第七章 定积分及其应用

第七章定积分及其应用第1页，课件共111页，创作于2023年2月1、了解定积分的定义、性质以及函数f(x)在[a，b]上可积的充分条件。2、掌握积分上限函数的求导方法及其应用。3、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。4、熟练掌握定积分的换元积分法与分步积分法。5、了解广义积分的概念与计算方法。基本要求:第2页，课件共111页，创作于2023年2月第一节定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积

xy=f(x)第3页，课件共111页，创作于2023年2月思想方法在区间[a,b]中任取若干分点：把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条第4页，课件共111页，创作于2023年2月（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ第5页，课件共111页，创作于2023年2月（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ第6页，课件共111页，创作于2023年2月（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ小区间长度最大值趋近于零，即0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式的极限就是A，即第7页，课件共111页，创作于2023年2月2、变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程。思想方法（1）分割：在区间中任取若干分点：第8页，课件共111页，创作于2023年2月（2）近似求和：（3）取极限：（表示所有小区间的长度的最大者）把分成n个小区间：第9页，课件共111页，创作于2023年2月二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：

分划任取，作和式

近似求和记

，如果

取极限第10页，课件共111页，创作于2023年2月存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。第11页，课件共111页，创作于2023年2月如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即第12页，课件共111页，创作于2023年2月三、函数可积的充分条件定理1若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。四、定积分的几何意义若f(x)≥0，则的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。第13页，课件共111页，创作于2023年2月一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。＋－＋yb0ax第14页，课件共111页，创作于2023年2月定积分的性质中值定理规定(1)当a=b时，(2)当a>b时,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即

第15页，课件共111页，创作于2023年2月证注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。

第16页，课件共111页，创作于2023年2月性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即证第17页，课件共111页，创作于2023年2月性质3(定积分的区间可加性)证因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b]的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上的积分和加[c，b]上的积分和，记为第18页，课件共111页，创作于2023年2月令λ→0，上式两端同时取极限，得注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，有于是第19页，课件共111页，创作于2023年2月性质4证因f(x)≡1，所以性质5若在区间[a，b]上，，则证因，所以又由于，因此第20页，课件共111页，创作于2023年2月所以推论1如果在区间[a，b]上，，则证因，则由性质1，有第21页，课件共111页，创作于2023年2月推论2

第22页，课件共111页，创作于2023年2月第23页，课件共111页，创作于2023年2月第24页，课件共111页，创作于2023年2月二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节机动目录上页下页返回结束微积分的基本公式第25页，课件共111页，创作于2023年2月一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动目录上页下页返回结束第26页，课件共111页，创作于2023年2月二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若第27页，课件共111页，创作于2023年2月说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束第28页，课件共111页，创作于2023年2月例1.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得第29页，课件共111页，创作于2023年2月例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束第30页，课件共111页，创作于2023年2月三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则第31页，课件共111页，创作于2023年2月例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:机动目录上页下页返回结束第32页，课件共111页，创作于2023年2月例6.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?第33页，课件共111页，创作于2023年2月内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束第34页，课件共111页，创作于2023年2月备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.机动目录上页下页返回结束第35页，课件共111页，创作于2023年2月2.求解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中机动目录上页下页返回结束第36页，课件共111页，创作于2023年2月二、定积分的分部积分法第三节不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法第37页，课件共111页，创作于2023年2月一、定积分的换元法

定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动目录上页下页返回结束则第38页，课件共111页，创作于2023年2月说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限机动目录上页下页返回结束第39页，课件共111页，创作于2023年2月例1.

计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且第40页，课件共111页，创作于2023年2月例2.计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且第41页，课件共111页，创作于2023年2月例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束第42页，课件共111页，创作于2023年2月二、定积分的分部积分法定理2.

则证:机动目录上页下页返回结束第43页，课件共111页，创作于2023年2月例4.计算解:原式=机动目录上页下页返回结束第44页，课件共111页，创作于2023年2月例5.

证明证:令

n为偶数

n为奇数则令则机动目录上页下页返回结束第45页，课件共111页，创作于2023年2月由此得递推公式于是而故所证结论成立.机动目录上页下页返回结束第46页，课件共111页，创作于2023年2月内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动目录上页下页返回结束思考与练习1.提示:令则第47页，课件共111页，创作于2023年2月2.设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得机动目录上页下页返回结束得第48页，课件共111页，创作于2023年2月3.设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束第49页，课件共111页，创作于2023年2月备用题1.证明证：是以

为周期的函数.是以

为周期的周期函数.机动目录上页下页返回结束第50页，课件共111页，创作于2023年2月解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端机动目录上页下页返回结束第51页，课件共111页，创作于2023年2月二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)反常积分第52页，课件共111页，创作于2023年2月一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束第53页，课件共111页，创作于2023年2月定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束第54页，课件共111页，创作于2023年2月则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该反常积分发散.第55页，课件共111页，创作于2023年2月引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束第56页，课件共111页，创作于2023年2月例1.

计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.第57页，课件共111页，创作于2023年2月例2.

证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束第58页，课件共111页，创作于2023年2月例3.计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束第59页，课件共111页，创作于2023年2月二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束第60页，课件共111页，创作于2023年2月定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函第61页，课件共111页，创作于2023年2月若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义第62页，课件共111页，创作于2023年2月注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?机动目录上页下页返回结束第63页，课件共111页，创作于2023年2月下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.

计算反常积分解:

显然瑕点为a,所以原式机动目录上页下页返回结束例5.

讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.第64页，课件共111页，创作于2023年2月例6.证明反常积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当

q<1时,该广义积分收敛,其值为当

q

≥1

时,该广义积分发散.机动目录上页下页返回结束第65页，课件共111页，创作于2023年2月例7.解：求的无穷间断点,故I为反常积分.机动目录上页下页返回结束第66页，课件共111页，创作于2023年2月内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分机动目录上页下页返回结束第67页，课件共111页，创作于2023年2月说明:(1)

有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.第68页，课件共111页，创作于2023年2月

(3)

有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256题1(1),(2),(7),(8)机动目录上页下页返回结束常积分收敛.注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习第69页，课件共111页，创作于2023年2月备用题

试证,并求其值.解:令机动目录上页下页返回结束第70页，课件共111页，创作于2023年2月机动目录上页下页返回结束第71页，课件共111页，创作于2023年2月第六章定积分的应用1、理解定积分的定义和定积分的存在定理；2、熟悉定积分的基本性质——对区间的可加性、线性性质、比较性质和定积分的中值定理（包括积分均值）；3、理解积分上限的函数的积分性质及其导数，熟悉微积分学基本定理；4、熟悉牛顿一莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法；5、了解两种广义积分（无界函数的广义积分、无穷区间上的广义积分）的概念及其敛散性定义，会计算广义积分；6、了解定积分的近似计算方法（梯形法和抛物线法）；基本要求第72页，课件共111页，创作于2023年2月我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算,如：变力沿直线所做的功已知质点的运动速度，求质点的运动路程曲边梯形的面积

面积元素abxyo定积分的元素法第73页，课件共111页，创作于2023年2月用定积分来计算的量U具有以下特点：量U与函数f(x)及x的变化区间[a,b]有关。若f(x)≡常数，则U=f(x)(b－a)。量U对区间具有可加性。即：把［a，b］分成若干部分区间，则U相应地被分成了许多部分量之和。在区间[a,b]的任一个子区间[x,x+Δx]上，部分量ΔU≈f(x)Δx。第74页，课件共111页，创作于2023年2月设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为：定积分的元素法选择函数f(x)，并确定自变量x的变化区间[a,b];在[a,b]内考虑典型小区间[x,x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值f(x)dx。称f(x)dx为量U的元素，记为dU=f(x)dx。计算U=应用方向：平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等．第75页，课件共111页，创作于2023年2月

定积分的几何应用第76页，课件共111页，创作于2023年2月一、平面图形的面积

直角坐标系情形第77页，课件共111页，创作于2023年2月曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积第78页，课件共111页，创作于2023年2月解两曲线的交点面积元素选为积分变量第79页，课件共111页，创作于2023年2月解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积第80页，课件共111页，创作于2023年2月解两曲线的交点第81页，课件共111页，创作于2023年2月选为积分变量第82页，课件共111页，创作于2023年2月如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第83页，课件共111页，创作于2023年2月解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．第84页，课件共111页，创作于2023年2月二、体积旋转体的体积已知平行截面面积的立体体积第85页，课件共111页，创作于2023年2月

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积第86页，课件共111页，创作于2023年2月xyo旋转体的体积为第87页，课件共111页，创作于2023年2月解直线方程为第88页，课件共111页，创作于2023年2月第89页，课件共111页，创作于2023年2月解第90页，课件共111页，创作于2023年2月第91页，课件共111页，创作于2023年2月第92页，课件共111页，创作于2023年2月解第93页，课件共111页，创作于2023年2月第94页，课件共111页，创作于2023年2月