第一讲二重积分三重积分

第一讲二重积分三重积分第1页，课件共52页，创作于2023年2月二重积分三重积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分总和2012104142011114152010441018200944410222008941320074410182006412143020051215272004441220第2页，课件共52页，创作于2023年2月第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分第3页，课件共52页，创作于2023年2月二、二重积分的性质第一节一、二重积分的定义与可积性三、二重积分的应用机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第九章第4页，课件共52页，创作于2023年2月曲顶柱体体积:平面薄板的质量:一定义如果在D上可积,机动目录上页下页返回结束第5页，课件共52页，创作于2023年2月二、二重积分的性质(k为常数)

为D的面积,则机动目录上页下页返回结束第6页，课件共52页，创作于2023年2月特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有机动目录上页下页返回结束第7页，课件共52页，创作于2023年2月7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使连续,机动目录上页下页返回结束8.二重积分的对称性定理（1）如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则第8页，课件共52页，创作于2023年2月(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，

(3)轮换对称性：（4）如果积分区域D关于直线y=x对称，则第9页，课件共52页，创作于2023年2月(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点对称的两部分为第10页，课件共52页，创作于2023年2月第11页，课件共52页，创作于2023年2月第12页，课件共52页，创作于2023年2月第13页，课件共52页，创作于2023年2月第14页，课件共52页，创作于2023年2月第15页，课件共52页，创作于2023年2月真题研讨第16页，课件共52页，创作于2023年2月例1.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束第17页，课件共52页，创作于2023年2月例2设D是平面上以（1,1),（-1,1）,（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则第18页，课件共52页，创作于2023年2月*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章第19页，课件共52页，创作于2023年2月一、利用直角坐标计算二重积分若D为X–型区域

则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束第20页，课件共52页，创作于2023年2月说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束第21页，课件共52页，创作于2023年2月设则特别,对机动目录上页下页返回结束第22页，课件共52页，创作于2023年2月若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束第23页，课件共52页，创作于2023年2月第三节一、三重积分的概念和性质二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第九章第24页，课件共52页，创作于2023年2月定义.

设称为体积元素,

在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为的体积,

记作机动目录上页下页返回结束第25页，课件共52页，创作于2023年2月对称性的应用关于yoz面对称，第26页，课件共52页，创作于2023年2月若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，则第27页，课件共52页，创作于2023年2月二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束第28页，课件共52页，创作于2023年2月方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束第29页，课件共52页，创作于2023年2月方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束第30页，课件共52页，创作于2023年2月投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束第31页，课件共52页，创作于2023年2月2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束第32页，课件共52页，创作于2023年2月如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束第33页，课件共52页，创作于2023年2月3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动目录上页下页返回结束第34页，课件共52页，创作于2023年2月如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束第35页，课件共52页，创作于2023年2月考研真题研讨第36页，课件共52页，创作于2023年2月第37页，课件共52页，创作于2023年2月三重积分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。第38页，课件共52页，创作于2023年2月例3.

计算三重积分解:

用“先二后一”机动目录上页下页返回结束第39页，课件共52页，创作于2023年2月其中

为由例4.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束第40页，课件共52页，创作于2023年2月例5.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束第41页，课件共52页，创作于2023年2月例6.设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动目录上页下页返回结束第42页，课件共52页，创作于2023年2月例7.

设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束第43页，课件共52页，创作于2023年2月第三节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量机动目录上页下页返回结束重积分的应用第九章第44页，课件共52页，创作于2023年2月一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束第45页，课件共52页，创作于2023年2月二.曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束第46页，课件共52页，创作于2023年2月若光滑曲面方程为则有机动目录上页下页返回结束第47页，课件共52页，创作于2023年2月三.若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度机动目录上页下页返回结束第48页，课件共52页，创作于2023年2月四如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束第49页，课件共52页，创作于2023年2月五、