2022-2023学年上学期甘肃省八年级数学期末试题选编第12章 全等三角形 同步练习 （3份打包 含解析）

第第页2022-2023学年上学期甘肃省八年级数学期末试题选编第12章全等三角形同步练习（3份打包含解析）12.1全等三角形

一、单选题

1．（2022秋·甘肃定西·八年级期末）下列四组图形中，是全等形的一组是（）

A．B．

C．D．

2．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，，则等于（）

A．3B．C．4D．

3．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图所示，的度数是（）

A．44°B．55°C．66°D．77°

4．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，已知，，，不正确的等式是（）

A．B．C．D．

5．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）如图，，其中∠A＝37°，，则∠B＝（）

A．60°B．100°C．120°D．135°

6．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，△ABC≌△ADE，下列说法错误的是（）

A．BC=DEB．AB⊥DEC．∠CAE=∠BADD．∠B=∠D

7．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积，其中水域面积，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（）

A．B．C．D．

8．（2022秋·甘肃陇南·八年级期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（）

A．B．C．D．

9．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）如图，已知，线段与交于点O，则下面的结论中不正确的是（）

A．B．C．D．

10．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，点、、、在同一直线上，，，，则等于（）

A．5B．6C．6.5D．7

11．（2022秋·甘肃陇南·八年级期末）如图1，在中，，．若，，则的度数为（）

A．18°B．30°C．32°D．38°

12．（2022秋·甘肃定西·八年级期末）已知图中的两个三角形全等，则∠等于（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，，∠B=35°，∠BAM=25°，则∠ANB=．

14．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，ABE≌DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝cm，∠C＝°．

15．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=度．

16．（2022秋·甘肃定西·八年级期末）已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图1，连接，图中有1对全等三角形；如图2，连接，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有对全等三角形．

17．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，AB＝8，则AD+BD＝．

18．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，∠DAC＝20°，则∠BAD＝

参考答案：

1．C

【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可．

【详解】因为A中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以A选项不合题意；

因为B中的两个图形形状相同，但是大小不同，不能够重合，所以B选项不合题意；

因为C中的两个图形形状相同，大小不同，能够重合，所以C选项符合题意；

因为D中的两个图形形状不同，不能够重合，所以D选项不合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．能完全重合的两个图形叫做全等图形．

2．A

【分析】根据全等三角形对应边相等，得，然后求出的长度，代入数据计算即可．

【详解】解：，，

，

即，

，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

3．B

【分析】根据全等三角形的性质解答即可．

【详解】在中，

∴∠CAB=180°-30°-95°=55°，

∵，

∴∠EAD=∠CAB=55°，

故选B．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应角相等找到角度之间的关系．

4．D

【分析】由知，进而得到结果．

【详解】解：∵

∴

故选项A、B、C正确，不符合要求；

排除法可知，选项D错误，符合要求；

故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于熟练把握全等三角形的性质．

5．C

【分析】先利用全等三角形的性质证明再利用三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：，

故选C

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键.

6．B

【分析】根据三角形全等的性质一一判断即可．

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，

∴BC=DE，∠CAB=∠EAD，∠B=∠D，

故选项A、D正确，不符合题意；

∵∠CAB=∠EAD，

∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，

即∠CAE=∠BAD，故选项C正确，不符合题意；

不能证明AB⊥DE，故选项B错误，符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

7．B

【分析】根据全等三角形的性质求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段的长度即可，

故选B．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．

8．B

【分析】的对应角为，根据三角形的内角和计算出的度数即可得到的度数．

【详解】解：如图，

由三角形内角和定理得到，

图中的两个三角形全等，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形全等的性质，解决本题的关键是找到的对应角．

9．C

【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，判断选项A、B、D，再根据角的数量关系，即可判断选项C．

【详解】解：∵，

∴，，，故选项A、B、D正确；

∴，

∵，

∴，故选项C不正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解本题的关键在准确找出对应边和对应角．

10．D

【分析】根据全等三角形对应边相等AC＝DF，得AF＝DC，然后求出DC的长度，再根据AC＝AD＋DC，代入数据计算即可．

【详解】解：∵△ABC≌△DEF，

∴AC＝FD即CD＋AD＝AF＋AD，

∴AF＝DC，

∵AD＝4，CF＝10，

∴DC＝（CFAD）＝（104）＝3，

∴AC＝AD＋DC＝4＋3＝7．

故选：D．

【点睛】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

11．D

【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后可得答案．

【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°80°30°＝70°，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE＝70°，

∴∠EAC＝∠DAE∠DAC＝70°32°＝38°，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

12．D

【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．

【详解】图中的两个三角形全等，为和的夹角

又第一个三角形中和的夹角为

故选：D．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．

13．60°/60度

【分析】根据可知，，根据计算求解即可．

【详解】解：∵

∴，

∴

∴

∴

故答案为：60°．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．

14．248

【分析】根据全等三角形的性质即可求得结果．

【详解】∵ABE≌DCE

∴DE=AE=2cm，∠C=∠B=48°

故答案为：2，48

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键．

15．120

【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.

【详解】∵，

∴∠C=∠C′=24°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，

∴∠B=120°，

故答案为：120.

【点睛】此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.

16．2047276

【分析】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，

图中有对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有对全等三角形；由

此得到规律即可计算出结果．

【详解】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，

图中有对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有对全等三角形；由

此得到规律，除点A外，当有2023个点时，

图中有对全等三角形．

故答案为：．

【点睛】本题考查了图形中的规律探索，正确找到规律是解题的关键．

17．12

【分析】由全等三角形的性质可得△ABD的周长为20，从而可求解．

【详解】解：∵△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，

∴△ABD的周长为20，

∵AB＝8，

∴AD＋BD＝20AB＝12．

故答案为：12．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用．

18．40°

【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠DAE，再列式∠BAD＝∠BAC∠DAC求解即可．

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，

∴∠BAC＝∠DAE＝60°，

∵∠BAD＝∠BAC∠DAC，

∴∠BAD＝40°

故答案为：40°

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．12.2三角形全等的判定

一、单选题

1．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如下图，在和中，，，则能说明≌的依据是()

A．SSSB．ASAC．AASD．SAS

2．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，已知．能直接判断的方法是（）

A．B．C．D．

3．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）．

A．150°B．180°C．210°D．225°

4．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（）

A．120°B．118°C．110°D．108°

5．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（）

A．B．C．D．

6．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，已知,,则的根据是（）

A．B．C．D．

7．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，，，那么的依据是（）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

8．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）如图，，要使，还需添加一个条件，那么在以下条件中不能选择的是（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，此时洲得DE=13米．则AB的长为．

10．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，、是的高线，与相交于点F．若．且的面积为6，则的长度为．

11．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．若AD=3cm，BE=1cm，则DE=．

12．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，与交于点，．利用我们所学判断两三个角形全等的方法，添加一个条件，使．

13．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，已知∠1=∠2，要根据ASA，判定△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件为．

三、解答题

14．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

15．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，，．求证：．

16．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，求证：．

17．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使m，并测得，然后把竖直的竿子（m）在的延长线上移动，使，此时量得m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？

18．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：∠B=∠E.

19．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC=BD，AE∥DF，∠1=∠2；求证：BE=CF

20．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，

（1）求证：△ABD≌△CFD；

（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．

21．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图（1）在中，∠ACB＝，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

(1)求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE有怎样的关系？并加以证明．

22．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）已知：如图所示，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠ACB=∠F，AC=DF．求证：BE=CF．

23．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC=DE

24．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．

(1)求证：AB＝FE；

(2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数．

25．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，，、在线段上，，．求证．

26．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．

27．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，，都是等边三角形，BE，CD相交于点O．

（1）求证：；（2）求的度数．

参考答案：

1．A

【分析】根据全等三角形的判定定理结合题意可直接得出答案．

【详解】解：∵，，AD＝AD，

∴≌（SSS），

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

2．A

【分析】根据三角形全等的判定定理解答.

【详解】在△ABC和△DCB中，

,

∴(SAS),

故选：A.

【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.

3．B

【分析】根据SAS可证得≌，可得出，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解.

【详解】解：由题意得：，，，

≌，

，

．

故选B．

【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．.

4．D

【分析】由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，

∴AB=BC，∠ABM=∠C，

在△ABM和△BCN中

，

∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM+∠ABP=∠APN，

∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=

∴∠APN的度数为108°；

故选：D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

5．A

【分析】利用可证得，那么．

【详解】解：由作图知，

∴，

∴，所以利用的条件为，

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．

6．B

【分析】已知,，加上，满足两条边及两条边的夹角对应相等，符合判定定理．

【详解】解：在和中，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

7．C

【分析】由条件结合BC＝CB可判定三角形全等．

【详解】解：∵，，且BC＝CB，

∴在△ABC和△DCB中，满足AAS全等，

故选：C．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

8．B

【分析】由∠1=∠2，可得∠BAC=∠EAD，又AC=AD，可知在△ABC和△AED中，已知一角及其临边对应相等，要证两三角形全等，任意再找一对角对应相等，或者找已知角的另一边对应相等，由此可得答案．

【详解】解：∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠EAD，

当AB=AE时，根据SAS可得；

当时，根据ASA可得；

当时，根据AAS可得；

当BC=ED时，SSA不能判定两个三角形全等，

故答案为：B

【点睛】本题考查三角形全等的判定，角的和差是常考的判定已知角相等的方法，熟知三角形全等的判定定理是解题的关键．

9．13米

【分析】根据条件可证，进而可知．

【详解】解：在和中，

∴（ASA），

∴，

故答案为：13米．

【点睛】本题考查全等三角形的实际应用，能够熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．

10．1

【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．

【详解】解：，是的高线，

，

，

，

在和中，

，

，

，

的面积为6，

，

，

，

，

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

11．2cm

【分析】易证∠CAD=∠BCE，即可证明BEC≌△DAC，可得CD=BE，CE=AD，根据DE=CE-CD，即可解题．

【详解】解：∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠DCA=90°．

∵AD⊥CE，

∴∠DAC+∠DCA=90°．

∴∠BCE=∠DAC，

在△BEC和△DAC中，

∵∠BCE=∠DAC，∠BEC=∠CDA=90°．BC=AC，

∴△BEC≌△DAC（AAS），

∴CE=AD=3cm，CD=BE=1cm，

DE=CE-CD=3-1=2cm．

故答案是：2cm．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键．

12．（答案不唯一）

【分析】根据已知条件可知，，添加一组边相等即为，结合证明≌；添加一组角相等即为，结合证明≌，或，结合证明≌．

【详解】当时，

在和中，

，

∴≌；

当时，

在和中，

，

∴≌；

当时，

在和中，

，

∴≌．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活的选择判定定理是解题的关键．

13．∠BAD=∠CAD

【分析】添加∠BAD=∠CAD，再加上∠1=∠2和公共边AD=AD可利用ASA可判定△ABD≌△ACD．

【详解】解：添加∠BAD=∠CAD，

∵在△ADB和△ADC中，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

故答案为：∠BAD=∠CAD

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．证明见解析．

【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；

【详解】证明：∵AD=BC，

∴AC=BD，

在△ACE和△BDF中，

，

∴△ACE≌△BDF（SSS）

∴∠A=∠B，

∴AE∥BF；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS证明△ACE≌△BDF．

15．见解析

【分析】根据判定，然后根据全等三角形的性质求解即可．

【详解】证明：在和中，

，

，

．

【点睛】本题考查三角形全等判定和性质，解题关键是掌握证明三角形全等．

16．见详解

【分析】先推出，再根据证明，进而即可得到结论．

【详解】证明：∵，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等是关键．

17．路灯的高度是8.2米．

【分析】根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解.

【详解】解：，，，

∴.

在和中

，

∴.

，

∴，，

∴（m）.

答：路灯的高度是8.2米.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定性质是解答关键.

18．见解析

【分析】先证出BC=EF，∠ACB=∠DFE，再证明△ACB≌△DFE，得出对应角相等即可．

【详解】证明：∵BF=CE，

∴BC=EF，

∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE，

在△ACB和△DFE中，

,

∴△ACB≌△DFE（SAS），

∴∠B=∠E．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证出三角形全等是解题的关键．

19．见解析

【分析】根据线段和差关系先证明AB=DC，根据平行线的性质证明∠A=∠D，根据ASA即可证明△ABE≌△DCF，进而即可得证．

【详解】证明：∵AC=AB+BC，BD=BC+CD，AC=BD，

∴AB=DC，

∵AE∥DF，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴BE=CF．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABE≌△DCF是解题的关键．

20．（1）证明见解析；（2）3．

【分析】（1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD；

（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．

【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，

∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，

∴∠BAD=∠ECD，

在△ABD和CFD中，

，

∴△ABD≌△CFD（AAS），

（2）∵△ABD≌△CFD，

∴BD=DF，

∵BC=7，AD=DC=5，

∴BD=BC﹣CD=2，

∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等.

21．(1)①见解析；②见解析

(2)DE=AD-BE，证明见解析

【分析】（1）由∠ACB=，得∠ACD+∠BCE=，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．

（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．

【详解】（1）证明：①∵∠ACB=，

∴∠ACD+∠BCE=，

又AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=，∠BCE+∠CBE=，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

②由①知△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）解：DE=AD-BE．

理由：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=，

∴∠ACD+∠BCE=，∠BCE+∠CBE=，

∴∠ACD=∠CBE．

∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，BE=CD，

∴DE=CE-CD=AD-BE．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识，证明△ADC≌△CEB是解题的关键．

22．见解析

【分析】利用AAS证明△ABC≌△DEF即可得到BE=CF．

【详解】证明：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

23．见解析

【分析】先证∠BAC＝∠DAE，再证△ABC≌△ADE（ASA），即可得出结论．

【详解】证明：∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴BC＝DE．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)120°

【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明；

（2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出．

【详解】（1）证明：∵为的角平分线，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，即，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键，

25．证明见解析

【分析】根据线段和证明，然后根据证明，得出对应边相等．

【详解】证明：∵，

∴，即，

∵，

∴与都为直角三角形，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．

26．（1）证明见解析；（2），证明见解析

【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；

（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；

【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：

∵BD⊥，CE⊥，

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（2），理由如下：

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．

27．（1）见解析；（2）120°．

【分析】（1）由条件可证明△ADC≌△ABE，可证得BE=DC；

（2）由（1）可得出∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，最后求出的度数．

【详解】（1）证明：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴BE=DC；

（2）由（1）可得出∠ADC=∠ABE，

∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE

=180°-∠ODB-60°-∠ADC

=120°-（∠ODB+∠ADC）

=120°-60°=60°，

∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．12.3角的平分线的性质

一、单选题

1．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（）．

A．B．C．D．

2．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（）

A．B．C．D．

3．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）

A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥6

4．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长为（）

A．4cmB．6cmC．10cmD．不能确定

5．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．①②④B．①②③④C．②③④D．①③

6．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（）

A．4B．6C．8D．10

7．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）

A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处

8．（2022秋·甘肃酒泉·八年级期末）下列四个命题中，假命题是（）

A．“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理B．等边三角形是锐角三角形

C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．真命题的逆命题是真命题

9．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（）

A．9B．6C．3D．4.5

10．（2022秋·甘肃陇南·八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，则AC长是()

A．4B．5C．6D．7

二、填空题

11．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，，，垂足分别为、，、相交于点，且平分，，则．

12．（2022秋·甘肃张掖·八年级期末）如图，在△ABC中，，AB＝10cm，AD平分∠BAC，若CD＝3cm，则△ABD的面积为．

13．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线相交于一点．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知点P到边的AB距离为2，△ABC的周长为15，则△ABC的面积为．

14．（2022秋·甘肃白银·八年级统考期末）如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，BD＝2cm，则DE＝cm．

15．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，已知AD=4，则D到BC边的距离为．

16．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．

17．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为．

三、解答题

18．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）

19．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，已知∠AOB，直线MNOA．请根据以下步骤完成作图过程．

(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA，OB于点P、Q；

②以P，Q为圆心，大于PO长为半径画弧，交于一点K，连接OK，交MN于点L．

(2)直接写出∠BOL和∠AOL的数量关系．

20．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在中，平分，于点E，点F在上，．

(1)求证：．

(2)若，求的长．

21．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC：

（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．

22．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，已知在ABC中，BD是∠ABC的角平分线，，，求∠DBC的度数．

23．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，已知∠AOB和点C，D．

求作：点P，使得点P到∠AOB两边的距离相等，且PC＝PD．（要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹）

参考答案：

1．C

【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．

【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，

的三边，，长分别是20，30，40，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．

2．A

【分析】根据角平分线的性质进行求解即可．

【详解】解：∵，，平分，，

∴，

故选A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

3．D

【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解．

【详解】解：过P点作PH⊥AB于H，如图，

∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB，

∴PH＝PD＝6，

∵点E是边AB上一动点，

∴PE≥6．

故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的性质及点到直线的距离中，垂线段最短，理解题意是解题的关键．

4．C

【分析】根据角平分线定义和性质得出∠EAD=∠CAD，CD=DE，根据全等三角形的判定得出△DCA≌△DEA，根据全等三角形的性质得出AE=AC，求出AE=BC，再求出△DEB的周长=AB即可．

【详解】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED=90°，CD=DE，

在△DCA和△DEA中，

，

∴△DCA≌△DEA(AAS)，

∴AE=AC，

∵AC=BC，

∴AE=AC=BC，

∵AB=10cm，

∴△DEB的周长为BD+DE+BE

=BD+CD+BE

=BC+BE

=AE+BE

=AB

=10cm，

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，能求出CD=DE和AE=AC是解此题的关键．

5．A

【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．

【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，

∴BE=EF，AE=AE，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)

∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；

而点E是BC的中点，

∴EC＝EF＝BE，所以③错误；

∵EC＝EF，ED=ED，

∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，

∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；

∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；

∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，

综上：①②④正确，

故选A

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．

6．A

【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．

【详解】解：∵BC=10，CD=6，

∴BD=4．

∵∠B=90°，AD平分∠BAC．

由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．

故选：A．

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AC的距离即为BD长是解决问题的关键．

7．B

【分析】利用角平分线性质定理即可得出答案．

【详解】角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．

又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以应建在三个内,外角平分线的交点上．

故选B.

考点：角平分线的性质

8．D

【分析】利用互逆命题的定义、等边三角形的定义、角平分线的性质及逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：选项A、“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理，正确，是真命题，不符合题意；

B、等边三角形三个角都是60°，是锐角三角形，正确，是真命题，不符合题意；

C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；

D、真命题的逆命题不一定是真命题，比如对顶角相等，它的逆命题是：相等的角是对顶角，这显然是错误的，故选项D错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解互逆命题的定义、等边三角形的定义、角平分线的性质及逆命题的定义等知识，难度不大．

9．C

【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．

【详解】解：过点C作CN⊥OA，

∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，

∴S△COM=，

∴，

∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，

∴CN=CM=3．

故选C．

【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．

10．A

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．

【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF=3，

∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴，

∴AC=4．

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

11．2

【分析】根据角平分线的性质定理即可知．

【详解】解：∵，，

∴，．

∵平分，

∴．

故答案为：2．

【点睛】本题考查角平分线的性质定理．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．

12．15

【分析】过D点作DE⊥AB于E，由题意易得DE＝DC＝3，然后问题可求解．

【详解】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，

∵，

∴DC⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC＝3，

∴S△ABD＝×10×3＝15．

故答案为：15．

【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．

13．15

【分析】连接PA、PB、PC，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线的性质得