小专题16旋转中常见的几何模型

《小专题16旋转中常见的几何模型》类型1“手拉手”模型帽型:扈:示； 模型特征：两个等边三用形或等腰直角三角形j或正方形共顶点.t 模型说明：如图1,△八H匕△力（:「都是等边（三角形，可证△AEC^AABF.।如图2,AABAAACF都是等腰直角三角4形，可证△ADC一△八8匕f 如图3四边形A23EF,泅边形ACI1D都是正；方形,可证△abDS&AFC.针对训练1.（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE二DG；②BE_LDG：③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论是（填不重合），以CE为一直角边作R3ECD,NECD=90°,连接BE,AD.若R3ABC和R3ECD是等腰直角三角形。（1）猜想线段BE,AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，写出结论并证明;

(2)现将图1中的Rt£ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图2,请判断(1)中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由.图之类型2“半角”模型■+- ■ 1--"-4«!*!*+模型特征：±究含芈竟+布相等的边，通过旋?蒋.'便相等的边直合，拼出特林角I模型说明：如国，在正方形AHCD中，NEAF,15工将AADF烧点温顺时针旋转90%得到：: 如忤1,在等腰直角△丹口: 如忤1,在等腰直角△丹口C中，/45n，臀■；A/ICN绕点八顺时针旋转91『，得倒△八水3可证：;AAMN@△AMQ.所以可得f；M+=MM. 1.如图,专履A/1BC中,A再-BC./DUE=:jZCBA,将△CHD绕点B逆时针旋转NCR4的■度数狎到△.4月犷.可征△DMF：g△门‘月巩 ?针对训练■AABG.可讦A4EF三△八EG.Ef以可将口尸十GE，.已知在等腰4ABC中，AB二AC,D,E是BC边上的点，将上ABD绕点A旋转，得到^ACD',连接DrE.(1)如图1,当NBAC=120°,NDAE=60°时，求证：DE二D'E；(2)如图2,当DE二D'E时，NDAE与NBAC有怎样的数量关系并说明理由..如图，在正方形ABCD中，E,F是对角线8口上两点，＜ZEAF=45°,将三ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到占ABQ,连接EQ,求证:EA是NQED的平分线;EF2=BE2+DF2.拓展类型构造旋转模型解题广, 十-4-.-I （去一个图静中合肯相等的挂盘题带殊的常度，［i通雷是温等殁段的公柒蟠苴为发幽甘心詈行提转*；［樊郭福等的鼓黄卷.忽出构罐的函将.5.【注重阅读理解】请阅读下列材料:问题：如图1,在等边二ABC内有一点P,且PA=2,PB=V3，PC=1,求NBPC的度数和等边ABC的边长.李明同学的思路是:将二BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形（如图2）,连接PP',可得△P'PB是等边三角形，而三PP''A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以NBPC二NAP''B=150°,进而求出等边△ABC的边长为v号，问题得到解决。请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=v'另，BP=V.，PC=1.求NBPC的度数和正方形ABCD的边长.即 配 图3

即 配 图3参考答案.①②③.解：(1)BE二AD,BE_LAD.证明：延长BE交AD于点■「三ABC和Rt^ECD是等腰直角三角形，ECD=90°,CB二CA,CD二CE.在4BCE和4ACD中，CB^CA1/HCE=-4CD,「，色KCEaaACD(SAS).「.BE二AD,NBEC=NADC.[CE=CD,ZEBC+ZBEC=90°,..ZEBC+ZADC=90°...ZBFD=90°...BE_LAD.(2)BE二AD,BE_LAD仍然成立.证明：设BE,AC交于点F,BE,AD交于点G,.ACB=NECD=90°,，/ACD=NBCE.在AACD和ABCE中，AC=BC= 「.△ACD岂Z\BCE(SAS).「.AD—BE,NCAD二NCBE.[CD=CENBFC二NAFG,NBFC+NCBE=90°,..-AFG+」CAD=90°.,.4AGF=90°. BE_LAD..解：(1)证明：^^ABD绕点A旋转，得到二ACD',，NDAD'=NBAC=120°,AD二AD'.'.'NDAE=60°,:ND'AE二NDAD'—NDAE=120°—60°=60°.AD=ADrNNDAE二ND'AE.在△DAE和△D'AE中＜ZDAE=N1TAE,IAE=AE:/J,1上三△〃1】£，(SAS)./.DE=D'E.rAD=ADt(DE=D，E

,AE=AE(rAD=ADt(DE=D，E

,AE=AE.NDAD'=NBAC,AD=AD'.在△DAE和△D'AE中■,△DAE=AD'AE(SSS)..,NDAE=ND'AE-NNDAD'.;NDAD'二NBAC,NDAE=g-4_ie.证明：(1)■「将△八口尸绕点A顺时针旋转90°后，得到^ABQ,「.QB二DF,AQ二AF,NBAD二NQAF=90°.「NEAF=45°,/./QAE二NFAE=45°.在^AQEAQ=AF和△AFE中，＜^QAE=/FAE".AAQE上△AFE(SAS).NAEQ二NAEF.,AE=AE:EA是NQED的平分线.(2)由(1)得工AQE二八AFE,;QE二EF..NABQ二NADF=NABD=45°,NQBE=90°.在R3QBE中，QB2+BE2=QE2,，EF2=BE2+DF2..解:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,^△BP'A,则^BPCe△BP'A.-.AP'=PC=1,BP'=BP二v可.易证NPBP'-NABC=90°.连接PP,，在R3BP'P中，：“BP二BP'二'，，NPBP'=90°..PP'=2,ZBP'P=45°.ffi△AP'P中，AP'=1,PP'=2,AP=\X，：12+22=[v9「，即AP，2+PP，2=AP2,:，AP'P是直角三角形，即NAP'P=90°..NAP'B二NAP，