第一讲微积分

第一讲微积分第1页，课件共22页，创作于2023年2月任课教师马连荣Email:lrma@Tel:62796896(OM)办公地点：荷二楼213房间第2页，课件共22页，创作于2023年2月微积分学教程

数学分析习题集高等数学例题与习题集蔡大用等译参考书目第3页，课件共22页，创作于2023年2月集合(set)常用的数集自然数集naturalnumber整数集integer有理数集rationalnumber实数集是实数};realnumber复数集complexnumber子集真子集空集区间(interval)邻域去心邻域第4页，课件共22页，创作于2023年2月常用逻辑符号表示A蕴含B.A是B的充分条件.若A成立，则B成立.B是A的必要条件.表示A与B等价.A成立当且仅当B成立.A是B的充分必要条件.ForAll表示对于所有的x,P(x)都成立.表示对于所有的正数x,P(x)都成立.ThereExists表示存在x使得P(x)成立.表示能够找到正数x使得P(x)成立.的否定的否定第5页，课件共22页，创作于2023年2月第1章函数函数的定义设X是一非空实数集。如果按照某种确定1.1函数概念函数用来描述变量变化过程中的相互依赖关系。关系f，对于每个，都有Y内唯一的实数y与其对应，则称f为定义在D上的一个函数(function)。为函数的值域(range)。用数学记号表示为：称X是函数的定义域(domain)，称注意：不一定是Y，可以是Y的真子集！例1.1.1定义域值域[-1，1].第6页，课件共22页，创作于2023年2月例1.1.1定义域值域[-1，1].另一种表示方式:例1.1.2定义域值域[0，1].另一种表示方式:下面介绍几个有趣并且在今后会用到的函数。例1.1.3两种“取整”函数(1)符号表示小于或等于x的最大整数。，称为地板(floor)函数，或者下取整函数。(2)符号表示大于或等于x的最小整数。是定义在上的一个函数，值域为。也经常写成第7页，课件共22页，创作于2023年2月例1.1.3两种“取整”函数(2)符号表示大于或等于x的最小整数。(ceiling)函数，或者上取整函数。是定义在上的一个函数，值域为，又称为天花板地板函数图像天花板函数图像例1.1.4符号函数定义域值域{-1，0，1}第8页，课件共22页，创作于2023年2月例1.1.5Dirichlet函数定义域值域{0，1}例1.1.6Riemann函数定义域值域任意有理数都可以写成，其中，且例1.1.4图像最后介绍两个“不能作图”的函数。第9页，课件共22页，创作于2023年2月1.2函数的初等性质1.2.1函数的奇偶性设函数定义在对称区间或上，若对于任意，则称是奇函数(oddfunction)。若对于任意，则称是偶函数(evenfunction)。例1.2.1都定义在对称区间I上。是奇函数;是奇函数,是偶函数，则是奇函数;是偶函数。是偶函数。对于任意第10页，课件共22页，创作于2023年2月例1.2.2定义在上的奇函数和偶函数。分别是例1.2.3数。因为对于任意,函数是定义在上的奇函例1.2.4Dirichlet函数是定义在上的偶函数。第11页，课件共22页，创作于2023年2月1.2.2函数的单调性设是定义在区间X上的一个函数，若对于任意有，则称是X上的单调增加函数(increasingfunction)。若对于任意有，则称是X上的单调减少函数(decreasingfunction)。若有，则称是X上的严格单调增加函数。若有，则称是X上的严格单调减少函数。例1.2.5在上单调增加，在上单调增加，在上单调减少。第12页，课件共22页，创作于2023年2月1.2.3函数的周期性例1.2.6若是以T为周期的周期函数，则是以为周期的周期函数。因为以T为周期，所以，即这就说明以为周期。例1.2.7常函数但其没有最小周期。例1.2.8Dirichlet函数但其没有最小周期。是周期函数，是周期函数，对于函数，若存在正数T，使得对定义域内任意x，有，则称是周期函数(period的最小周期，简称周期。function)。满足的最小正数T称为第13页，课件共22页，创作于2023年2月1.2.4函数的有界性设函数在区间I上有定义，如果存在正数M，上有界(bounded)。使得对任意，有，则称在区间I函数在区间I上无界的描述：对于任意正数M，存在，使得。例1.2.9函数在上有界，因为但是函数在上无界，这是因为对于任意，存在第14页，课件共22页，创作于2023年2月关于实数集的界：上、下界

设A是实数集，若存在数b使得对所有

都成立，则称数集A有上界。实数b称为A的一个上界(upperbound)；都成立，则称数集A有下界。实数a称为A的一个下界

若存在数a使得对所有(lowerbound)。

若数集A既有上界又有下界，则称A有界。显然，

A有界的充分必要条件是存在正数M，使得

对所有成立。确界

若数集A有上界，且A的上界中存在最小值，则称为A的上确界(supremum)，记作sup(A)；若A有下界，且A的下界中存在最大值，则称为A的下第15页，课件共22页，创作于2023年2月确界存在公理非空数集若有上(下)界，则必有上(下)确界。确界与最值关系非空数集若有最大(小)值，则必有上(下)确界，但反之不然。确界(infimum)，记作inf(A)。若函数在区间I上有界，则是有界集，从而和都存在。但是，和不一定存在。例1.2.10函数在上有界。和都不存在。第16页，课件共22页，创作于2023年2月1.3反函数与复合函数1.3.1反函数设，若对于任意存在唯一使得，则称这种反对应关系为f的反函数(inversefunction)，记作。反函数的定义域是f的值域，的值域是f的定义域。反函数存在的充分必要条件是，f在定义域X和值域Y之间建立了一一对应关系。反函数与原函数的图像关于直线对称。第17页，课件共22页，创作于2023年2月例1.3.1求的反函数。解：由得

又因为时，所以，的反函数是例1.3.2求的反函数。解：由

所以，(舍负项)即因此的反函数是第18页，课件共22页，创作于2023年2月1.3.2复合函数这个从X到Y的对应关系称为函数g与f的复合，记作例1.3.3。因此，可构造复合函数的定义域是，的值域是设和是两个函数，则对于任意存在唯一进而存在唯一。即的定义域是第19页，课件共22页，创作于2023年2月例1.3.4设，则函数复合的运算律判断

VeryImportant!!交换律：

×

√结合律：

分配律：

×

√√×

第20页，课件共22页，创作于2023年2月对应关系和反对应关系示意图：

第一讲作业：P6.习题1.第7题