浅谈微分方程建模的几个问题

浅谈微分方程建模的几个问题

一、数学建模的应用数学建模是解决各种实际问题的桥梁。随着计算机的发明和计算机技术的快速发展，数学的应用越来越广泛，数学建模的作用也越来越重要。它渗透到了不同的领域。可以说，数学和数学建模是密不可分的。数学建模的分类方法有许多种,按照建模所应用的数学方法不同,可分为:初等模型,运筹学模型,微分方程模型,概率统计模型,控制论模型等。在数学建模中,数学模型的建立尤为重要,只有建立了模型,才能进行其他的工作。微分方程作为数学科学的中心学科,已经有300多年的发展历史,其解法和理论已日臻完善,可以为分析和求得方程的解(或数值解)提供足够的方法,使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵,微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段。对于现实世界的变化,人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律,其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。二、对象的动态建模当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时,通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析做出简化假设,然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程,求出方程的解并将结果翻译回实际对象,就可以进行描述、分析、预测或控制了。下面我们就通过几个例子来说明这一过程。1.模型1:个人特质和健康者随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代艾滋病毒开始肆虐全球,至今仍在蔓延;2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间,给人民的生命财产造成极大的危害;2005年禽流感病毒爆发,再次威胁人民生命财产安全。长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题。模型1.在这个最简单的模型里,设时刻t的病人数x(t)是连续、可微函数,并且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数!,考察t到t+△t病人人数的增加,就有x(t+△t)-x(t)=!x(t)△t再设t=0时有x个病人,即得微分方程结果表明,随着时间t的增加,病人的人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群里,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型里必须区别这两种人。模型2(SI模型)假设条件为:其一,在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,既不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两种人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。其二,每个病人每天有效接触的平均人数是常数!,!称为日接触率。当病人和健康者有效接触时,使健康者受感染变成病人。根据假设,每个病人每天可使!s(t)个健康者变为病人,因为病人数为Ni(t),所以每天共有!Ns(t)i(t)个健康者被感染,于是!Xsi就是病人数Ni(t)的增长率,既有再记初始时刻(t=0)病人的比例为i0,则这个模型称为Logistic模型,解这个微分方程可得它的解为由(5),(6)式可知,当时达到最大值,这个时刻为这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。tm与!成反比,因为日接触率!表示该地区的卫生水平,!越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。2.产品t测试在经济学和管理科学中,经常涉及到有关经济量的变化、增长、边际等问题,可以结合实际建立微分方程的模型。通过求解方程,就可以描述出经济量的变化规律并做出决策和预测分析。常见的数学模型主要包括新产品的推广模型、价格调整模型和人才分配模型。下面重点介绍新产品推广模型。模型3.设有某种新产品要推向市场,t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好,每个产品都是一个宣传品,因此产品t销量的增长率成正比。同时考虑到产品销售存在一定的市场容量N,统计表明,与尚未购买该产品的顾客潜在的销售数量N-x(t)也成正比,于是有其中常数K>0为比例系数。这仍然是一个Logistic模型,分离变量,积分,可以解得当时,即当销量达到最大需求量N的一半时,产品最为畅销;当销量不足N一半时,销售速度不断增加;当销量超过一半时,销售速度逐渐减少。国外许多经济学家调查表明,许多产品的销售曲线都与公式(9)的曲线十分接近。根据对曲线性状的分析,分析家认为,在新产品推出的初期应采用小批量生产并加大广告宣传;而在产品用户达到20%到80%期间,产品应大批量生产;而在产品用