结构力学之结构的稳定计算讲义

第十八章结构的稳定计算§18-2两类稳定问题计算简例§18-1两类稳定问题概述§18-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法§18-4无限自由度体系的稳定——静力法§18-5无限自由度体系的稳定——能量法§18-6刚架的稳定——矩阵位移法§18-7组合杆的稳定§18-8拱的稳定1前面的各个章节讨论了各类结构在外因作用下内力和位移的计算方法。在结构设计中内力计算要确定结构是否有足够的强度，位移计算要确定结构是否有足够的刚度。工程设计的实践证明，在不少情况下，仅以以上两种计算，来判断结构的可靠性是不够的。对于由柔性杆件和压弯杆件所组成的结构，例如，梁、桁架、拱、薄壁结构等，尤其如此。即是说：结构可能强度安全但是稳定不安全。从现在的结构设计的发展趋势看，趋向于轻质的大跨形式(近代工程的优化设计)，对结构的稳定性要求非常严格，结构设计必须考虑三个方面：强度、刚度和稳定。2§18-1两类稳定问题概述在材料力学课中大家已经对“压杆的稳定问题”进行过讨论，在此，我们对杆件结构的各种稳定问题作进一步的讨论。在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳定验算。而强度验算是最基本的必不可少的，而稳定验算则是在某些情况下显得重要。如薄壁结构(与厚壁结构相比)、高强度材料的结构(与低强度材料的结构－砖石结构、混凝土结构相比)、主要受压的结构(与主要受拉的结构相比)容易丧失稳定，稳定验算对这些结构显得更为重要。结构的稳定计算涉及结构的平衡状态。3一、结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置。1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的状态称为中性平衡状态。4二、结构稳定计算理论1、小挠度理论：采用小挠度理论计算可以用比较简单的方法得到基本正确的结论。工程上通常采用小挠度理论进行计算。2、大挠度理论：大挠度理论是比较复杂的理论，利用其计算可以得到更为精确的结论。但是，计算的难度相当大，用到比较高深的数学知识。三、结构的失稳结构失稳：随着荷载的增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。5结构失稳的两种基本形式：分支点失稳、极值点失稳。1、分支点失稳(1)基本情况：图18-1a所示的简支压杆的完善体系(理想体系)，杆件轴线是理想的直线(没有初曲率)，荷载P是理想的中心受压荷载(没有偏心)。(a)P

l/2l/2图18-1(b)PCBAO

DD

I(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)P1P2Pcr6(2)P-

曲线随着P的逐渐增大，P与中间点挠度的关系曲线称为P-

曲线(平衡路径)。(3)过程分析当P1<Pcr=

2EI/l2时，压杆只是单纯受压。不发生弯曲变形(挠度

=0)，压杆处于直线形式的平衡状态(称为原始平衡状态)。其P-

曲线用直线OAB表示，称为原始平衡路径。此时，若压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。所以，当P1<Pcr时，原始平衡状态是稳定的。亦即是说，在原始平衡路径I，点A所对应的平衡状态是稳定的。这时，原始平衡形式是唯一的平衡形式。7当P2>Pcr=

2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形式的平衡状态。与此相应，在图b中有两条不同的P-

曲线：原始平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论，由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD

)。可以看出：这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。即：若压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点的原始平衡状态，而是继续弯曲，直到D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。所以，当P2>Pcr=

2EI/l2时，在原始的平衡路径I上，点C对应的平衡状态是不稳定的。8(4)分支点分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段：OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平衡。即：在分支点B上原始平衡路径I和新平衡路径II同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径I由稳定平衡转为不稳定平衡，出现稳定性的转变。分支点失稳：具有原始平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡特征的失稳形式称为分支点失稳。临界荷载和临界状态：分支点对应的荷载称为临界荷载，分支点对应的状态称为临界状态。(5)分支点失稳现象举例(图18-2a、b、c)特征：在分支点P=Pcr处，原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。9(a)PcrPcr(b)qcr(c)Pcr图18-2(a)承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中，各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中，刚架产生侧移，出现弯曲变形。(b)承受水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯受压，拱轴保持为圆形；在新的平衡形式中，拱轴不再保持为圆形，出现压弯组合变形。(c)端部受荷载作用的悬臂窄条梁，在原始平衡形式中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于斜弯曲和扭转状态。10二、极值点失稳(1)基本情况：非完善体系。压杆具有初曲率和承受偏心荷载(图18-3a、b)。非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。(2)P-

曲线按小挠度理论：其P-

曲线如右图的曲线OA所示。在初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当P接近中心压杆的欧拉临界荷载Pe时，挠度趋于无穷大。

按大挠度理论：其P-

曲线由曲线OBC表示。(c)PB(极值点)PeACPcrO

(a)P

图18-3(b)P

11(3绑)奇极值拾点和呜极值牺点失考稳B点为恼极值叔点，烟在极策值点脑荷载趁达到遮极大徒值。在极松值点不前的阿曲线行段OB，其平顺衡状亲态是香稳定鞠的；嗽在极贺值点年后的材曲线吐段BC，其相厉应的铺荷载羞反而舰下降妹，平迎衡状唯态是计不稳区定的年；在皇极值摔点处爬，平袭衡路胳径由脂稳定员平衡握转变宝为不损稳定含平衡。极值馒点失芽稳：在极舱值点固处，裤平衡横路径算由稳笼定平迫衡转炊变为傍不稳芒定平述衡的令失稳昼形式旗称为极值市点失谁稳。极值织点失代稳的圣特征思：平衡才形式愉不出胃现分带支现岔象，锐而P-

曲线敏具有认极值阅点。一般揭说来胜，非况完善下体系网的失尽稳形貌式是屡极值纷点失驶稳。(4投)特忽例扁拱杯式结轰构失捆稳时团可能多伴随抗有“伸跳跃掌”现畏象。12图1捡8-4a所示税的扁里桁架努，矢葬高为f，高跨四比f/l<<锤1。脚在跨虫度中且点作岔用竖样向荷病载P，产生材竖向欺位移

。其P-

曲线姨如图朵18-4b所示叔。(a)Pl/2l/2f

(b)PABCEDFGPcr-Pcr

图18-4这里胜我们岂设想俩通过税一个晓控制牛机构肺进行俩加载尊，P值可骨为正捕值或搁负值慕(图忘18-4c)。(c)ffffA点P=0PcrB点P=0P=0C点E点F点D点PcrPcr13在初纷始加牺载阶脖段，绸平衡申路径优由图剂18-4b中的展实线AB表示劣，平毯衡状渴态是它稳定搜的，芦在A点，PA=0弟，在B点出鞠现极更值点吉，相我应的际荷载老极值杨为PB=Pcr。极宾值点B以后肃，平驼衡路艰径由俭虚线BC痰D表示禁，荷似载的厅代数华值减其少，C点的PC=0私，在D点出冻现下背极限砍点，PD=-Pcr。BC辽D线上敢的点送对应灾于不诊稳定标平衡舍。下为极限富点D以后保，荷剑载的吓代数笨值又板上升桥，E点的PE=0正，F点的PF=Pcr。如介果不帜存在商控制邮机构速，则导实际骗的P-

曲线椅应为AB毕FG，在魔极值葛点B以后仆有一薯段水套平线BF，此伟时结兔构发俊生跳外跃后藏，达僚到F点对盛应的僵新平彻衡位严置。F点以斤后的颠平衡尘路径FG又属著于稳恨定平焰衡。在本煮例中柏，通螺过人悄为控子制进吓行加理载，趋解释腿了扁他桁架笛在荷瓦载P的作爱用下呀，由歉稳定纸平衡黎状态欲到新久的稳插定平滴衡状袍态的痒跳跃钻现象霞。目的筒是告爽诉我马们，筐实际朱工程铅结构寇一般暮不允只许发隐生跳痛跃，狭应取柏极值箩点B相应疼的荷宽载为两临界穗荷载。14§1挤8-2葵两辩类稳牲定问贝题计址算简致例主要跌内容宵：(1盖)飘用单刃自由形度体棵系说兰明两盯类失趴稳问步题的述具体丸分析罪方法认；(2由)常分析农完善跟体系玻的分盘支点涝失稳骄问题抱；(3顿)弟分析斗非完夫善体户系的军极值搬点失跨稳问墨题；(4鼠)革用大很挠度谅理论蔑得出鸣精确肉结果心；(5显)托用小双挠度举理论脚得出赌近似铃结果孩。一、餐单自朽由度靠完善墨体系层的分险支点剩失稳基本接情况遭：单自善由度叔完善寄体系桑。图烤18-5a所示漂的刚摇性压抹杆，蒙承受伶中心合压力P，底端A为铰扇支座冻，顶岸端B有水搜平弹针簧支滔承，忧其刚仓度系激数为k。15(1朱)按大图挠度乎理论增分析原始兔平衡狱形式裁(图侵18-5a)：杆AB处于握竖直郑位置载时，惑体系文能够疑处于锋平衡静。(a)kBPlA图18-5问题疏：考星察图1殿8-5b所示纤的倾满斜位绪置是约否还柏存在嫁新的丽平衡革形式缎。(b)BPAB

Rl

图1炼8-5b所示届状态忆的平采衡条踪蝶件：较

MA=0(a)式中，弹簧的反力R为：即可得出：(b)方程(b)有两个解：(c)(d)16(c)递解代目表原斑始平盏衡形轧式，撞其P-

曲线常由直俭线OA削B表示哥，称柳为原舒始平误衡路龄径I(凡图1笛8-6)肾；图18-6ABI(不稳定)II(不稳定)I(稳定)OC

Pcr=klP(d)鞠解代栋表新叹的平乔衡形渗式，隆其P-

曲线脊由直剧线AC表示尾，此液即为严第二梳平衡代路径II迈(图达18-6)未。讨论逮分支犹点：A点是执两条隐路径挠的交慨点。A点所旦对应困荷载冻为临瓦界荷训载。临界荷载为：(e)A点将础原始但平衡饮路径励I分插为两仆段：OA上的水点属盈于稳武定平产衡，AB上的涨点属吉于不连稳定昆平衡蛛。第二破路径田II予，当

增大压时，圾荷载堵反而谎减小士；路径舱II勇上的县点属扣于不炉稳定柴平衡猛。17分支加点A处的育临界菜平衡毫状态壶也是恨不稳事定的贯。注意：对醒这类悄具有角不稳从定分凯支点堡的完惊善体定系，短在进胀行稳乳定验挥算时斯要特裹别小善心，敏一般高应当贪考虑而初始有缺陷茅(初处曲率耐、偏唯心)逗的影董响，隐按非遭完善凭体系脾进行求验算蜜。(2投)赶按小羞挠度腔理论私分析设

<<猴1，档则式(a)、梯(b)简化趋为(f)(g)其第冲一个济解仍示为式段(c)，遣第二信个解遣为：(h)图18-7ABI(不稳定)II(随遇平衡)I(稳定)OC

Pcr=klP分析：两馆条平肾衡路恋径I甜和I都I如腰图1彻8-7所河示。阔其中铜路径趋II豪简化肉为水圈平直状线，匙因而嫩路径宫II质上的蔬点对朴应于寺随遇凝平衡蹲状态新。18与大袋挠度俩理论论分析馆的结治果比朗较可托以看翅出：小侮挠度复理论缴能够果得出舍关于顽临界桑荷载续的正剑确结暖果[铁见式架(e)]坊，但是装未能抬反映涨当

较大剩时平日衡路每径II虫的下乏降趋薯势；誓而平衡层路径II壳对应肺于随欣遇平府衡状欧态的揉结论叨，则育是由秃于采煌用假农定而脉带来展的一巾种假奴象。二、秧单自厘由度落非完盆善体型系的天极值私点失闲稳基本贱情况：图按18-8a所示陈的单盛自由白度非虫完善胸体系樱，杆AB有初持倾角

，其库余同壤前。图18-8(a)kBPlA

(b)BPAB

Rl

(1近)烘按大符挠度驱理论滔分析加载泻一开盆始，山杆件蛇就进袍一步处倾斜将。此崇时弹提簧力嗓反为碎：平衡终条件响为：

MA=019可求得：(i)讨论块不同宗初倾贷角时榜的P-

曲线痰(见伤图1测8-9a)。熄其中

=0歪为完察善体订系。腊观察P-

曲线香，其昨具有租极值破点。图18-9(a)

=0.1

=0

=0

=0.1

=0.2

=0.2令，得：相应的极值荷载为在图扫18-9b中给慕出Pcr-

曲线刘。分析勒可知期：这个傍非完杀善体向系的汉失稳耳形式箩是极酸值点竹失稳。临俗界荷扬载Pcr随初杨倾角

而变宫，

越大题，则Pcr越小。20图18-9(b)0.6950.5360.4150.30.20.10(2售)惹按小派挠度革理论更分析设：

<<钥1，

<<卵1，则榜式(i)和颗(j)简其化为斜：(k)(l)在图城18-10盛中给浙出P-

曲线闭。

=0

=0.1

=0.2

=010.80.60.40.200.20.40.60.81.01.21.41.6

图18-10分析蚊可知风：各雁条曲链线都饿以水域平直首线P/(kl)=份1为柳渐近墓线，割并得胳出相庆同的岔临界赛荷载致值。与大挠度理论的结果相比可知：对于非完善体系，小挠度理论未能得出随着

的增大Pcr会逐渐减小的结论。21三、挤几点紫认识(1剥)结构顷的失诊稳存茂在两辈种基势本形拘式，一般哥说来，完馅善体剧系是饲分支猛点失幻玉稳；动非完链善体小系是避极值更点失竞稳。(2言)分支躬点失冰稳的胁特征是：你存在年不同纱平衡救路径师的交煌叉，笨在交尊叉点知处出到现平农衡形吉式的芒二重悬性。极值耻点失之稳形润式的垄特征是：永虽然曲只存凉在一睬个平勒衡路捐径，芹但平劈燕衡路信径上逆出现搅极值述点。(3遵)结构蛮稳定欠问题且只有钞根据罩大挠乞度理垮论才婆能得告出精给确的粉结论，但怖从实凭用的乞观点农看，小挠制度理质论也武有其态优点便，特屡别是聋在分金支点使失稳圾问题遮中通牢常也冈能得辈出临也界荷爷载的壁正确悠值，纵但也污应注宇意它太的某凭些结邮论的季局限布性。特别阁指出毕：后面舒只讨位论完搬善体凝系分宅支点婆失稳藏问题圾，并各根据临小挠洗度理达论求臂临界将荷载谨。22§1野8-3挪有盈限自肺由度购体系窝的稳怀定——静力稀法和蜻能量垂法内容棋：有限希自由培度体任系分况支点酬失稳茶问题搁，按揭小挠港度理神论求杰其临家界荷胃载。确定捧临界戏荷载跌的两鼓类方推法：(1站)静力秘法：根恼据临堂界状匀态的持静力粱特征咸提出仁的方曲法；(2歉)能量截法：根满据临五界状顺态的多能量吩特征部提出厌的方句法。本节酸以单闲自由悟度体尺系说氏明以未上两论种解相法。基本责情况：图1仁8-11a的单自师由度晓体系御，AB是刚性疯压杆，A端为殃弹性川支承罪，转顶动刚群度系肆数为k。求：形临界轻荷载Pcr。23一、静力狐法已知：分崇支点喂失稳惜临界押状态缸的静日力特弄征是平衡枣形式店的二选重性。要点：寻帖求分克支点画，确磨定临渴界荷祖载。分支采点：原慕始平沈衡路严径I和新初的平归衡路录径II的交育叉点搅。(b)BPlAMA=k

B

(a)BPlAk图18-11原始尾平衡安形式：杆AB处于荐竖直尤位置糟时的繁平衡耐形式先。新的惩平衡赚形式：杆AB处于身倾斜堡位置怪时的恐新的符平衡字形式石。(a)新的齐平衡方形式告的确疼定：根油据小软挠度扁理论罪，图握18-11b的体附系的寒平衡棉方程脸为：

MA=024因为裤弹性养支座就的反窃力矩另为MA=k

，所赢以由敏式(a)得洽：(b)特别宪指出：平躺衡方芒程是皮针对燥变形刑后的墓结构封新位杠置写逢出的混，即玻是说园，要比考虑动结构姓变形缘瑞对几储何尺枕寸的踪蝶影响宁。在应台用小条挠度消理论叉时，贡由于瓶假设敞位移业是微筹量，槐所以迅结构袍中的附力分温为主宅要力抛(P)和次签要力句(MA)两透类。分析致方程醒(b)：方程磁是以青位移

为未归知量郑的齐倍次方种程。齐次亏方程浇有两嫂类解伙：零解握和非悦零解。零解苍：

=0隐，对言应于额原始遵路径I。非零驰解：

不为哑零，付对应毫于新效的平爷衡形凝式。摘为了辩得到印非零忘解，舍方程鱼(b)的猾系数盲应为彩零，犬即：(c)式(c)称扬为特征僻方程。25由特征究方程可知些，第筒二平驻衡路湾径II日为水白平直类线。后由两哗条路伏径的残交点押得到筹分支趴点，径分支思点对踪蝶应的雄荷载谣为临往界荷宽载。顾因此树，临对界荷渠载为(d)二、列能量沸法图1笼8-11翁所示漠的体皮系，戏把荷幻玉载P看作狂重量奋；体系节的势卡能EP为弹初簧应价变能U与荷佳载势尼能UP之和。弹簧应变能为注意：是静荷载做功荷载势能为26这里

为B点的竖向位移：因此有体系的势能为(e)应用势能驻值条件，可得(f)式(f)和式衣(c)是择等价寻的，逗可见赶静力盐法和赢能量犹法这割两种秩方法湖都导窑出了亡相同求的方毅程。也说具是说割，势硬能驻谎值条雨件等纹价于窑用位励移表播示的烛平衡妻方程尾。由(f)式浊可根朽据位帝移

有非巴零解退的条痰件导肉出特岩征方逼程(c)，从而仍求得孙临界苗荷载Pcr。27综上美可知疲：在鸽分支简点失框稳问杆题中再，临助界状择态的陡能量求特征零是：势能班为驻咸值，奔且位欠移有霞非零库解。能量亩法是遥根据转临界著状态半的能满量特览征求济临界连荷载家的。进一关步讨荡论势辆能EP由式芝(e)可搅以看燥出：势能EP是位小移

的二拜次式换，其池关系怖曲线栽是抛巧物线。(e)如果P<k/l，则时关系欧曲线教如图竿18-12a所示煤。当

为任瓜意非类零值丘时，商势能EP恒为疫正值管，即少势能荐是正揪定的席。当换体系贪处于妹原始衣平衡沉状态恋(

=0捕)时智，势锣能EP为极惰小，锹因而榴原始地平衡蛮状态程是稳终定平庙衡状反态。(a)EPO

P<Pcr图18-1228如果P=k/l，则舒关系喝曲线悉如图患18-12b所示滩。当

为任拴意非纸零值辈时，铲势能EP恒为茧零，绞体系景处于完中性亲平衡条状态肉，即隐临界业状态茧，这假时的虾荷载毯称为悦临界购荷载泪，即Pcr=k/l。这半个结坦果与坝静力叛法所矿得的汗相同唉。(c)EPO

P>Pcr(b)EPO

P=Pcr图18-12如果P>k/l，则陕关系乞曲线桂如图洋18-12c所示树。当

为任袭意非顿零值桶时，南势能EP恒为筋负值万，即岩势能庄是负焰定的归。当棋体系烦处于叠原始师平衡隔状态苦时，老势能EP为极蛙大，结因而似原始黑平衡寸状态膛是不君稳定便平衡指状态赔。因此党，临云界状碗态的垒的能仰量特坛征还渗可表忘述为践：在服荷载规达到掠临界芦值的感前后船，势亮能EP由正眨定过涨渡到梨非正污定，狮对于雁单自咸由度著体系痛，则劲由正被定过举渡到犹负定深。29例1也8-1图1寺8-13a所示饿是一孤个具堆有两貌个变普形自解由度孟的体室系，恨其中AB、BC、CD各杆允为刚端性杆上，在糖铰结膨点B和C处为众弹性渠支承挥，其覆刚度缝系数顺都为k。体按系在D端有甜压力P作用党。试吨用两泥种方柱法求似其临没界荷嫁载Pcr。(a)ABCDPlllkk(b)ABCDPXAB

C

D

y1y2R2R1图18-13解：皆(1轮)将静力促法设体窜系由甚原始渗平衡始状态笑(水森平位瞎置)梁转到曾任意乡丰变形农状态图(图社18-13b)，初设B点和C点的磨竖向粮位移猫分别流为y1和y2，相吊应的打支座照反力唯分别雕为同时限，A点和D点的省支座级反力洒为对B点取矩求YA对C点取矩求YD30变形状态的平衡条件为(C左)(B右)即(a)式(a)是想关于y1和y2的齐放次方现程。如果系数行列式不等于零，即则零卫解(王即y1和y2全为花零)牢是齐钳次方曲程(a)的笼唯一烈解。迷也就苏是说异，原关始平耐衡形耀式是倾唯一奋的平疑衡形膏式。如果系数行列式等于零，即(b)31则除册零解孟外，描齐次朴方程羡(a)还论有非旬零解崭。也仰就是规说，斜除原醉始平熊衡形株式外董，体垃系还富存在村新的疤平衡裕形式拣。这音样，捡平衡酬形式稍即具枣有二把重性定，这劫就是渐体系贝处于涂临界狭状态家的静池力特坝征。示方程晴(b)就蹦是稳根定问忌题的巨特征俱方程豪。展盼开式递(b)，山得由此解得两个特征值：其中最小的特征值叫做临界荷载，即将特股征值宾代回夹式(a)，度可得y1和y2的比胳值。谈这时据位移y1、y2组成谎的向换量称勿为特肉征向便量。基如将P=kl/3乓代回翻，则戏得y1=-y2，相功应的冲变形啄曲线狐如图芝18-14a所示盟。如帝将P=kl代回间，则幸得y1=y2，相炎应的弄变形胀曲线革如图胁18-14b所示置。32图18-14(a)y1P=kl/3y2=-y1(b)y1P=kly2=y1(2四)衔能量济法现在领讨论啄临界蒙荷载走的能眠量特飞征。在图考18-13b中，D点的辩水平度位移钱为(c)弹性支座的应变能为(d)荷载势能为(e)(f)体系的势能为33应用势能驻值条件：得：(g)式(g)就膨是前施面导竟出的傻式(a)。沃也就裳是说档，势检能驻留值条座件等遭价于池用位挤移表老示的竭平衡钢方程侨。能量忘法以胶后的间计算傻步骤立与静懂力法狸完全叼相同葡。势燥能驻树值条豆件(g)的优解包杂括全脱零解巴和非绿零解明。求洞非零混解时捕，先鞭建立患特征经方程阳(b)，均然后伙求解碰，得理出两指特征崭荷载小值P1和P2，其桂中最雪小的手特征毙值即卵为临下界荷绞载Pcr。归结拐起来乐，能划量法忙求多薯自由论度体饮系临野界荷障载Pcr的步招骤如乐下：(1侮)歪写出税势能戒表达木式，抗建立婚势能缝驻值千条件筑。34(2网)用应用匙位移千有非近零解讲的条苹件，灿得出抽特征弃方程煮，求状出荷易载的左特征字值Pi(i=1上、2猾、…、n)。(3击)舟在Pi中选拥取最农小值厕，即腾得到尝临界辜荷载Pcr。下面停对势卵能EP进行茂定性蓝讨论振。式(f)可匆改写雾为由此苦看出胞，势么能EP是位惩移y1和y2的二炉次式挪。下胖面针壤对不壶同的P值，泼分别票说明秧势能EP的特耀征。如果P<kl/3刚，则澡势能EP是正始定的折。如果P=kl/3雕=Pcr，则EP是半贺正定场的(陶当y1=-y2时，EP=0叹)。如果kl/3帽<P<kl，则EP是不筐定的匆。如果P=kl，则躺势能EP是半刻负定询的(卷当y1=y2时，EP=0娇)。如果P>kl，则巾势能EP是负抹定的昌。35§1明8-4僻无粉限自朴由度单体系红的稳近定——静力饭法研究蓬问题：无灾限自软由度炊体系躬的稳血定问玩题。主要同内容：压严杆稳劳定。解题搬思路：(互1)仰对超变形驾状态倚建立帮平衡挺方程因；(2狡)则根据明平衡跟形式互的二偷重性右建立励特征凶方程基；(3宏)妹由特思征方练程求预出临训界荷弟载。与有么限自姿由度希体系腔不同我的是：在裹无限远自由占度体喇系中课，平狡衡方上程是孔微分谎方程刷不出隙代数召方程臣。36一、巾方法砖例题(1老)基本漂情况：图拖18-15肥所示壶的等糠截面桃压杆蚀，下烛端固纺定，孙上端胸有水基平支俱杆，绳静力陷法求临界倦荷载。图18-15xEIlRPyyy

<0x(2巷)率受力芝分析姓与平辈衡方中程的狗建立在临昆界状旅态下购，体督系出稠现新畏的平戚衡形尊式(写图中抚虚线武)，亮柱顶篇有未日知的求水平置反力R，则弹寸性曲康线的轨微分波方程允为(3键)邮微分你方程带的解上式可改写为37微分方程的解为：求导可得常数A、B和未前知力R可由并边界紫条件腐确定虏。(4添)雅确定中常数A、B，建立险特征较方程当x=0副时卫，y=0钉，可得A=0蜓。当x=l时，y=0些和y´=隐0，由此幸得出学：(a)因为y(x)不罚恒等耳于零村，所脆以A、B和R不全远为零群。可制知，除式(a)巾中的候系数谜行列缩慧式应维等于巷零，宇即：38展开行列式可得超越方程：上式锤是一阀个超越伴方程，可塞用试算嫂法或图解趋法求解顾。(5灶)锤解超卡越方状程采用图解屿法时，亦作y=l和y=t蓄gl两组究线，闯其交傍点即腾为方妻程的冷解答砌(图咏18-16透)，员结果证有无吊穷多信个解醋。图18-16如何电选解铺：因撇弹性口杆有补无限否个自昌由度欣，所朋以有谈无穷睡多个席特征咬荷载朗值，攻其中扔最小曲的一色个是馅临界根荷载Pcr(利份用P=

2EI来求避)。由(l)mi锡n=4普.4坡93雪，可求捕得39二、诸例题例1捆8-2图1辫8-17蚕所示讯等截秀面压域杆，源下端降铰支子，上坛端水砍平支烤撑，芽试用蔑静力芦法求剥其临聪界荷宁载。图18-17xEIlRPyyx解：建(1灵)受力委分析韵与平毯衡方址程的辫建立在临犬界状喊态下段，体隶系出炭现新异的平计衡形凡式(笛图中摧虚线口)，弹性违曲线凶的微贵分方敬程为(2狸)么微分辅方程雕的解上式可改写为这是粥一个德二阶旱常系而数线泽性齐童次微喉分方价程。定其通熟解为怜：40常数A、B和未苹知力R可由筝边界源条件挑确定般。(3浓)院确定望常数A、B，建立独特征墨方程当x=0拍时窝，y=0嚼，可得讲：A=0卧。当x=l时，y=0贪，可得烈：Bsi纽奉nl=0因为y(x)不蜘恒等打于零弓，故A、B不全做为零诉。所锯以有si立nl=0计算如可得籍：l=n(n=1溜、2疑、…)由此得当n=1时有上式让称为两端马铰支、细长铁压杆的临丸界荷啄载公犁式，犬即欧拉渡公式。41例1麻8-3试求长图1栽8-18堡所示亿排架适的临汇界荷俗载和紫柱AB的计说算长亡度。(a)BP刚性杆I1lACI2=nI1D(b)BAP(c)BA

PcryyI1xy<0xR图18-18解：图18-18b所示为此排架的计算简图。这里，柱AB在B点具有弹性支座，它反映柱CD所起的支承作用，弹性支座的刚度系数(在第十三章中计算过)。在临佣界状捆态下诉，杆AB的变皆形如边图1郑8-18c所示唇，这在时在孕柱顶煌处有愁未知贱的水紧平力R，弹耽性曲席线的系微分肿方程恋为42并可改写为上式的解为求导可得常数A、B和未僚知力R可由察边界肃条件津确定市。当x=0炊时，y=0掏，由盘此求谨得A=0炉。当x=l时，y=

和y=0，由此有：由于R=k，即

=R/k，所淹以上委式变款为43因为y(x)不爸恒等概于零麦，所隆以A、B和R不全罪为零躁。可珠知上蔬式的非系数户行列侵式应俱等于勇零，见即：展开上式得利用P=

2EI1并化争简，惹得到兆如下台的超好越方伙程(a)44为了虾求这怕个超嗽越方柴程，雹需要朽事先思给定k值(霸即给托出I1/I2的比虑值)惭。下悉面讨薄论三萝种情挤形的射解：(1)I2=0，则k=0，这时方程(a)变为当EI1为有限值时，因为，若EI1为有限值则

也为有限值，即l

，所以这个方程的最小根为因此这正许是悬怖臂柱泻的情珍况，涉计算吵长度进(在例春18-2中俘我们伙已经革得出济了两端命铰支、细长捐压杆的临凯界荷产载公欺式，醋其它昏情况就均是速和这叉种情翻况进雨行对铃比的)为l0=2l。45(2)I2=

，则k=

，这时方程(a)变为这个方程的最小根为因此这相拜当于轨上端串铰支报、下蝴端固身定的狗情况揪，计丙算长详度为l0=0裕.7l。(3)一般情况是k在0~的范围内，l在

/2~4.493范围内变化。当I2=I1时，则。这时方程(a)变为下面夏用试姐算法外求解怜。先铜将上瓣式表吐示为斩如下亮形式缴：46当l=2昂.4闲时，挣tgl=-0.邪91项6，D=1诉.1层92当l=2视.0始时，滩tgl=-2.玻18投5，D=-1.漏51脖8当l=2涌.2葱时，隙tgl=-1.摇37温4，D=-0.骨02兽5当l=2啦.2敏1时饥，净t供gl=-1.顷34心5，D0由此捡求得l=2埋.2授1，久因此所以辽，当I2=I1时，计算果长度牲为l0=1封.4狡2l。例1墙8-4试求乔图1璃8-19黑所示护阶形赴柱的损特征植方程免。I1yPPcrI2xll2l1图18-19解：兼弹性草曲线虏微分就方程立为47上式可改写为(a)式中式(a)的解为积分目常数A1、B1和A2、B2由上找下端橡的边歉界条犯件和x=l1处的诞变形利连续良条件悠确定额。当x=0敏时，y1=0压，由矩此得B1=0忍。当x=l时，，由此得当x=l1时，y1=y2，和，由此得48由系舞数行反列式饥等于油零，菜可求铸得特由征方龙程为这个俱方程沟只有纳当给虫定I1/I2和l1/l2的比凡值时激才能站求解臭。49§1道8-5羡无绢限自摆由度枝体系俯的稳茧定——能量气法研究美问题：无开限自镰由度迟体系容的稳去定问哲题。主要汗内容：压袜杆稳激定。解题涛思路：(危1)牺对从于满滩足位身移边穗界条矮件的湾任一盐可能恩位移柔状态险，可对求得鬼势能EP；(2煤)预由势环能的链驻值诱条件千

EP=0喇，可垄得包露含待洽定参问数的蛇齐次申方程张组；(3区)盯由齐呢次方垄程组违非零观解条勤件，勺知其棕系数旋行列暮式的位值应麦为零永，由默此可游求得引特征朗荷载悉值，粉临界界荷载Pcr是特凡征值壁中的核最小哪值。50具体驼算法激以图经18-20a所示改压杆例为例库说明貌。(a)PBAl

xy图18-20设压浇杆有录任意杏可能注位移臣，变药形曲洋线为(a)其中i(x)是扯满足锋位移棚边界够条件熟的已趣知函膨数，ai是任筹意参栽数，坐共n个。烧这样跳，原读体系斑被近障似地残看作旬具有n个自叼由度订的体之系。先求录弯曲郊应变谜能U，得(14-2)再求柔与P相应住的位庭移

(压云杆顶虫点的清竖向段位移潜)。芦先取老微段AB进行智分析剂(1替8-20b)。躁弯曲粱前，辆微段AB的原孝长为询dx。51(b)dydxd

yABB

B

ds=dxA

图18-20弯曲淹后，希弧线你的A

B的肉长度灵不变冤，即通ds=dx。由犯图可月知，辨微段岭两端劲点竖临向位贫移的甚差值闸d

为(18-3)因此(18-4)荷载势能UP为(18-5)可得舌体系却的势趋能为(18-6)52由势挽能驻残值条倦件EP=0证，即(18-7)得(18-8)令(18-9)(18-10)则得(18-11a)(18-11b)可简写为53式(挖18-11怀)是贫对n个未物知参能数a1、a2、…、an的n个线秤性方叔程。根据敬特征料荷载将和特忽征向咳量的到性质亡，参舰数a1、a2、…、an不能敞全为旨零，拌因此斗系数杜行列衔式应悲为零屋，即(18-12)其展葵开式土是关泄于P的n次代炉数方杨程，驴可求绒出n个根洞，由侵其中纹的最馋小根司可确锯定临痕界荷睁载。上面咳介绍敲的方窑法叫宁做里兹扬法。它碎将原异来的才无限热自由悔度体讲系近夕似地丙化为n次自思由度橡体系宝，所亲得的股临界趴荷载信近似般解是糕精确沈解的膀一个齐上限挣。对海此现啊象可苍作如夜下解葱释：缺求近店似解爹时，紧从全修部的界可能裙位移锄状态甘中只万考虑供其中撇的一闸部分写，使极体系姓的自崭由度孔有所浪减少患(变耕为有沫限自袭由度猜)。嚼这种画作法井相当喘于对传体系相施加那某种减约束络，体已系抵沉抗失鞋稳的罢能力置就会枯得到熄提高难，因莫而这沿样求便得的利临界术荷载鼠就是腔实际缩慧临界刃荷载察的一祖个上捎限。54例1谱8-5图1男8-21a所示开为两幕端简伶支的普中心骡受压笛柱，子试用增能量部法求侵其临干界荷悠载。(a)xPEIyl图18-21解：干简支数压杆性的位质移边吩界条称件为当x=0保和x=l时，y=0在满令足上倍述边还界条朋件的虑情况葬下，准我们留选取更三种全不同惑的变蜂形形厚式进扇行计奋算。(1钟)辜假设闲挠曲福线为阅抛物邮线相当于在式(18-1)中只取一项则求得55由势能驻值条件，得为了沙求非诵零解职，要徒求a1的系惠数为承零，英得(2塌)察取跨虚中横坏向集到中力Q作用她下的哗挠曲胞线作巧为变睁形形院式(锋图1浑8-21b)，奏则当x≤l/2狠时：(b)xPyl/2Ql/2图18-2156求得由此，可求得(3太)拔假设挖挠曲验线为毫正弦劫曲线则求得由此，可求得57(4烘)忧讨论假设泛挠曲淹线为让抛物鹅线时箭求得绝的临枪界荷它载值面与精某确值慢相比涨误差悄为2殃2%鸟，这仰是因贴为所断设的唯抛物制线与墓实际恐的挠俊曲线核差别惑太大雷的缘貌故。根据帝跨中铃横向煤集中弹力作垂用下航的挠鉴曲线蛛而求谎得的协临界津荷载昏值与他精确饱值相宾比误像差为考1.背3%萍，精昏度比柴前者舌大为葡提高佩。如牧果采挥用均西布荷戴载作慨用下野的挠疯曲线宫进行哲计算给，则宰精度李还可喊以提叠高。正弦腿曲线哭是失络稳时撤的真社实变炉形曲饭线，庭所以矛由它台求得棍的临恰界荷戴载是拍精确夸解。例1厅8-6图1渔8-22哭所示粘为一北等截站面柱迁，下芒端固船定、嚷上端跟自由躲，试制求在瞎均匀边竖向茶荷载伞作用删下的谜临界栏荷载qcr。yxqlxdx图18-22解：美坐标溜系如浴图。荡两端昆位移庸边界灯条件笼为58当x=0评时，y=0壤；脾当x=l时，y=章0。根据含上述律位移福边界乘条件俘，假耍设变临形曲已线为先求应变能再求令外力敞作的靠功。段由于倍微段真dx倾斜镰而使防微段拍以上夹部分微的荷油载向盐下移础动，今下降瞎距离嗽d

可由不式(冲18-3)术算出树。这总部分堵荷载省所作浊的功恼为因此所有外力作的功为59体系的总势能为由EP=0，可求得临界荷载qcr的近似解为与精确解相比，误差为5.5%。例18-7图18-23所示为两端简支的变截面柱，任一截面x处的惯性矩为，对于中间截面来说，I为对称分布。BI0PxC2I0I0Ayxl/2l/2图18-23解：颂简支棒杆的瘦位移躺边界纪条件羞为当x=0王时，y=0伴；跨当x=l时，y=0工。60根据处上述雀位移遍边界绞条件基，变裁形曲诱线可巴假设露为三旱角级南数：(a)级数溪中的饲每一刺项都陵是满奔足位木移边欠界和藏对称芦条件均的。(1曲)猪取级攀数(a)的近第一乎项作愈为近涉似的姨变形盼曲线堪，即毙设(b)在位扁移表朽示式敲(b)中刻只含萝有一委个任倚意参姨数a1。这游就是脸说，个我们旧把原鸟来的悉无限神自由泥度体叛系近秆似地翅作为羊单自佩由度昆体系献来看妨待。61由此可求得(c)这是差按单周自由吸度体仁系求国得的伟结果愈。(2嫁)种取级市数(a)的性前两盈项作币为近恶似的充变形终曲线天，即到设(d)这里染含有妹两个遵任意刺参数a1和a3，相再当于狠把原碑体系赚近似判地按酸两个请自由森度体电系看评待。根据醉式(d)，搬求得U和UP如下62由驻值条件可得(e)为了砌得到a1和a3的非市零解授，令给方程有组(e)的尖系数土行列物式为装零：63基展开式为由此附求出台最小膀根，盟即得仙出临僚界荷弟载如唤下：(f)由式右(c)和狡(f)看作出，泊两次看计算盒结果悼已很弦接近息，相短对差耽值不飞到1刃%，两由此魔可以帆了解室所得良近似膛结果史的精苏确程店度。64§1兼8-7耕组旱合杆橡的稳饭定大型柔结构伤中的谢压杆忌，如介桥梁奶的上环弦杆烤、厂贷房的乘双肢结柱、耐起重惰机和榨无线饶电桅棚杆的负塔身钟等，赖常采劲用组蚁合杆扭的形肯式。预组合耐杆根纱据构抚造形脾式可垃分成崭缀条胖式和腊缀板窑式两晃种。摩组合瓶杆可禁以按虫精确疤法计过算，疲也可途以采勺用一涉些假杆设后矿按静哗力法姿进行袄近似狭计算油。本犯节则从按能煌量法优进行析近似智计算企。一、芦缀条停式组灯合杆缀条间式组盼合杆徒(图1辈8-27)可芽按桁拦架进乎行计钳算，间柱肢娇和缀泳条间罚的连村结结悔点均智可视纷为铰乱结点西。丧纵失稳顺定时捡，桁弹架中足各杆宏(即怪柱肢铜和缀轨条)龄只引踪蝶起附雾加的岔轴力杰。假设驼组合除杆失氏稳时绸的变婚形曲换线为呈半波听的正引弦曲窜线：65图18-27Pxd

1

2A1A2lxy(a)组合巾杆轴棒线上认任意绵点的照弯矩鸽为剪力为组合寨杆柱背肢的阳轴力N和邀缀条腔的轴烘力N

冤按桁秤架近巧似计表算，蓝可得式中b为组腾合杆辅肢宽景，

为斜签缀条磨与水写平轴炼的夹既角(咽见图蚀18-27b、c)。bb/2b/2A

(b)(c)

bN

N

N

QM66桁架的应变能为：式中s为各煮杆杆价长。将轴芦力代谜入后搜有式中A为挣终结瓦杆的屈面积呀，A1为上蕉斜缀戏条的伞面积久，A2为下察斜缀抹条的馅面积堪。若斯组合村杆在嘱两个描平面惑内都遍有缀耽条(显图1父8-27b)，腿计算A1和A2时应她加倍圾。n为组叠合杆价的结兵间数未，对说于上备、下铸斜杆凯来说毙，每影一结辆间只伯有一良杆，洋故总凑和数汽为n杆之前和；养对于扔弦杆挤来说凳，每钟一结旬间有找两个环杆，灵故总冠和数杠为2n杆之厦和。67一般讲缀条持式组钳合杆霸的结白间数推较多旨，实樱际计酸算时守可取并将夫括号霉内总母和符裕号近欣似地黎用沿郑柱长凑的积断