全国高考数学四单元导数及其应用学案文

导数及其应用教材复习课“导数”有关基础知识一课过导数的基本运算[过双基]1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝(c为常数)f′(x)＝0cf(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝x′()＝xln_aafxaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)1f′(x)＝xlnaf(x)＝lnxf′(＝1x)x2．导数的运算法例(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fx′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．gx[gx]2[小题速通]1．以下求导运算正确的选项是()A.x＋1′＝1＋12B．(log2)′＝1xxxxln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx分析：选Bx＋1′＝1－12；(log2x)′＝1；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝2cosxxxln2xx－x2sinx，应选B.2．函数f(x)＝(x＋2)(x－)2的导数为()aaA．2(x2－a2)C．3(x2－a2)

B．2(x2＋a2)D．3(x2＋a2)分析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()1916A.3B.31310C.3D.3分析：选D因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，10所以a＝3.4．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．分析：因为f()＝(2x＋1)ex，xxxx所以f′(x)＝2e＋(2x＋1)e＝(2x＋3)e，所以f′(0)＝3e0＝3.答案：3[清易错]1．利用公式求导时，必定要注意公式的合用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，(cosx)′＝－sinx.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.1．已知函数f()＝sinx－cos，若f′()＝1()，则tanx的值为()xxx2fxA．1B．－3C．－1D．2分析：选B∵f′(x)＝(sinx－cosx)′＝cosx＋sinx，1又f′(x)＝2f(x)，1cosx＋sinx＝2sinx－2cosx，tanx＝－3.2．若函数f(x)＝2x＋lnx且f′()＝0，则2aln2a＝()aA．－1B．1C．－ln2D．ln2x1a1a1a分析：选Af′(x)＝2ln2＋x，由f′(a)＝2ln2＋a＝0，得2ln2＝－a，则a·2·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.导数的几何意义[过双基]函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(刹时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．411分析：选B由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－3，∴f′(3)＝－3，∵(x)＝xf(x)，∴′()＝(x)＋xf′()，∴′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)ggxfxg11，所以g′(3)＝1＋3×－3＝0.2．设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．分析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝03．已知曲线y＝22的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．x1121分析：因为y′＝4x，设切点为(m，n)，则4m＝2，所以m＝2，则n＝2×2＝2，则11切点的坐标为2，2.11答案：，224．函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)________.分析：因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，所以f′(1)3，且f(1)＝3×1－2＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的差异，前者只有一条，而后者包含了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不必定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差异．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()2521A．－1或－64B．－1或47257C．－或－64D．－或744分析：选A因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与y＝x33，相切于点(x0，x0)则在该点处的切线斜率为2k＝3x0，所以切线方程为y－x32x－0)，即y＝3223＝0或0＝30(0－0，又(1,0)在切线上，则0xxxxxx321525x0＝2，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax＋4x－9相切，可得a＝－64，32727215当x0＝2时，由y＝4x－4与y＝ax＋4x－9相切，可得a＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．分析：因为函数y＝3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋，所以此函数的图象在点(1,3)xa处的切线斜率为3＋a，3＋a＝2，a＝－1，所以解得b＝3.3＝1＋a＋b，答案：3利用导数研究函数的单一性[过双基]1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单一性与f′(x)的关系若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增添的．若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单一性的一般步骤求f′(x)．在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.依据结果确立f(x)的单一性及单一区间．[

]1．函数

f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单一减区间是

(

)A．(1,2)

B．(2，＋∞)C．(－∞，1)

D．(－∞，

1)和(2，＋∞)分析：选A解f′(x)＝6x2－18x＋12<0可得1<x<2，所以单一减区间是(1,2)．2．已知函数f(x)的导函数′()＝2＋bx＋c的图象以下图，则f(x)的图象可能fxax是()分析：选D当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单一递减；当x>0时，由导函数21f′(x)＝ax＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单一递加．只有D选项切合题意．3．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为()6A．(－∞，－26]B.－∞，2C．[－26，＋∞)D．[－5，＋∞)32x2＋＋3由题意得f′(x)＝2x＋a＋x＝g(x)分析：选Cx≥0在(1，＋∞)上恒建立?＝a2－24>0，＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒建立?＝a2－24≤0或－a≤1，?－4g1＝5＋a≥026≤≤26或>26?a≥－26，应选C.aa[清易错]若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单一递加，则f′(x)≥0，且在(a，b)的随意子区间，等号不恒建立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单一递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒建立．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单一增函数，则m的取值范围是________．分析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是单一增函数，∴f′(x)≥0恒建立，1∴＝4－12m≤0，即m≥3.1答案：，＋∞利用导数研究函数的极值与最值[过双基]1．函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．若函数f(x)在[a，b]上单一递加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单一递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4分析：选A由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3－9在x＝－3时获得极值，则a的值为()xA．2B．3C．4D．5分析：选D′()＝32＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)fxxa＋3＝0，解得a＝5.3．(2017·济宁一模)函数f(x)＝1x2－lnx的最小值为()21A.2B．1C．0D．不存在x2－1分析：选Af′(x)＝x－x＝x，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处获得极小值也是最小值，且11f(1)＝－ln1＝.224．若函数f(x)＝21x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围为________．x2－ax＋1分析：f′(x)＝x－a＋x＝x(x>0)，12因为函数f(x)＝2x－ax＋lnx有极值，令()＝x2－ax＋1，且(0)＝1>0，gxga所以2>0，解得a>2.aa2g2＝－4＋1<0，答案：(2，＋∞)5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．分析：由题意，f′()＝32－4＋2＝0，得＝a或.3a>2，又∵x<2<x，∴x1＝，x＝a，∴a∴2<a<6.12a233<2，答案：(2,6)[清易错]1．f′(x)＝0是x为f(x)的极值点的既不充分也不用要条件．3fxxf00＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．2．求函数最值时，易误以为极值点就是最值点，不经过比较就下结论．1．(2017·岳阳一模)以下函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋2x分析：选D因为A、B为单一函数，所以不存在极值，C不是奇函数，应选D.2．设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.分析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)>0可得x>1或x<－1，由f′(x)<0可得－1<x<1，所以函数f(x)的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]．又因为f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，所以M＝3，m＝－1，所以M＋m＝2.答案：2一、选择题1．已知函数f()＝loga(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则＝()xxaA．e1B.e11C.e2D.211分析：选B因为f′(x)＝xlna，所以f′(1)＝lna＝－1，所以lna＝－1，所以a1e.2．直线

y＝kx＋1与曲线

y＝x2＋ax＋b相切于点

A(1,3)

，则

2a＋b的值为

(

)A．－1

B．1C．2

D．－2分析：选

C

由曲线

y＝x2＋ax＋b，得

y′＝2x＋a，由题意可得

k＋1＝3，k＝2＋a，1＋a＋b＝3，

解得

k＝2，a＝0，b＝2，所以2a＋b＝2.323．函数y＝2x－3x的极值状况为()A．在x＝0处获得极大值0，但无极小值C．在x＝0处获得极大值0，在x＝1处获得极小值－1D．以上都不对分析：选Cy′＝6x2－6x，由y′＝6x2－6x>0，可得x>1或x<0，即单一增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．由y′＝6x2－6x<0，可得0<x<1，即单一减区间是(0,1)，所以函数在x＝0处获得极大值0，在x＝1处获得极小值－1.4．若f(x)＝－1x2＋mlnx在(1，＋∞)是减函数，则m的取值范围是()2A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，1)分析：选C由题意，′()＝－xm≤x2在(1，＋∞)＋≤0在(1，＋∞)上恒建立，即fxxm上恒建立，又因为x2>1，所以m≤1.5．函数f(x)＝(x－3)ex的单一递加区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)分析：选D依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，∴f(x)的单一递加区间是(2，＋∞)．应选D.6．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处获得极小值，则实数m＝()A．0B．1．2D．3C分析：选B22322f′(x)＝22f(x)＝x(x－2mx＋m)＝x－2mx＋mx，所以3x－4mx＋m＝(xm)(3x－m)．由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当1<x<3时，f′(x)<0，当x<1或x>3时，f′(x)>0，此时在x＝1处获得极大值，不合题意，∴m11＝1，此时f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当<x<1时，f′(x)<0，当x<或x>1时，f′(x)>0，33此时在x＝1处获得极小值．选B.x21)7．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(42A．3B．21C．1D.2分析：选A已知曲线y＝x21131－3lnx(x>0)的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，422x2得x＝3，应选A.x≤0，1－2，x8．若函数f(x)＝x3－3x＋a，x>0的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是()A．[2,3]B．(2,3]C．(－∞，2]D．(－∞，2)分析：选A当x≤0时，0≤f(x)＝1－2x<1；当x>0时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单一递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单一递加，所以当x＝1时，函数f(x)获得最小值f(1)＝1－3＋a＝a－2.由题意得0≤a－2≤1，解得

2≤a≤3，选

A.二、填空题9．若函数

f(x)＝x＋aln

x不是单一函数，则实数

a的取值范围是

________．a分析：由题意知

f(x)的定义域为

(0，＋∞)，f′(x)＝1＋x，要使函数

f(x)＝x＋aln

xa不是单一函数，则需方程

1＋x＝0在(0，＋∞)上有解，即

x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.1分析：∵f′(x)＝x－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：811．已知函数f(x)的图象在点(1，(1))处的切线方程是y＝1＋3，则f(1)＋′(1)Mf2xf＝________.分析：由题意知f117′(1)＝，f(1)＝×1＋3＝，2221f(1)＋f′(1)＝2＋2＝4.答案：412．已知函数g(x)知足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋1x2，且存在实数x0，使得不等式22m－1≥g(x0)建立，则实数m的取值范围为________．分析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，令x＝1时，得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1，∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1，∴g′(1)＝e，x12x∴g(x)＝e－x＋2x，g′(x)＝e－1＋x，当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，∴当x＝0时，函数g(x)获得最小值g(0)＝1.依据题意得2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题a13．已知函数f(x)＝x＋x＋b(x≠0)，此中a，b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的分析式；议论函数f(x)的单一性；(3)若对于随意的a∈1f(x)≤10在1b的取值范，2，不等式，1上恒建立，务实数24围．a解：(1)f′(x)＝1－x2(x≠0)，由已知及导数的几何意义得f′(2)＝3，则a＝－8.由切点(2，(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋＝7，解得＝9，所以函数f()的解Pfbbx8析式为f(x)＝x－x＋9.a由(1)知f′(x)＝1－x2(x≠0)．当a≤0时，明显f′(x)>0，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±a，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－－a(－a，0)(0，a)a(a，＋∞)a)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值极小值所以当a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上是增函数，在(－a，0)，(0，a)上是减函数．(3)由(2)知，对于随意的a∈1，2，不等式f(x)≤10在1上恒建立等价于2，14139f4≤10，b≤4－4a，17f1≤10，即b≤9－a对于随意的a∈2，2建立，进而得b≤4，所以实数b的取值范围是7－∞，4.14．已知函数f(x)＝x＋a－lnx－3，此中∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的4x21切线垂直于直线y＝2x.求a的值；求函数f(x)的单一区间与极值．1a1解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝4－x2－x(x>0)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1，2x35知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.x53(2)由(1)知f(x)＝4＋4x－lnx－2，则f′(x)＝x2－4x－5，4x2令f′()＝0，解得x＝－1或x＝5.x因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时获得极小值f(5)＝－ln5，无极大值．高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是要点[全国卷5年命题剖析]考点考察频度考察角度导数的几何意义5年8考求切线、已知切线求参数、求切点坐标导数的运算1π[典例](1)(2018·惠州模拟)已知函数f(x)＝xcosx，则f(π)＋f′2＝()31A．－π2B．－π231C．－πD．－π(2)已知f1(x)＝sin＋cosx，n＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝1′()，f3(x)＝xffxf2′(x)，，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2018(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．sinx＋cosxD．cosx－sinx(3)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且知足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e11[分析](1)∵f′(x)＝－x2cosx＋x(－sinx)，π123∴f(π)＋f′2＝－π＋π·(－1)＝－π.(2)∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f(x)＝f′(x)＝cosx－sinx，21∴f(x)＝f′(x)＝－sinx－cosx，32∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f

5(x)＝f4′(x)＝sin

x＋cos

x，∴f

n(x)是以

4为周期的函数，∴f

2018(x)＝f2(x)＝cos

x－sin

x，应选

D.1(3)由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋x.f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤剖析函数y＝f(x)的结构特色，进行化简；选择适合的求导法例与导数公式求导；化简整理答案．2．求导运算应按照的原则求导以前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，而后求导，这样能够减少运算量，提升运算速度，减少差错．[即时操练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝()A．3x2－12x＋6

B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6

D．3x2＋12x＋11分析：选

D

法一：y′＝(x＋2)(

x＋3)＋(x＋1)(

x＋3)＋(x＋1)(

x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________.分析：f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义导数的几何意义为高考热门内容，考察题型多为选择、填空题，也常出此刻解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题.常有的命题角度有：1求切线方程；2确立切点坐标；3已知切线求参数值或范围；4切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．13分析：∵f′(x)＝1＋x－1＋2x，∴f′(1)＝2，f(1)＝ln2，∴曲线y＝f(x)在点(1，3f(1))处的切线方程为y－ln2＝2(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.答案：3x－2y＋2ln2－3＝0角度二：确立切点坐标2．(2018·沈阳模拟

)在平面直角坐标系

xOy中，点

M在曲线

C：y＝x3－x－1上，且在第三象限内，已知曲线C在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为________．MM分析：∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1，又∵点M在第三象限，∴＝－1，∴＝(－1)3－(－1)－1＝－1，xy∴点M的坐标为(－1，－1)．答案：(－1，－1)角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．分析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1，1所以y′＝2ax＋3－x＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，明显知足题意；1当a＜0时，需知足≥0，解得－2≤a＜0.1综上，a≥－2.答案：1－，＋∞24．若两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1存在公切线，则正实数a的取值范围是________．a分析：设y＝alnx－1的切点为(x0，y0)，求导y′＝x，a则切线的斜率为，x0a所以公切线方程为y－(alnx0－1)＝(x－x0)，x0联立方程y＝x2－1可得x2－ax＋a－alnx0＝0，0由题意，可得＝－a20x0－4(a－alnx)＝0，则a＝402(1－lnx0)．x令f(x)＝4x2(1－lnx)(x>0)，则f′(x)＝4x(1－2lnx)，易知，函数f(x)＝4x2(1－lnx)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以函数f(x)＝4x2(1－lnx)的最大值是f(e)＝2e，则正实数a的取值范围是(0,2e]．答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，1f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnax－1x－＞0.x＋1设g(x)＝lnx－ax－1x＋1，则g12ax2＋21－ax＋1g(1)＝0.′()＝－2＝2，xxx＋1xx＋1①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单一递加，所以g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单一递减，所以g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点

A(x0，f(x0))

，利用

k＝

f

x1

－fx1－x0

x0

求解．1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．31分析：选Dy′＝a－x＋1，由题意得y′x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.212．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x＋x在点(1,2)处的切线方程为________．1处的切线方程的斜率为y′|＝2×1－1x1x＝1所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x1)的切线，则b＝________.分析：y＝lnx＋2的切线方程为：1y＝·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)，x1y＝ln(x＋1)的切线方程为：12x22y＝x2＋1x＋ln(x＋1)－x2＋1(设切点的横坐标为x)，11＝x2，x1＋1∴x212－x2＋1，lnx＋1＝lnx＋111解得x1＝2，x2＝－2，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.分析：∵′()＝32＋1，fxaxf′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x1相切，则a＝________.分析：∵y＝x＋lnx，1y′＝1＋，y′x＝1＝2.x∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变成y＝2x＋1与已知直线平行)．y＝2x－1，由y＝ax2＋a＋2x＋1，消去y，得ax2＋ax＋2＝0.2由＝a－8a＝0，解得a＝8.一、选择题1．设曲线y＝1＋cosxπ，1x－ay＋1＝0平行，则实数a等于sinx在点2处的切线与直线()A．－11B.2C．－2D．2－1－cosxπ1分析：选A∵y′＝sin2x，∴y′x＝2＝－1，由条件知a＝－1，∴a＝－1.22．(2018·衡水调研)曲线y＝1－x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()．＝2x＋1B．＝2x－1AyyC．y＝－2x－3D．y＝－2x－2x分析：选A∵y＝1－x＋2＝x＋2，x＋2－x222，y′|x＝－1＝2，∴y′＝＝x＋2x＋2∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f(x)＝lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为()．eB．－eA.1D．－1Cee分析：选C法一：∵f(x)＝lnx，x∈(0，＋∞)，1∴f′(x)＝x.设切点P(x0，lnx0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝1lnx0＝kOP＝.x0x0∴lnx0＝1，∴x0＝，∴＝1＝1.ekx0e法二：(数形联合法)：在同一坐标系下作出y＝lnx及曲线y＝lnx经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，应选C.1274．已知f(x)＝lnx，g(x)＝2x＋mx＋2(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1B．－3．－4D．－2C分析：选D∵′()＝1，x∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，127又因为y0＝2x0＋mx0＋2(m＜0)，解得m＝－2，应选D.325．(2018·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x－3x＋3上的随意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为()A.π5π2π0，2∪6，πB.3，π.0，π∪2π，πD.π，5πC2326分析：选C因为y′＝3x2－3≥－3，故切线斜率k≥－3，所以切线倾斜角α的π2π取值范围是0，2∪3，π.16．已知曲线y＝ex＋1，则曲线的切线斜率获得最小值时的直线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0－ex－1xx1x1分析：选Ay′＝ex＋12＝x1，因为e＞0，所以e＋ex≥2e×ex＝2(当e＋ex＋2x1x1y′＝－1≥－1且仅当e＝x，即x＝0时取等号)，则e＋x＋2≥4，故1(当x＝0时取eex4e＋ex＋21等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率获得最大值，此时切点的坐标为0，2，切线的方程为y11x－0)，即x＋4y－2＝0.应选.－＝－(24A二、填空题7．已知f()为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)xx处的切线方程是________．1分析：由题意，当x>0时，则－x<0，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，则f′(x)＝x－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线的斜率f′(1)＝－2，则切线方程为y－(－3)＝－2(x1)，即2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝08．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．11分析：∵y′＝xln2，∴k＝ln2，∴切线方程为y＝ln12(x－1)，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－1，ln2111∴所求三角形面积为S＝2×1×ln2＝2ln2.1答案：2ln29．(2017·东营一模)函数f(x)＝xlnx在点P(x，f(x))处的切线与直线x＋y＝0垂00直，则切点P(x，f(x))的坐标为________．00分析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1?ln

x0＋1＝1?ln

x0＝0?

x0＝1，f(x0)＝1·ln1＝0，P(1,0)．答案：(1,0)10．设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的随意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sinx上的一点处的切线l，使l⊥l，则m的取值范围是________．212分析：设曲线f(x)上随意一点A(x1，y1)，曲线g(x)上存在一点B(x2，y2)，f′(x)＝－x－1，′()＝－3cosx.egxm由题意可得f′(x)g′(x)＝－1，且f′(x)＝－ex－1∈(－∞，－1)，g′(x)＝m121123cosx2∈[m－3，m＋3]．曲线

因为过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的随意一点的切线为g(x)＝mx－3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，

l1，总存在过所以(0,1)?[m－3，m＋3]，所以

m－3≤0，且

m＋3≥1，解得－2≤m≤3.答案：[－2,3]三、解答题13211．已知函数f(x)＝x－2x＋3x(x∈R)的图象为曲线C.求过曲线C上随意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条互相垂直的切线，求此中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上随意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．设曲线C的此中一条切线的斜率为k，k≥－1，则由题意，及(1)可知，1≥－1，－k解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；π求函数f(x)在区间0，2上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′()＝ex(cosx－sinx)－1，′(0)＝0.xf又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设()＝ex(cosx－sinx)－1，hx则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.π当x∈0，2时，h′(x)＜0，π所以h(x)在区间0，2上单一递减．π所以对随意x∈0，2，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.π所以函数f(x)在区间0，2上单一递减．π所以f(x)在区间0，2上的最大值为f(0)＝1，ππ最小值为f2＝－2.2的图象在点2)处的切线为l，若l也与1．(2018·广东七校联考)已知函数y＝x(x0，x0函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，则x0必知足()11A．0<x0<2B.2<x0<12C.2<x0<2D.2<x0<31分析：选Dy＝lnx，x∈(0,1)的导数y′＝x>1，设切点为(t，lnt)，1则切线l的方程为y＝tx＋lnt－1，因为函数y＝x2的图象在点(x0，02)处的切线l的斜率为20，xx则切线方程为y＝2x20x－x0，因为l也与函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，2x10＝，则1＋ln22∈(1，＋∞)．则有tx0＝x0，x0x20＝1－lnt，令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，则清除A、B；2x2－1又因为g′(x)＝2x－x＝x>0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单一递加．又g(1)＝－ln2<0，g(2)＝1－ln22<0，g(3)＝2－ln23>0，进而2<x<3.02．函数y＝f(x)图象上不一样两点(1，1)，(2，y2)处的切线的斜率分别是kM，N，MxyNxk规定(，)＝|kM－kN|(||为线段的长度)叫做曲线y＝f(x)在点与点之间的“弯φMN|MN|MNMNMN曲度”．设曲线f(x)＝x3＋2上不一样两点(1，y1)，(2，y2)，且1x2＝1，则(，)的MxNxxφMN取值范围是________．分析：f′(x)＝3x2，设x1＋x2＝t(|t|>2)，22xx则φ(M，N)＝12x1－x22＋x13＋2－x23－2222|xx＝12x1－x22222[1＋x1＋x1x2＋x2]3|x－x|·|x＋x|＝|x1－x2|12121＋[x1＋x22－x1x2]23|x＋x|3|t|3＝122＝2＝.122221＋[x＋x－1]1＋t－1t2＋t2－222设g(x)＝x＋x，x>4，则g′(x)＝1－x2>0，所以g(x)在(4，＋∞)上单一递加，所以9g(x)>g(4)＝2.225所以t＋2－2>，t2310所以0<φ(M，N)<.5答案：3100，5高考研究课二函数单一性必考，导数工具离不了[全国卷5年命题剖析]考点考察频度考察角度函数单一性5年8考议论单一性及证明单一性问题函数单一性的判断[典例]设函数f(x)＝－a2lnx＋x2－ax(a∈R)．议论函数f(x)的单一性．22a22x2－ax－a2[解]由f(x)＝－alnx＋x－ax，可知f′(x)＝－x＋2x－a＝x＝2x＋ax－a(x>0)．x若a>0，则当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单一递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单一递加；若a＝0，则f′(x)＝2x>0在x∈(0，＋∞)内恒建立，函数

f(x)单一递加；a

a若a<0，则当

x∈

0，－2

时，f′(x)<0，函数

f(x)单一递减，当

x∈－2，＋∞时，f′(x)>0，函数f(x)单一递加．[方法技巧]导数法判断函数f(x)在(a，b)内单一性的步骤求f′(x)；确立f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．[提示]研究含参数函数的单一性时，需注意依照参数取值对不等式解集的影响进行分类议论．[即时操练]x1．(2017·芜湖一模)函数f(x)＝e－ex，x∈R的单一递加区间是()A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.()D.(1，＋∞)－∞，1分析：选D由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，应选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)议论函数f(x)＝x－2xxe的单一性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋2＋x＋2>0.解：f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．x－1x＋2ex－－2ex2exf′(x)＝2x＝x2x＋2x＋2≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单一递加．所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.利用导数研究函数单一性的应用函数的单一性是高考命题的要点，其应用是考察热门.,常有的命题角度有：1y＝fx与y＝f′x的图象辨别；比较大小；已知函数单一性求参数的取值范围；结构函数解不等式.角度一：y＝f(x)与y＝f′(x)的图象辨别1.已知函数f()＝ax3＋2＋cx＋，若函数f()的图象以下图，则必定有()xbxdxA．b>0，c>0B．b<0，c>0C．b>0，c<0D．b<0，c<0分析：选B由函数的图象与y轴的交点在原点的上方可知，d>0，′()＝32＋2bxfxax＋c，由函数的图象可知，函数f(x)有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f′(x)2＝0有两个大于0不一样的实根，且a>0，由根与系数的关系可得－3a>0，3a>0，则b<0，c>0.2.已知函数y＝f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()分析：选B由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小3．已知函数F(x)＝xf(x)，f(x)知足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，F′(x)<00.10.111建立，若a＝2·f(2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log22·flog22，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>a>bC．>>D．>>cbaacb分析：选C因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，则函数F(x)＝xf(x)是奇函数．因为当x∈(－∞，0]时，F′(x)<0建立，所以F(x)在(－∞，0]上是减函数，所以F(x)在R上是减函数，0.11因为2>1,0<ln2<1，log22＝－1<0，所以c>b>a.角度三：已知函数单一性求参数的取值范围4．(2018·宝鸡一检)已知函数f()＝x2＋4＋lnx，若函数f(x)在(1,2)上是单一函xxa数，则实数a的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－16)C．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)分析：选C∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，′()＝2xa2x2＋4x＋a＋4＋＝，fxxxf(x)在(1,2)上是单一函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1,2)上恒建立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1,2)上恒建立，即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1,2)上恒建立．记g(x)＝－(2x2＋4x)，1＜x＜2，则－16＜g(x)＜－6，∴a≥－6或a≤－16，应选C.5．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝－1x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不但一，2则t的取值范围是________．分析：由题意知f′()＝－x＋4－3＝－x－1x－3，由f′()＝0得函数f(x)xxxx的两个极值点为1和3，则只需这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不但一，t＜1，t＜3，?0＜t＜1或2＜t＜3.∴1∈(t，t＋1)或3∈(t，t＋1)?或t＋1＞1t＋1＞3答案：(0,1)∪(2,3)[方法技巧]由函数的单一性求参数的范围的方法(1)可导函数f(x)在D上单一递加(或递减)求参数范围问题，可转变成f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒建立问题，再参变分别，转变成求最值问题，要注意“＝”能否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单一区间，实质上就是f′()＞0(或′()＜0)在该区xfx间上存在解集，这样就把函数的单一性问题转变成不等式问题．若已知f(x)在区间I上的单一性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单一区间，令I是其单一区间的子集，进而可求出参数的取值范围．(4)若已知f(x)在D上不但一，则f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点．角度四：结构函数解不等式6．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(1)1f(x)－f′(x)>0，＝e，对随意实数都有则不等式f(x)<ex－2的解集为()A．(－∞，e)B．(1，＋∞)C．(1，e)D．(e，＋∞)分析：选B令(fxf′x－fx(fx)＝x－2，′()＝x－2<0，所以函数)＝x－2gxegxegxe是减函数，又g(1)＝1，所以不等式f(x)<ex－2的解集为(1，＋∞)．7．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′()，且有2(x)＋xfxf′(x)>x2，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－f(－1)<0的解集为________．分析：令g(x)＝x2f(x)，由2f(x)＋xf′(x)>x2(x<0)，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]<x3<0，故函数g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)上是减函数，故由不等式(x2018)2f(x＋2018)－f(－1)<0，可得－1<x＋2018<0，即－2019<x<－2018，所以不等式的解集为(－2019，－2018)．答案：(－2019，－2018)11．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－3sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单一递加，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－1，1D.－1，－133312分析：选C法一：取a＝－1，则f(x)＝x－3sin2x－sinx，f′(x)＝1－3cos2x－cosx，但f′(0)22A、＝1－－1＝－＜0，不具备在(－∞，＋∞)单一递加的条件，故清除33B、D.应选C.法二：函数f(x)＝1x＋asinx在(－∞，＋∞)单一递加，等价于′()＝1－sin2x3fx2cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋5≥0在(－∞，＋∞)恒建立．设cosx＝t，则g(t)3334g145＝－＋＋≥0，4t2＋at＋53a31＝－≥0在[－1,1]恒建立，所以4解得－3353g－1＝－3－a＋3≥0，1≤a≤3.应选

C.2．(2014·全国卷Ⅱ

)若函数

f(x)＝kx－ln

x在区间(1，＋∞)单一递加，则

k的取值范围是

(

)A．(－∞，－

2]

B．(－∞，－

1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)分析：选

D

因为

f(x)＝kx－ln

x，所以

1f′(x)＝k－x.因为

f(x)在区间(1，＋∞)上1

1单一递加，所以当x>1时，f′(x)＝k－x≥0恒建立，即k≥x在区间(1，＋∞)上恒建立．因为x>1，所以10<<1，所以k≥1.应选D.x3．(2017·全国卷Ⅰxx－a)－a2x.)已知函数f(x)＝e(e议论f(x)的单一性；若f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．2x①若a＝0，则f(x)＝e在(－∞，＋∞)上单一递加．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单一递减，在(lna，＋∞)上单一递加．a③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln－2.当x∈－∞，ln－a时，′()＜0；2fx当x∈lna－2，＋∞时，f′(x)＞0.故f(x)在－∞，lna－2上单一递减，a在ln－2，＋∞上单一递加．①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a＞0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)获得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna.进而当且仅当－a2lna≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.aa③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln－2时，f(x)获得最小值，最小值为fln－2＝23a23aa－ln－－ln－≥0，42.进而当且仅当a423即－2e4≤a＜0时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是3.－2e，14一、选择题1．已知函数f(x)＝lnx＋x2－3x(a∈R)，则函数f(x)的单一递加区间为()A.1B．(1，＋∞)－∞，211C.－∞，和(1，＋∞)D.0，22和(1，＋∞)2x2－3x＋111分析：选Df′(x)＝x(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝1，当0<x<2或x>1时，′()>0，所以f()的单一递加区间为0，1和(1，＋∞)．fxx22．(2018·成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′()的图象大概是()x分析：选A设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单一递加．1－x3．对于R上可导的随意函数f(x)，若知足f′x≤0，则必有()A．(0)＋(2)＞2f(1)B．f(0)＋(2)≤2(1)ffffC．f(0)＋f(2)＜2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)分析：选A当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单一递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单一递加，∴当x＝1时，函数f(x)获得极小值同时也获得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．4．已知函数f(x)＝xsin12－π，π12)x，x，x∈22，且f(x)＜f(x)，那么(A．x1－x2＞0B．x1＋x2＞02222C．x1－x2＞0D．x1－x2＜0分析：选D由f(x)＝xsinx得f′(x)＝sinx＋xcosx＝cosx(tanx＋x)，当x∈π时，f′(x)＞0，即f(x)在πf(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx，0，20，2上为增函数，又因此f(x)为偶函数，∴当f(x1)＜(x2)时，有f(|x1|)＜(|x2|)，∴|1|＜|x2x22|，1－2＜0，ffxx应选D.5．(2017·吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)知足：′()＞(x)恒建立，若x1fxf＜x，则exf(x)与exf(x)的大小关系为()21221A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．exf(x)与exf(x)的大小关系不确立1221分析：选A设g(x)＝fxf′xex－fxexf′x－fx，x，则g′(x)＝x2＝exee由题意知′()＞0，所以()单一递加，当x1＜x2时，(x1)＜(2)，即fx1＜fx2，gxgxggxex1ex2所以exf(x)＞exf(x)．12211216．(2018·九江模拟)已知函数f(x)＝2x＋2ax－lnx，若f(x)在区间3，2上是增函数，则实数a的取值范围为()44A.－∞，3B.3，＋∞C.－∞，－3D.32－，＋∞2分析：选Bf′()＝＋2a－1≥0在1，2上恒建立，xxx31即2a≥－x＋x在3，2上恒建立，8x＋xmax＝3，∵842a≥3，即a≥3.二、填空题7．设函数

1f(x)＝x(ex－1)－2x2，则函数

f(x)的单一增区间为

________．分析：因为

f(x)＝x(e

x12－1)－x，所以2

f′(x)＝e－1＋xe－x＝(e

x－1)(

x＋1)．令f′(x)>0，即(ex－1)·(x＋1)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x)的单一增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)8．已知函数f(x)＝xlnx－ax2－x.若函数f(x)在定义域上为减函数，则实数a的取值范围是________．分析：由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝lnx－2ax，因为函数f(x)在定义域上为减函数，lnx所以lnx－2ax≤0，即a≥2x在(0，＋∞)上恒建立，lnx1－lnx令g(x)＝2x，则g′(x)＝2x2，当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0，所以()max＝(e)＝1，gxg2e1所以a≥2e.1答案：，＋∞2e9．(2018·兰州诊疗)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单一递加区间，则实数a的取值范围是________．分析：∵f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a，x∵函数f(x)＝x2－e－ax在R上存在单一递加区间，∴′()＝2x－ex－≥0有解，即≤2－ex有解，fxaax设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x＜ln2时，′()＞0，(x)单一递加，gxg当x＞ln2时，g′(x)＜0，g(x)单一递减，∴当x＝ln2时，()获得最大值，且(x)max＝(ln2)＝2ln2－2，∴≤2ln2－2.gxgga答案：(－∞，2ln2－2]三、解答题210．已知函数f(x)＝x－x＋1－alnx，a＞0.议论f(x)的单一性．2ax2－ax＋2解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数′()＝1＋2－＝2.fxxxx设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的鉴别式＝a2－8.①当≤0，即0＜a≤22时，对全部x＞0都有f′(x)≥0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单一递加函数．②当＞0，即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不一样的实根x1＝a－a2－8，x2＝2a＋a2－8，0＜x1＜x2.2由f′(x)>0，得0<x<x1或x>x2.由f′(x)<0，得x1<x<x2.所以f(x)在a－a2－80，上单一递加，2在a－a2－8，a＋a2－8上单一递减，222在a＋a－8，＋∞上单一递加．211．(2018·武汉调研)已知函数f()＝ln.xxx(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；x2＋mx－3(2)若对随意x∈(0，＋∞)，f(x)≥2恒建立，务实数m的最大值．解：(1)由题意得g′()＝′()＋＝lnx＋＋1.xfxaa∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒建立．∴a≥－1－lnx.令h(x)＝－lnx－1，∴a≥h(x)max，当x∈[e2，＋∞)时，lnx∈[2，＋∞)，h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，即a的取值范围是[－3，＋∞)．∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xlnx＋x2＋3，又x＞0，∴≤2xlnx＋x2＋3在x∈(0，＋∞)上恒建立．mx2xlnx＋x2＋33记t(x)＝x＝2lnx＋x＋x.∴m≤t(x)min.23

x2＋2x－3

＋3

－1∵t′(x)＝x＋1－x2＝

x2

＝

x2

，令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单一递减；当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单一递加．∴t(x)min＝t(1)＝4.m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.1312．(2018·湖南十校联考)函数f(x)＝x＋|x－a|(x∈R，a∈R)．若函数f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在R上不但一时，记f(x)在[－1,1]上的最大值、最小值分别为()，Mam(a)，求M(a)－m(a)．13x＋x－a，x≥a，解：由已知得，f(x)＝13x－x＋a，x<a，令g(x)＝1x3＋x－a，则g′(x)＝x2＋1>0，3所以

g(x)在[a，＋∞)上为增函数．13

2令h(x)＝3x－x＋a，则h′(x)＝x－1.令h′(x)＝0，得x＝±1，所以h(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．(1)因为f(x)在R上是增函数，所以(x)在(－∞，a)上为增函数，所以≤－1.ha故a的取值范围为(－∞，－1]．因为函数f(x)在R上不但一，所以a>－1.当－1<a<1时，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数，a3所以m(a)＝3，()＝max{(－1)，(1)}24＝maxa＋，－a.Mahg334214当－a≥a＋，即－1<a≤时，M(a)＝－a，333313M(a)－m(a)＝－3(a＋3a－4)；4212当3－a<a＋3，即3<a<1时，M(a)＝a＋3，13M(a)－m(a)＝－3(a－3a－2)．当a≥1时，f(x)在[－1,1]上是减函数，所以m(a)＝h(1)＝a－2，M(a)＝h(－1)＝a＋2.334故M(a)－m(a)＝3.－1a3－413＋3，－1<≤，aa3综上，()－()＝－1a3－3a－2，1<a<1，Mama334a≥1.31．已知函数f(x)＝lnx＋(e－)x－，此中e为自然对数的底数．若不等式f()≤0abxb恒建立，则a的最小值为________．分析：∵函数f(x)＝lnx＋(e－)－，此中e为自然对数的底数，axb1∴f′(x)＝x＋e－a(x＞0)，当a≤e时，f′(x)＞0恒建立，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)≤0不行能恒成立，当a＞e时，由1＝0，得x＝1′()＝＋e－，fxxaa－e1当x∈0，a－e时，f′(x)＞0，f(x)单一递加，1当x∈a－e，＋∞时，f′(x)＜0，f(x)单一递减，1∴当x＝a－e时，f(x)取最大值，∵不等式f(x)≤0恒建立，1fa－e＝－ln(a－e)－b－1≤0，b≥－1－ln(a－e)，∴b≥－1－lna－e(＞e)，aaa1－lnx－e令F(x)＝(x＞e)，x1x－ex＋1＋lnx－e则F′(x)＝x2x－elnx－e－e＝x－ex2，令H(x)＝(x－e)ln(x－e)－e，则H′(x)＝ln(x－e)＋1，1由H′(x)＝0，得x＝e＋e，1当x∈e＋e，＋∞时，H′(x)＞0，H(x)是增函数，1x∈e，e＋e时，H′(x)＜0，H(x)是减函数，∴当x1)取最小值H11＝e＋时，(e＋＝－e－，eeex→e时，H(x)→0，x＞2e时，H(x)＞0，H(2e)＝0，∴当x∈(e,2e)时，F′(x)＜0，F(x)是减函数，当x∈(2e，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)是增函数，1∴x＝2e时，F(x)取最小值，F(2e)＝－e，b1∴a的最小值为－e.答案：－

1e2．已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax(a∈R)．当a＝－1时，求函数y＝f(x)的极值；议论函数y＝f(x)的单一性．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(x－1)－x(x>1)，2－x则f′(x)＝x－1－1＝x－1.由f′(x)<0，得x>2；由f′(x)>0，得1<x<2，所以f(x)极大值＝f(2)＝－2，无极小值．函数f(x)的定义域为(－a，＋∞)，ax＋a2＋1f′(x)＝x＋a.①当a≥0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－a，＋∞)上为增函数．11②当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a－a>－a，当f′(x)>0时，解得－a<x<－a－a，11函数f(x)在－a，－a－a上为单一递加函数；当f′(x)<0时，解得x>－a－a，函数f(x)1在－a－a，＋∞上为单一递减函数．综上所述，当

a≥0时，函数

f(x)在(－a，＋∞)上单一递加；当

a<0时，函数

f(x)在1

1－a，－a－a

上单一递加，在

－a－a，＋∞上单一递减．高考研究课

(三)极值、最值两考点，利用导数巧推演[全国卷5年命题剖析]考点考察频度考察角度极值5年6考求极值、由极值求参数最值5年5考求最值、证明最值的存在性运用导数解决函数的极值问题函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.常有的命题角度有：知图判断函数极值；已知函数求极值；已知极值求参数值或范围.角度一：知图判断函数极值1.(2018·赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为′()，若函数y＝fx(1－x)f′(x)的图象以下图，则以下结论中必定建立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数

f(x)有极大值

f(2)

和极小值

f(－2)D．函数

f(x)有极大值

f(－2)和极小值

f(2)分析：选D由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，′()＞0.由此可得函数f()在x＝－2处获得极大值，在x＝2处获得极小值．应选D.fxx角度二：已知函数求极值a2．已知函数f(x)＝x－1＋ex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；求函数f(x)的极值．aa解：(1)由f(x)＝x－1＋ex，得f′(x)＝1－ex.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，a得f′(1)＝0，即1－e＝0，解得a＝e.af′(x)＝1－x，e①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a＞0时，令′()＝0，得ex＝，即x＝ln．当x∈(－∞，ln)时，′()fxaaafx＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，lna)上单一递减，在(lna，＋∞)上单一递加，故f(x)在x＝lna处获得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝lna处获得极小值lna，无极大值．角度三：已知极值求参数值或范围123．设函数f(x)＝lnx－2ax－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是()A．(－1,0)B．(－1，＋∞)C．(0,1)D．(1，＋∞)1分析：选Bf′(x)＝x－ax－b(x>0)，因为x＝1是f(x)的极大值点，所以f′(1)＝1－a－b＝0，即b＝1－a，1

1－x

ax＋1则f′(x)＝x－ax－1＋a＝

x

(x>0)，当a<0时，因为

x＝1是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0,1)11，－a，＋∞上是增函数，在1，－a上是减函数，1则－a>1，即－1<a<0；1当a＝0时，f′(x)＝x－1，f(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以x＝1是f(x)的极大值点；当a>0时，f(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以x＝1是f(x)的极大值点．综上，a的取值范围是(－1，＋∞)．4．(2018·江西八校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()1A．(－∞，0)B.0，C．(0,1)D．(0，＋∞)分析：选B∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，故f′()在(0，＋∞)上有两个不一样的零点，x令flnx＋1′()＝0，则2＝，xaxlnx＋1－lnx设g(x)＝x，则g′(x)＝x2，g(x)在(0,1)上单一递加，在(1，＋∞)上单一递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0＜2a＜1，1即0＜a＜2.[方法技巧]利用导数研究函数极值的一般流程运用导数解决函数的最值问题[典例](2018·日照模拟)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单一区间；(2)当k∈1，1时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.2[解](1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由表可知，函数f()的递减区间为(0，ln2)，递加区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．x(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)，1∵2＜k≤1，∴1＜2k≤2，由(1)可知f(x)在(0，ln2k)上单一递减，在(ln2k，＋∞)上单一递加．1设g(x)＝x－ln2x2＜x≤1，1则g′(x)＝1－x，∵1＜x≤1，∴1≤1＜2，∴－1＜1－1≤0，2xx∴g(x)＝x－ln2x在12，1上单一递减，1∵2＜x≤1，g(x)＞g(1)＝1－ln2＞0，k－ln2k＞0，即k＞ln2k，f(x)在(0，ln2k)上单一递减，在(ln2k，k)上单一递加，f(x)在[0，k]上的最大值应在端点处获得．而f(0)＝－1，f(k)＝(k－1)ek－k3，下边比较f(0)与f(k)的大小．令h(k)＝f(k)－f(0)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，再令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0，1∴φ(k)在2，1上递减，13而φ2·φ(1)＝e－2(e－3)＜0，∴存在0∈1(0)＝0，且当1)＞0，当∈(0,1)时，()xkkxk2φx2φkφ＜0，∴h(k)在1，x0上单一递加，在(x0,1)上单一递减．2117又h2＝－2e＋8＞0，h(1)＝0.∴()≥0在1上恒建立，当且仅当k＝1时取“＝”．综上，函数f(x)在[0，]，1hk2k上的最大值M＝(k－1)ek－k3.[方法技巧]求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时操练]13221．若函数f(x)＝3x＋x－3在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)分析：选C由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)13222上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象以下图，令3x＋x－3＝－3得，x＝0或x＝－3，则联合图象可知－3≤a＜0，，应选C.解得a∈[－3,0)a＋5＞0，2．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．(1)若f(x)是(0，＋∞)上的单一递加函数，务实数a的取值范围；1当a∈0，2时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．解：(1)f′()＝2ex＋(2x－4)ex＋2(x＋2)＝(2x－2)ex＋2(x＋2)，依题意，当x>0xaa时，函数f′(x)≥0恒建立，即a≥－x－xx－1ex1e恒建立，记g(x)＝－，x＋2x＋2xexx＋2－x－1