chapter-15弯曲变形弯曲变形讲义

工程力学梁的弯曲变形版权所有钟艳玲张强1第十五章梁

的

弯

曲

变

形3学时x15.1梁的挠曲线近似微分方程x15.2用积分法计算梁的变形x15.3用叠加法计算梁的变形x15.4梁的刚度条件x15.5简单静不定梁作业

15-8(只列出边界条件和连续条件),15-9,

15-11(a),

15-13(c)工程力学梁的弯曲变形2对工程中承受弯曲的杆件，强度条件

工作应力不超过材料的许用应力刚度条件

变形方面满足要求版权所有钟艳玲张强工程力学梁的弯曲变形版权所有3对工程中承受弯曲的杆件，强度条件

工作应力不超过材料的许用应力刚度条件

变形方面满足要求中心架、跟刀架钟艳玲张强车床加工中心架的使用工程力学梁的弯曲变形4挠曲线平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵向对称面内的平面曲线，称为梁的挠曲线。挠度横截面的形心沿与轴线垂直方向的线位移，称为该截面的挠度，用y

表示。转角版权所有钟艳玲张强横截面相对其原来的位置转过的角度，称为此截面的转角，用θ表示。x

15.1梁的挠曲线近似微分方程工程力学梁的弯曲变形5挠度转角的正负号规定在图示坐标系中挠度：向上为正转角：逆时针转向为正x

15.1梁的挠曲线近似微分方程挠曲线方程x

轴：变形前的梁轴(向右为正)y

轴：垂直于x

轴向上的轴(向上为正)梁各截面处的挠度y

是x

的函数，表达式为y=f

(x)称为梁的挠曲线方程。版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形6挠度与转角的关系工程力学在小变形情况下挠曲线上任意一点处切线的斜率或其一阶导数等于该点处横截面的转角。挠度的单位：m，cm，mm。转角的单位：rad。x

15.1梁的挠曲线近似微分方程版权所有钟艳玲张强工程力学梁的弯曲变形7x

15.1梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下剪力对变形影响很小，忽略，上式仍成立。在横力弯曲中，弯矩和曲率都随截面位置而变化。横力弯曲版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形版权所有8则平面曲线y

=f(x)的曲率表达式工程力学小变形情况下挠曲线近似微分方程x

15.1梁的挠曲线近似微分方程正负号：依赖于所选取的坐标轴、弯矩正负号的规定钟艳玲张强工程力学梁的弯曲变形9取正号，挠曲线的近似微分方程应写为讨论：线弹性小变形条件下梁的弯曲变形计算的基本微分方程由挠曲线近似微分方程→梁的转角方程和挠曲线方程。版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形10x

15.2用积分法求梁的变形转角方程积分常数C、D

由位移的边界条件(某些截面的已知转角和挠度)和分段交界截面处的位移连续条件确定。挠曲线近似微分方程工程力学版权所有钟艳玲张强挠曲线方程工程力学梁的弯曲变形

11l边界条件简支梁悬臂梁lx

15.2用积分法求梁的变形版权所有钟艳玲张强工程力学梁的弯曲变形12位移连续条件(分段梁)挠度、转角都是连续的，在挠曲线上任意点，挠度和转角分别有唯一确定的值alA版权所有钟艳玲张强BCx

15.2用积分法求梁的变形工程力学梁的弯曲变形13x

15.2用积分法求梁的变形版权所有钟艳玲张强工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形14用积分法求挠度和转角的步骤：选取坐标轴计算梁的支反力建立梁的弯矩方程建立梁的挠曲线近似微分方程(5)将梁的挠曲线近似微分方程积分(6)由位移条件确定积分常数写出转角方程和挠曲线方程确定梁的最大挠度若外载情况较复杂，则要分段处理。15简单载荷下梁的挠度与转角制成表格备用P229~230附录B工程力学梁的弯曲变形版权所有钟艳玲张强16P229~230附录B工程力学梁的弯曲变形简单载荷下梁的挠度与转角制成表格备用版权所有钟艳玲张强工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形17x

15.3

用叠加法求梁的变形用积分法求梁的变形的缺点(1)如果梁上的载荷很多，就要分段建立弯矩方程。分段越多，积分常数也越多，确定积分常数的运算繁琐。(2)在实际的工程问题中，梁上的载荷通常比较复杂，但常常只需要计算某些特定截面的转角和挠度。因此，一般不采用积分法，而采用叠加法计算梁的变形。工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形18叠加原理(力的独立作用原理)每个载荷单独产生的上述各量，都不受其他载荷作用的影响。若梁内应力不超过材料比例极限，且符合小变形梁的支反力、剪力和弯矩、正应力和剪应力以及挠度、转角等，都与梁的载荷成正比。叠加法当梁上有几个载荷共同作用时，某一横截面的转角或挠度等于各个载荷单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。梁上几个载荷同时作用时产生的上述各量，等于各载荷分别单独作用所产生相应各量的代数和。x

15.3

用叠加法求梁的变形工程力学梁的弯曲变形19x

15.3版权所有钟艳玲张强用叠加法求梁的变形工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形20x

15.4梁的刚度条件梁的刚度梁的变形不能超过规定的许可范围——梁的刚度。(1)桥式吊车大梁在起吊重物时，若梁的挠度偏大，会行驶困难，造成振动。(2)齿轮轴的弯曲变形过大，造成啮合不良，轴与轴承配合不好，传动不平稳，增加轴与轴承之间的磨损。(3)轧辊机的辊轴，若弯曲变形过大，生产出的产品就会厚薄不均，成为废品。工程力学梁的弯曲变形21梁的刚度条件刚度校核的目的，为控制梁的变形，使最大挠度和最大转角在规定许可范围内，故梁的刚度条件为在工程设计中，处理梁的弯曲问题，常须同时考虑强度条件与刚度条件。版权所有钟艳玲张强x

15.4梁的刚度条件工程力学梁的弯曲变形22例如图所示简支梁。跨度中点C

点作用一集中力F=20kN，跨度l=8.76m，根据工作性质规定[f]=l/500=17.52mm。若选用No.32a工字钢，其E=210GPa，试校核梁的刚度。AB

xFl/2l/2C解查型钢表，No.32a工字钢的惯性矩I=11

100×10-8m4查表7-1得满足刚度要求版权所有钟艳玲张强工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形23x

15.5简单静不定梁静不定梁梁的约束反力数目多于静力平衡方程的数目，因而仅凭静力平衡方程不能确定全部反力。这种梁称为静不定梁。反力数目与静力平衡方程数目之差，称为静不定次数。静不定梁就是在原来静定梁的基础上增加约束，静不定梁比相应的静定梁提高了强度和刚度。工程力学梁的弯曲变形24多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。多余约束版权所有钟艳玲张强多余约束多余约束(限制转动)多余约束x

15.5简单静不定梁工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形25多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。撤除静不定梁的多余约束，代之以相应的约束反力，得到在原有外载及未知反力共同作用下的静定梁。此系统称为原静不定梁的基本静定系统或相当系统。在多余约束处，必须符合静不定梁的变形协调条件。基本静定系统(相当系统)x

15.5简单静不定梁工程力学版权所有钟艳玲张强梁的弯曲变形26多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。基本静定系统(相当系统)可根据叠加原理来求解，建立一个补充方程。补充方程数=静不定次数。这样梁的反力可以全部解出变形协调条件每个多余约束，都限制了梁在某一截面处的某个位移(挠度或转角)，即提供了一个变形限制条件，也称为变形协调条件。x

15.5简单静不定梁工程力学梁的弯曲变形27求解静不定梁的方法和步骤确定梁的静不定次数；解除多余约束，代之约束反力，得到相当系统；(4)在多余约束处，计算由已知外载荷和未知反力产生的相