第一节：二重积分的概念与性质

第一节：二重积分的概念与性质第1页，课件共28页，创作于2023年2月柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体1、引例：曲顶柱体的体积一、二重积分的基本概念第2页，课件共28页，创作于2023年2月曲顶柱体（1）底是xoy

面上的有界闭区域；（2）侧面是以D

的边界曲线为准线而母线平行于z

轴的柱面；（3）顶是曲面z=f(x,y)，第3页，课件共28页，创作于2023年2月计算曲顶柱体体积的一般方法：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，第4页，课件共28页，创作于2023年2月1：用一组曲线网将D

任意分成n个小闭区域：将曲顶柱体分成n

个小曲顶柱体以表示以为底的第i

个小曲顶柱体的体积第5页，课件共28页，创作于2023年2月2：近似计算3：取极限求V

的精确值以和V

的体积表示内任意两点间距离的最大值，称为的直径第6页，课件共28页，创作于2023年2月２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块（n），取典型小块，将其近似看作均匀薄片，薄片总质量的近似值为每个小块的质量近似为薄片总质量的精确值为第7页，课件共28页，创作于2023年2月

定义：设f(x,y)是有界闭区域D

上的有界函数：（1）：分割：用一组曲线网将D

任意分成n

个小区域（2）：作和：在每个小区域并作和（3）：取极限：令上任取一点作乘积为的直径，并记第8页，课件共28页，创作于2023年2月如果当则称此极限为f(x,y)在D

上的二重积分，记为时，上述和的极限存在，且与小区域的分法及点的取法无关，积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第9页，课件共28页，创作于2023年2月（1）如果f(x,y)在有界闭区域D

上连续，则

f(x,y)在D

上一定可积。（2）如果

f(x,y)在

D

上可积，则该积分与D

因此，在直角坐标系中，用平行于x

轴和y

轴的两组直线分割D

，如图所示的分法和分点的取法无关，几点说明第10页，课件共28页，创作于2023年2月（3）几何意义：当f(x,y)0时，二重积分表示曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，此时曲顶柱体位于x0y

平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。如果f(x,y)在D

上有正有负，此时将xoy

面上方的曲顶柱体体积取为正，xoy

面下方的曲顶柱体体积取为负，则f(x,y)在

D

上的二重积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。第11页，课件共28页，创作于2023年2月（3）几何意义：当f(x,y)0时，二重积分表示曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，此时曲顶柱体位于x0y

平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。（4）二重积分的物理意义：平面薄片的质量第12页，课件共28页，创作于2023年2月（二）二重积分的性质性质1：常数因子可以提到积分号外面，即性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即（二重积分与定积分有类似的性质）第13页，课件共28页，创作于2023年2月性质3：二重积分的可加性：如果积分区域

D

被性质4：如果在区域D

上总有，f(x,y)1,

是

D

的面积，则一曲线分成两部分和，则几何意义：高为1的平顶柱体的体积第14页，课件共28页，创作于2023年2月性质5：如果在D

上总有则有不等式特殊地，由于所以又有不等式第15页，课件共28页，创作于2023年2月解第16页，课件共28页，创作于2023年2月性质6：设M

、m

分别是f(x,y)在D

上的最大值和最小值，

是D

的面积，则因为所以由性质5有由性质1有由性质4有（二重积分估值不等式）第17页，课件共28页，创作于2023年2月解第18页，课件共28页，创作于2023年2月解第19页，课件共28页，创作于2023年2月性质7：二重积分的中值定理：设f(x,y)在

D上连续，

是D

的面积，则在D

上至少存在一点(

,

)

，使得因为当

0时，由性质6有由连续函数的介值定理知，在D上至少存在一点(

,

)

，使得第20页，课件共28页，创作于2023年2月二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第21页，课件共28页，创作于2023年2月思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第22页，课件共28页，创作于2023年2月

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答第23页，课件共28页，创作于2023年2月作业第九章:重积