二次函数最值及根的分布

安微台宣城中季二次函数2010届高三第一轮复习讲义教学目标：.掌握二次函数的图像及性质.能够求出二次函数在某个区间上的最值.能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布教学重难点：重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用知识要点：二次函数最值问题：二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)=ax2+bx+c(a丰0)，求f(x)在xe[m,n]上的最大值与最小值.b分析：将于(x)配方,得对称轴方程x二-五2a2a远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值.当a<0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时f(x)max“、b1, f(x)max“、b1, 、/ 、f(m),-->-(m+力(如图1)2a2b1f(n)，-—<-(m+力(如图2)2a2minbf(n)，-—>n(如图3)

2abb—)，m<--<n(如图4)2a 2a“、b/ 、f(m)，一。<m^q图5)

2a第1页共11页2010届高三第一轮复习讲义0）安微台宣城中率2010届高三第一轮复习讲义元二次方程、一元二次不等式解的情况:\=b2-4acA>0A=0A<0y=ax2+bx+c的图象（a>0）1Wu方程ax2+bx+c=0的解一b+Jb2-4acxi- 2a '一b一中‘b2—4acx= 2 2abx二一一0 2a无解ax2+bx+c>0的解x<x或x>xx丰xxGRax2+bx+c<0的解x<x<x00第2页共11页2010届高三第一轮复习讲义一元二次方程ax2+bx+c=0（a>2010届高三第一轮复习讲义一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）根的分布：（用《最值归纳》资料的总结）A>0A>0充要条件b——<k

2af(k)>0b——>k

2af(k)>0fA>0或I(xi-k)+(x2—k)<0(x-k)+(x-k)>0L1 2fA>0或I(xi-k)+(x2-k)>0(x-k)+(x-k)>0L1 2f(k)<0'A>0或I一一(x-k)+(x-k)>0, 1 2根的分布f(kJf化)<0两根有且仅有一根在（勺,k2）内安微古宣城中肇充要条件［充要条件［于(勺)〉。

I,(勺)<。f(k)>0L3ff(k)=01或<7bk+kTOC\o"1-5"\h\zk< <-1 2〔i 2a 2ff(k”0或<k+kb-i 2< <kI2 2a2第3页共11页

2010届高三第一轮复习讲义2010届高三第一轮复习讲义典型例题一、求二次函数在闭区间上的值域(一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间动；(3)轴动，区间定；(4)轴动，区间动.1.轴定区间定例1.已知函数f(x)=x2+2tan9x-1,xe[—1,J3],,当6=一。时，求函数f(x)的最大值6TOC\o"1-5"\h\z与最小值. _解析：9=-[时，f(x)=(x-E)2-46 3 3所以x=—时，f(x)=一上x=一1时，f(x)=打^.3 min3 max3.轴定区间动例2.求函数J=x2-4x+3在区间\i,t+1]上的最小值.解析：对称轴x=2(1)当2<t即t>2时，y.=f(t)=12-4t+3；(2)当t<2<t+1即1<t<2时，j=f(2)=-1；min(3)当2>t+1即t<1时，j=f(t+1)=t2-2tmin.轴动区间定例3.求函数J=-x(x-a)在xe[-1,1]上的最大值.,a、a2 a a.a解析：函数J=-(x--)2+—图象的对称轴方程为x=-，应分-1<-<1,-<-1,2 4 2 2 2a->1即-2<a<2,a<-2和a>2这三种情形讨论，下列三图分别为a<-2；由图可知f(x) =f(-1)maxa-2<a<2；由图可知f(x) =f()max2a>2时；由图可知f(x) =f(1)max第4页共11页

一)安微省宣城中部2010届高三第一轮复习讲义I一)安微省宣城中部2010届高三第一轮复习讲义If(-1),…2••.y最大hf("2-a-2；f(1),a>24.轴动区间动(略)一(a+D,a<—2口口 a2 仁」」仁即y=\——,—2—a—2最大4a—1,a>2例4.已知y2=4a(x—a)(a>0),,求u=(x—3)2+y2的最小值.解析：将y2=4a(x—a)代入u中，得u=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2d)Y+\2a-8a2,xe[a,+oo)①[2公。，即口；工1时，/犬温=/("㈤=12"*/②厘，即厘>i时，/(工温=/s)=g-3尸所以所以(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值.例5.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,求实数a的值.解析：f(x)=a(x+1)2+1—a,xe[—3,2](1)若a=0,f(x)=1,,不合题意.(2)若a>0,则f(x) =f(2)=8a+1maxc- ， 3由8a+1=4，得a=一；8(3)若a<0时，则f(x) =f(-1)=1—amax由1一a=4，得a=-3.3T 2综上知a=g或a=-3.8第5页共11页

国与安微省宣城中率2010届高三第一轮复习讲义…、 x2例6.已知函数f(x)=——+x在区间［m,n国与安微省宣城中率2010届高三第一轮复习讲义…、 x2例6.已知函数f(x)=——+x在区间［m,n］上的值域是［3m,3n］，求m,n的值.m+n解析：方法一：讨论对称轴x=1中1与m,-,n的位置关系.则If(x)max=f(n)=3n"［f(x) =f(m)=3mmin解得"=-4,甩=口…m+n-口Jf(x) =f(1)=3n②若<1<n，则<max2 则If(x) =f(m)=3mmin……m+nnJf(x) =f(1)=3n③若m<1<——，则1 max2 1f(x) =f(n)=3mmin无解无解nlIf(x)=f(m)=3n则<max1f(x)min=f(n)=3m，无解综上，m=—4,n=0… 1， 1 1 1方法二：由f(x)=—-(x—1)2+-,知3n<-,n<-,,则［mn绫—明，f(x)在［m,n］上2 2 2 6递增.所以f(x)max=f(n)=3nf(x) =f(m)=3mmin解得m=—4,n=0评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m,n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了.a1例7.已知函数y=—sin2x+asinx—+-的最大值为2，求a的值.解析：令t=sinx，问题就转二次函数的区间最值问题.令t=sinx,tg［—1,1］,.，.y=—(t—:)2+i(a2—a+2),对称轴为t=a,24 2a1①当—1<-<1,即—2<a<2时，y=(a2—a+2)=2，得a=—2或a=3(舍去).2 max4a _ a. 1,②当5>L即a>2时，函数y=—(t——)2+(a2-a+2)在［—1,1］单调递增，由ymax11二一1+a——a+一=242_a4③当<—1即a<—2时, 10得a=—.3a1函数y=—(t—)2+(a2—a+2)在［—1,1］单调递减，由Lx二T一得a=—2(舍去).综上可得…的值为a=-2或a='.第6页共11页

(05安微古宣城中肇2010届高三第一轮复习讲义二、根的分布例8.(1)方程X2-2(05安微古宣城中肇2010届高三第一轮复习讲义二、根的分布例8.(1)方程X2-2ax+4=0的两根均大于1,求实数a的范围.(2)方程x2-2ax+4=0的两根一者大于1,一者小于1求实数a的范围.(3)方程x2-2ax+4=0的两根一者在(0,1)内，一者在(6,8)内，求实数a的范围.解析：令f(x)=x2-2ax+4△N0(1)由<a>1或2f(1)>0产0*x-1)+(x-1)>0得：2(x-1)(x-1)>012I△>0 5由f(1)<0或\ 得：a>-；I(x-1)(x-1)<0 2L1 2f(0)>0f(D<0田得：f(6)<0f(8)>01017例9.关于x的方程9x+(a+4).3x+4=0有实根，求实数a的取值范围.解析：令3x=t(t>0),原方程有实根等价于方程12+(a+4)t+4=0有正根.令f(t)=t2+(a+4)t+4，则f(t)恒过(0,4)点.产0方法一：\a+4八得：a<-8->0[2方法二：要使方程12+(a+4)t+4=0有正根，则方程12+(a+4)t+4=0的较大根大于0即可；△N0故由1-(a+4)+,(a+4)2-16>。得：a<-8। 2 >第7页共11页

2010届高三第一轮复习讲义2010届高三第一轮复习讲义例10.关于X的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，求实数a的取值范围.解析：令f(x)=ax2+2x+1，f(x)恒过(0,1)点方法一：①a=0时，2x+1=0nx=--<0成立.2氏0②a>0时，<1得：0<a<1；—<01a③a<0时，恒成立；综上可知：a<1.方法二：①a=0时，2x+1=0nx=-1<0成立.2a<0或於20-2+«7^<0[2a②a丰0时，要使方程ax2+2x+1=a<0或於20-2+«7^<0[2aa>0根小于0即可.故^A>0-2-<4^4；<0[2a综上可知：a<1.例11.已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与非负轴至少有一个交点，求实数a的取值范围.解析：方法一：①方程f(x)=0有一个实根是0，则f(0)=0得：a=±c2；AN0—— 2a-1-r-9②方程f(x)=0有两个正根，则s^—>0得：J2<a<.；24、f(0)>0③方程f(x)=0有一个正根一个负根，则f(0)>0得：-2<a<<2；综上可知：-J2<a<9.4方法二：考虑命题的对立面：方程f(x)=0没有实根或两个负根；第8页共11页

2010届高三第一轮复习讲义2010届高三第一轮复习讲义9①方程f(x)=0没有实根，则A<0得：a>4A>02a—1②方程f(x)=0有两个负根，则< <②方程f(x)=0有两个负根，则<2f(0)>0故a<72或a>—.4因此函数f(X)=x2—(2a—1)x+a2—2与非负轴至少有一个交点实数a的取值范围是:八2-a-4・例12.关于X的方程x2—mx+1=0只有较小的根在(—1,1)内，求实数m的取值范围.解析：①f⑴二0时，m=2，此时方程为x2―2x+1=0,两根5二x2二1，不成立;②由f②由f(—1)>0f(1)<0综上可知：m>2.例13.关于x的方程x2+(m—1)x+1=0在区间［0,2］上有实根，求实数m的取值范围.解析：令f(x)=x2+(m—1)x+1,…、一八一、八 3①端点：f(0)=1*0；f(2)=0得：m=—；②在开区间(0,2)上3⑴在(0,2)上仅有一个实根，则f(0)-f⑵<0得：m<―-；TOC\o"1-5"\h\z士.人工生帕7 J=0 ，曰 I(ii)在(0,2)上有两个相等的实根，则上1—m/得m=—1；0< <2［ 2A>00<1—m<2 3(iii)在(0,2)上有两个不等的实根，则| 2得：-片<m<1；一一 2f(0)>0f(2)>0综上可知：m-—1.第9页共11页

2010届高三第一轮复习讲义2010届高三第一轮复习讲义三、恒成立问题此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法.例14.已知函数f(x)=x2+ax+3,(1)当xeR时，f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当xe［-2,2］时，f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围.解析：(1)当xeR时，f(x)>a恒成立，即x2+ax+3-a>0在R上恒成立，因此A<0得：-6<a<2.(2)xe[-2,2],f(x)>a恒成立，即xe[-2,2],fm(x)>a.a函数f(x)=x2+ax+3的对称轴为：x=--,TOC\o"1-5"\h\za 7①-大<-2即a>4时，f(x)=f(-2)=7-2a>a得：a>-故此时无解；2 mm 3a②一一>2即a<-4时，f(x)=f(2)=7+2a>a得：a>-7故-7<a<-4；2 min一