考点15 导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类（原卷版）

考点15导数的概念、运算及其几何意义6种常见考法归类考点一平均变化率和瞬时变化率考点二导数定义的应用考点三导数的运算考点四导数的几何意义及应用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率（2）求切线的倾斜角（二）求切线方程（1）曲线在某点处的切线问题（2）过某点的曲线的切线问题（三）由曲线的切线（斜率）求参数（四）由曲线的切线条数求参数（五）两条切线平行、垂直问题（六）两曲线的公切线问题（七）距离最值问题考点五导数运算的综合考点六导数几何意义的综合应用1.导数的概念及其意义(1)函数的平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.注：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；(2)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.①导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).②导数物理意义：函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．(4)导函数的概念：当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′=2.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(2)导数的四则运算法则①函数和差求导法则：；②函数积的求导法则：；③函数商的求导法则：，则．(3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.导数运算的原则和方法（1）导数计算的原则：先化简解析式，再求导．（2）导数计算的方法：①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．4.曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f′(x)；求切线的斜率f′(x0)；写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化简；②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0，y0)，进而确定切线方程.求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.5.已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.6.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．7.求解与导数的几何意义有关问题的注意点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．8.解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)．注：处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.9.导数的两条性质(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.(2)可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的.10.几类重要切线方程(1)y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln(x＋n＋1)的切线，如图1.图1图2(2)y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.(3)y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3.图3图4(4)y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切线，如图4.由以上切线方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.考点一平均变化率和瞬时变化率1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．2．（2023春·江西赣州·高三统考期中）向一容器中匀速注水，容器中水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数关系为.记时水面上升的瞬时速度为时水面上升的瞬时速度为，从到t=4min水面上升的平均速度为V，则（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A． B．C． D．4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（

）A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强5．（2023·全国·高三专题练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（

）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．6．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s7．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，考点二导数定义的应用9．（2023·上海闵行·统考二模）_____________．10．（2023春·江西·高三校联考期中）已知，则（

）A．1 B．3 C．6 D．911．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（

）A． B． C．10 D．2012．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）已知函数，则__________.13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则__________.14．（2023春·辽宁阜新·高三校联考阶段练习）已知函数，则______．15．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知函数，若，则（

）A． B． C．1 D．2考点三导数的运算16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)(4)；17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C． D．18．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上的点向右平移个单位长度后得到点，且点恰好在的导函数的图象上，则（

）A． B． C． D．考点四导数的几何意义及应用（一）切线的斜率与倾斜角（1）求切线的斜率19．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．e20．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线的斜率为（

）A．2 B．-2 C．0 D．121．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线斜率为______.（2）求切线的倾斜角22．（2023·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．23．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（

）A．2 B． C．1 D．24．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．25．（2023·全国·高三专题练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______．27．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知点在函数的图象上，过点作曲线的两条切线，，若的倾斜角互补，则___________.28．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则（

）A．2 B． C． D．（二）求切线方程（1）曲线在某点处的切线问题29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）牛顿最早研究过函数的图像与性质，其图像类似于三叉戟，因此这类曲线被称为牛顿三叉戟曲线.牛顿三叉戟曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．30．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.31．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．32．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高三专题练习）已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（

）A． B． C． D．34．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（）A． B．C． D．（2）过某点的曲线的切线问题35．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.36．（2023·全国·模拟预测）若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（

）A． B． C．或 D．或37．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.39．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（

）条A． B． C． D．40．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.41．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知曲线在处的切线为m，则过点且与切线m垂直的直线方程为__________．（三）由曲线的切线（斜率）求参数42．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在处的切线的斜率为，则______.43．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一条切线为，则a＝______44．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知直线与曲线相切，则k=___________.45．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B． C． D．146．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B． C． D．47．（2023·陕西·统考二模）已知曲线在处的切线方程为，则_________，_________．48．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．（四）由曲线的切线条数求参数49．（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知函数，无论a取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．50．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．51．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.52．（2023·全国·高三专题练习）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（

）A． B． C． D．53．（2023·广东·统考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．54．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.55．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．（五）两条切线平行、垂直问题56．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（

）A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(-1,-4) D．(2,8)和(-1,-4)57．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．258．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则___．59．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（

）A． B． C． D．60．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（

）A． B． C． D．61．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．（六）两曲线的公切线问题62．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．63．（2023·全国·高三专题练习）已知的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率__________.64．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.65．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，，若存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．66．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．67．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．68．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（

）A． B． C．0 D．1（七）距离最值问题69．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．70．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A． B．C． D．71．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知函数，