初中数学教师基本功大赛试题

初中数学教师基本功大赛试题一、选择题（2×10=20分）1.某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（）。A.40：41B.41：40C.2D.12.若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）。主视图223左视图俯视图A.2，23B.22，2C.4，2D.2，43.某企业产品的成本前两年每年递增20％，引进先进的技术设备之后，后两年产品的成本每年递减20％，那么该企业产品的成本现在的与原来的比较（）。A.不增不减B.约增加8％C.约减少8％D.约减少5％4.函数y=x|x|的图象大致是（）。5.已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2－2x的图像上，则（）。A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y1<y3<y2D.y2<y1<y36.数学课程的总目标中有：培养学生具有适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能以及基本的（）。A.应用能力B.生活能力C.学习方法D.数学思想方法7.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）。A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时8.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，两张标签上的数字为相邻整数的概率（）。A.2/15B.3/10C.1/4D.2/59.如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动。若E是EF与x轴的交点，设OE=x(0≤x≤a)，EF在移动过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y=f(x)的图象大致是（）。图略A.B.C.D.10.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)。若点P(x,y)在直线y=x上，则△PAB的面积为（）。图略A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16二、填空题（2×10=20分）11.已知函数f(x)=2x+3，则f(－1)＝__________。12.已知函数f(x)=x2+4x，则f(－2)＝__________。13.已知函数f(x)=x3－3x，则f(2)－f(－2)＝__________。14.已知函数f(x)=2x2－3x，则f(1＋h)－f(1)＝__________。15.已知函数f(x)=x2－2x，g(x)=2x－1，则f[g(2)]＝__________。16.已知函数f(x)=3x－4，则方程f(x)=0的解为__________。17.已知函数f(x)=x2－2x+1，则方程f(x)=2的解为__________。18.已知函数f(x)=x3－3x，则当f(x)取得最小值时，x＝__________。19.已知函数f(x)=x3－3x，则当f(x)取得最大值时，x＝__________。20.已知函数f(x)=x3－3x，则f(x)在(－∞，0)上是__________函数，在(0，＋∞)上是__________函数。三、解答题（5×10=50分）21.解方程：（2x－3）/（x－1）＋（x＋2）/（x＋3）＝（x－1）/（2x－3）＋（x＋3）/（x＋2）。22.已知函数f(x)=（1－x）/（1＋x），求f[f(x)]。23.已知函数f(x)=x3－3x2＋2x，g(x)=x－1，则f[g(x)]＝__________。24.已知函数f(x)=x2－2x＋1，则f(x＋h)－f(x)＝__________。25.已知函数f(x)=x2－2x，g(x)=x＋1，则f[g(x)]＝__________。26.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C(－1,0)，点D(0,－1)。若点P(x,y)在矩形ABCD内部，则点P的坐标满足的条件是__________。图略27.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，直线l过点A，与x轴交于点C，与y轴交于点D。若点P在l上，则AP+PB的最小值为__________。图略28.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C(－1,0)，点D(0,－1)。若点P(x,y)在矩形ABCD内部，且线段PC与线段AB相交于点E，则线段PE的长度为__________。图略29.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C(－1,0)，点D(0,－1)。若线段PQ与线段AC的交点为M，线段PR与线段BD的交点为N，则线段MN的长度为__________。图略30.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，直线l过点A，与x轴交于点C，与y轴交于点D。若点P在l上，则点P到点B的距离的最小值为__________。图略10．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小：用锐角45°的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直。如果测得PA=5cm，则球的半径等于（）。解析：根据勾股定理，$PA=AC/\sqrt{2}$，因此$AC=5\sqrt{2}$，球的直径等于$AC$，即球的半径为$5\sqrt{2}/2$，选项C。11．一幅美丽的图象，在某顶点处有四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为____________。解析：由于三个正多边形的边长相等，因此它们的内角也相等，分别为$60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$。而正多边形的内角和公式为$(n-2)\times180^\circ/n$，因此只有$n=5$时，内角和为$540^\circ$，也就是一个正五边形。因此答案为正五边形。12．若函数$y=x+bx+c$的图象的顶点在第四象限，则函数$y=2x+b$的图象不经过第_______象限。解析：函数$y=x+bx+c$的顶点在第四象限，说明$b<0$。函数$y=2x+b$的图象是一条斜率为2的直线，由于$b<0$，因此直线在第三象限和第四象限之间，不经过第二象限。13．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且$|PA|=|PB|$，若直线PA的方程为$2x-y+1=0$，则直线PB的方程为_____。解析：设点$A$的坐标为$(a,0)$，则点$P$的坐标为$(2,a)$，点$B$的坐标为$(b,0)$。由于$|PA|=|PB|$，因此$PA^2=PB^2$，即$(2-a)^2+(a-b)^2=a^2+b^2$。化简得$a+b=2$。直线$PA$的方程为$2x-y+1=0$，因此点$P$到直线$PA$的距离为$|2a-a+1|/\sqrt{2^2+(-1)^2}=|a+1|/\sqrt{5}$。同理，点$P$到直线$PB$的距离为$|b+1|/\sqrt{5}$。由于$|PA|=|PB|$，因此$|a+1|=|b+1|$，即$a+1=b+1$或$a+1=-(b+1)$。解得$b=a+2$或$b=-a$。因此直线$PB$的方程为$x-a-2y+2a=0$或$x+2y=0$。14．如图，水平地面上有一面积为30㎝$^2$的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6㎝，且与地面垂直。若在没有滑动的情况下，将图(1)的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图(2)所示，则O点移动了______㎝。解析：由于扇形的面积为30㎝$^2$，因此扇形的圆心角为$2\pi\times30/(\pi\times3^2)=20^\circ$。将扇形向右滚动，等价于将扇形绕圆心逆时针旋转$90^\circ$。旋转后的图形如下：OBA'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''O'B'A由于旋转后的扇形仍然是一个扇形，且圆心角为$20^\circ$，因此扇形的面积不变。设旋转后的扇形半径为$r$，则$20^\circ$对应的弧长为$r\times20^\circ$。由于旋转前后的扇形面积相等，因此$OA\timesr\times20^\circ/2=30$，解得$r=2\sqrt{15}$。旋转后，点$O$移动的距离为$OB-OB'=r-r\cos20^\circ=r(1-\cos20^\circ)=2\sqrt{15}(1-\cos20^\circ)$，约为1.17㎝。15．若不等式组$\begin{cases}2x<a\\-1\leqx\leq1\end{cases}$有解，那么$a$必须满足______。解析：由第二个不等式可得$-1\leqx<a/2$，代入第一个不等式得$-1<a/2$，即$a>-2$。16．把直线$l:y=3x+2$平移后得直线$l_1:y=3x-5$。有下列说法：①是把$l$向下平移7个单位；②是把$l$向右平移3个单位；③是把$l$向上平移5个单位；④是把$l$向左平移5个单位。其中正确序号有______。解析：将直线$l$向下平移7个单位，得到的直线方程为$y=3x-5$，与$l_1$相同，因此①正确。将直线$l$向右平移3个单位，得到的直线方程为$y=3(x-1)+2=3x-1$，与$l_1$不同，因此②不正确。将直线$l$向上平移5个单位，得到的直线方程为$y=3x+7$，与$l_1$不同，因此③不正确。将直线$l$向左平移5个单位，得到的直线方程为$y=3(x+5)+2=3x+17$，与$l_1$不同，因此④不正确。因此正确序号为①。17．规定记号“$\diamond$”表示一种运算，即$a\diamondb=ab+a+b^2$，若$1\diamondk=3$，则$k$的值为______。解析：$1\diamondk=1k+1+k^2=3$，解得$k^2+k-2=0$，因此$k=1$或$k=-2$。但由于$k$必须为正实数，因此$k=1$。18．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽之比应为______。解析：设“目”字形窗户的长为$x$，宽为$y$，则$x+2y=12$，窗户通过的阳光面积为$(x-2y)y$。为了使阳光最充足，需要最大化阳光面积，即最大化$(x-2y)y$。对$y$求导，得到$y=(x-2y)/2$，代入$x+2y=12$，解得$x=8$，$y=2$。因此长与宽之比为4∶1。19．将一张坐标纸折叠一次，使得点M（2，4）与点N（1，3）重合，则与点P（2004，2010）重合的点的坐标是______。解析：将纸折叠一次后，点M和点N重合，即它们关于折痕对称。设折痕方程为$y=kx$，则点M和点N关于该直线的对称点为$(2/k,4-2k)$和$(3/k,3-3k)$，解得$k=5/3$，因此折痕方程为$y=5x/3$。点P关于折痕对称的点为$(3-4002/5,2010-2\times4004/5)=(-799/5,-1592)$。20．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如$(1101)_2$表示二进制数，将它转换成十进制形式是$1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=13$，那么将二进制数$(111\cdots111)_2$转换成十进制形式是______。解析：$(111\cdots111)_2$共有16个1，因此它表示的十进制数为$2^{16}-1=65535$。求解方程x2-3x-6=0和x2-3x-2=0的根a,b和c,d（c>d），求(a-c)(b-d)(b-c)(a-d)的值。在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。问题：（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。小华和小红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小华得1分，当两张硬纸片上的图形可拼出房子或小山时，小红得1分。问题：（1）游戏规则对双方公平吗？请说明理由；（2）若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？在教师讲完一元一次方程解题方法后，学生甲和学生乙分别进行了不同的演算方式，得到了正确的答案。问题：这两种演算方式是否都正确？请说明理由。在课堂上，当老师宣布小组讨论、交流时，学生们开始嘈杂喧闹，导致无法听清彼此的发言。问题：如何解决这种情况，使得学生们能够有有效的交流和讨论？2007年中考，我们随机抽取了100份试卷进行分析。最低分为3分，最高分为119分，平均分为79.01分，合格率为74%，优秀率为26.3%。根据得分率与人数分布表，我们可以看出高分者较多，低分者也不少，但是中间层面的学生数较少，平均成绩不高。这说明学生的两极分化现象非常严重。教师们普遍反映，实施新课程后，学生的两极分化现象越来越严重。好学生变得越来越好，而后进生则越来越