2023-2023高考数学一模试题

2024-2024高考数学一模试题2024-2024高考数学一模试题(附答案)

一、选择题

1．在等比数列{}na中，44a=，则26aa?=（）A．4

B．16

C．8

D．32

2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．

54

钱B．

43

钱C．

32

钱D．

53

钱3．在正方体1111ABCDABCD-中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为

A．

2

BCD4．下列各组函数是同一函数的是（）

①()fx=

与()fx=()fxy==()fxx=与

()gx=

③()0

fxx=与()0

1gxx

=

；④()221fxxx=--与()2

21gttt=--．A．①②B．①③

C．③④

D．①④

5．若θ是ABC?的一个内角，且1

sinθcosθ8=-，则sincosθθ-的值为（）

A．

B

C．2

-

D

6．?>C．33abab>?>

D．22abab>?>

11．设,ab∈R，数列{}na中，2

11,nnaaaab+==+，Nn*∈,则（）

A．当101

,102

ba=

>B．当101

,104

ba=

>

C．当102,10ba=->

D．当104,10ba=->

12．渐近线方程为0xy±=的双曲线的离心率是（）A

．

22

B．

1C．2

D．2

二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处时测得大路北侧一山顶D在西偏北

的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________m.

14．设函数()21

2

log,0log(),0xxfxxx>??

=?--，则实数a的取值范围是

__________．

15．在ABC?中，角,,ABC的对边分别为,,abc，4c=，42sinaA=，且C为锐角，则ABC?面积的最大值为________.16．已知函数2

1,1()()

1

axxfxxax?-+≤=?

->?，函数()2()gxfx=-，若函数()()

yfxgx=-恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为______．

17．某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一班级本科生中抽取_______名同学．

18．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．

19．若45100ab==，则1

22()ab

+=_____________．

20．已知1OA=uuur，3OB=uuur，0OAOB?=uuuruuur

，点C在AOB∠内，且AOC30∠=o，设

OCmOAnOB

=+uuuruuuruuur，(,)mnR∈，则m

n=__________．三、解答题

21．已知()lnx

efxaxaxx

=+-.

（1）若0a-?2120loglogaaa>???>??或()()1220

loglogaaa-??01aaa>??

??>??

或

11

aaaa

?->-??或10a-??+>?

，解得2a>，

综上可得：实数a的取值范围为(]

2,3.

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1

fx=，肯定值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算力量，属于中档试题.

17．60采纳分层抽样的方法从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的∵该校一班级二班级三班级四班级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一班级本科生中抽取同学人

解析：60

采纳分层抽样的方法，从该校四个班级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.

∵该校一班级、二班级、三班级、四班级的本科生人数之比为4:5:5:6，

∴应从一班级本科生中抽取同学人数为：

4

30060

4556

?=

+++

.

故答案为60.

18．390用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有其次步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390解析：390

用2色涂格子有种方法,

用3色涂格子,第一步选色有,其次步涂色,共有

种,

所以涂色方法种方法,

故总共有390种方法.

故答案为:390

19．依据所给的指数式化为对数式依据对数的换地公式写出倒数的值再依据对数式的性质得到结果则故答案为本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是娴熟应用对数的运算性质属于基

解析：2

依据所给的指数式，化为对数式，依据对数的换地公式写出倒数的值，再依据对数式的性质，得到结果．

45100ab==Q，

4log100a∴=，5log100b=，

10010010012

log42log5log1001ab∴+=+==，则1222ab??+=???

故答案为2

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是娴熟应用对数的运算性质，属于基础题．

20．3由于所以从而有由于所以化简可得整理可得由于点在内所以所以则

解析：3

由于30AOC∠=o

，所以coscos30OCOAAOCOCOA

?∠===?o

uuuruuuruuuruuur

，从而有

2=uuuruuuruuur

．由于1,0OAOBOAOB==?=uuuruuuruuuruuur

=，化简可得222334mmn=+，整理可得229mn=．由于点C在AOB∠内，所以0,0mn>>，所以3mn=，则

3m

n

=三、解答题

21．（1）见解析；（2）1[,)e

+∞.

（1）()fx的定义域为()0,+∞，且()()()2

1xxeaxfxx--'=，据此确定函数的单调性即

可；

（2）由题意可知()10x

bxelnx--≥在[

)1,+∞上恒成立，分类争论0b≤和0b>两种情

况确定实数b的取值范围即可.

（1）()fx的定义域为()0,+∞∵()()()2

1xxeaxfxx--'=

，0a∴函数()fx在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.（2）当1a=-时，()1xfxbxbexx??+--

-???

()1x

bxelnx=--由题意，()10x

bxelnx--≥在[

)1,+∞上恒成立

①若0b≤，当1x≥时，明显有()10x

bxelnx--≤恒成立；不符题意.

②若0b>，记()()1x

hxbxelnx=--，则()1x

hxbxex

'=-

,明显()hx'在[

)1,+∞单调递增，（i）当1

be

≥

时，当1x≥时，()()110hxhbe≥=-'≥'∴[

)1,x∈+∞时，()()10hxh≥=（ii）当10be?'->??

∴存在01x>，使()0hx'=.

当()01,xx∈时，()0hx'∴()hx在()01,x上单调递减；在()0,x+∞上单调递增∴当()01,xx∈时，()()10hxh，则11,,222aE??-???

，()1,1,0CA=uu

ur，()0,0,CPa=uuur，

11,,222aCE??=-???

uuur，()1,1,PAa=-uuur

.

由BCAC⊥且BCPC⊥知，()1,1,0mCB==-uruuur

为平面PAC的一个法向量.设(),,nxyz=r为平面

EAC的一个法向量，则0nCAnCE?=?=ruuurruuur，即0

0xyxyaz+=??-+=?

，取xa=，ya=-，则(),,2naa=--r

，有

cos,mnmnmn?===?urrurrurr2a=，从而()2,2,2n=--r，()1,1,2PA=-uuur.设直线PA与平面EAC所成的角为θ，则

sincos,nPAnPAnPAθ?==?ruuur

ruuurruuu

r3==

.即直线PA与平面EAC

所成角的正弦值为

3

.

本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.24．（1）20xy++=（2）3

Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx=+．由于四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥．于是可设直线AC的方程为yxn=-+．

由2234{xyyxn

+==-+，得2246340xnxn-+-=．由于AC，在椭圆上，

所以212640n?=-+>，解得4343

n<<

．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，

，，则1232nxx+=，21234

4

nxx-=，11yxn=-+，22yxn=-+．

所以122

nyy+=

．所以AC的中点坐标为344nn??

??

?，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn??

??

?，在直线1yx=+上，所以

3144

nn

=+，解得2n=-．所以直线AC的方程为2yx=--，即20xy++=．

（Ⅱ）由于四边形ABCD为菱形，且60ABC∠=o，所以ABBCCA==．

所以菱形ABCD的面积2

32

SAC=

．由（Ⅰ）可得()()

2

22

2

2

12123161142

-+??=+-+-=??

?nACxxxx，所以2

34343(316)433Snn??=-+-<<????

，故当0n=时，有max3

16434

=?=S25．(1)由于

时

，所以

；

(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的

利润：222

()(3)210(3)(6),363

fxxxxxxx