()224222

nnnSn??+-??

=

=.

令2260800nn>+，即2304000nn-->，解得40n>或10n，解得n<<

．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，

，，则1232nxx+=，21234