数理金融练习题

一、选择.假设债券A（0）=100元；A（1）=110元，股票S（0）=80元，S（1）=[600,上涨和下跌概率分别为和。假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，那么该资产组合收益的数学期望E（KV）为（D）。A、 B、 C、 D、2.下面关于贝塔因子（B）的描述，说法正确的是（A）A.、若某股票的B>1,则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B、若某股票的B<0,则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C、若某股票的0<B<1,则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D、若某股票的B<0,则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3.两风险资产的对应权重为（3.两风险资产的对应权重为（3,3），风险分别为92,02）,相关系数为P,则其1212组合的风险可表示为（D）。A、0A、02=032+032+233P00v11 22 121212B、02=302+302+233Pov11 22 121212C、OC、O2=3202+3202+23300v1 1 2 2 1212D、02=3202+3202+233P00v1 1 2 2 1212124.投资两个风险证券，下列资产组合线4.投资两个风险证券，下列资产组合线（粗黑色表示不允许卖空）错误的是(A)。A①②③B②③④C①③④DA①②③B②③④C①③④D①②④P=—0.8PP=0.5.投资两个风险证券，下列资产组合线（粗黑色表示不允许卖空）正确的是（B）p=-0.5P二—1(4)A、(1)(2)(3)B、(1)(3)(4)C、(1)(2)(4)D、(2)(3).本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值（V1）与连续复合的AV1>V2BV1WV2CV1=V2DV1<V2AV1>V2BV1WV2CV1=V2DV1<V2终值（V2）满足（C）ApAp=CoVK,，JV OMBP=C0V(A，，KMV O27、给定资产组合或单个证券（收益率用K表示）的贝塔因子P,下列表达式正确的是（B）),),8、设无风险利率为，市场证券组合的期望回报率为，则市场风险溢价为（一个贝塔系数为的投资所要求的回报率为(D)。A、 B、C、 D、9、若某投资者是希望财富越多越好且对风险持厌恶态度，用U(W)表示该投资者对财富W的效用函数，则下列说法正确的是(C)。U(U(W)>0,U-(W)>0U'(W)>0,U''(W)>0C.U'(W)>0,U"(W)<0 D.U'(W)<0,U"(W)>010、考虑效用函数U(W)=be-aw,a和b是常数。假定投资者的偏好是越多越好，并且厌恶风险，a和b的符号是(C)A.a<0,b>0B.a>0,b>0C.a>0,b<0D.a<0,b<011、在单因素模型中，单个资产或组合的总风险及非系统风险分别记为。2,02,iei系统风险记为匕，市场组合的系统风险记为B则下列式子正确的是(C)M,TOC\o"1-5"\h\z0 O2 =002+O2 R O2= 0o2 +O2A. i iMei B・i MM eio2 =0202+o2 n o2= 02o2 +O2C. i iMei D.i MM ei12、假设U某个体的效用函数且二阶连续可导，则下列说法正确的是(B)A.个体风险厌恶等价于U">0 B.个体风险喜好等价于Un>0C.个体风险厌恶等价于U”=。 D.个体风险喜好等价于Un<014、日元对美元的即期汇率是120日元兑1美元，一年期的期货价格是115日元兑1美元。假设利率平价成立，如果日本一年期利率为4%,那么美国的一年期利率应是(B)A.5% B.% C.% D.%二、填空1、权重为匕,吗的两种资产的收益率分别为K1,K/那么它们的组合收益率为wK+wK 02、写出证券市场线的方程：―H「r,+PJHo3、已知u=0.2,d=-0.1,r=0.1,则风险中性概率P*为2/3o4、I已知2%,r=7%,设证券A的BetaB系数4。产2，则证券AM F A A的期望收益为14%o5、在完备市场中，期望收益和同期无风险利率分别用 表示，M表示市场组合，则资本市场线的方程是6、一个公司的股票刚刚支付了元的股利，并预期直到无穷期的股利增长率是10%。如果投资者的预期收益率是14%,股票的现价应该是 13.75o8、已知市场组合某时段的期望收益率和标准差分别是10%和28%,同期无风险利率为3%,则该时段的风险价格为25%o11、设第t年的远期利率为f1ft年期的即期利率为st,则远期利率和即期利率之间的关系式满足(1+StJ-1(1+f,)=(1+S^)t三、计算2、设在二叉树模型中，股票的初始价格为S(0)=120美元，u=,d=,r=.施权价X=120美元，在时间2到期。假设在时间2支付红利14美元。求相应欧式看涨期和权美式看涨期权的价格。依题意得，风险中性概率为p*二片=2 (2分)根据股票价格的二叉树模型得股票的价格S(n)在时间0,1,2分别为:S(n)120S(n)120（4分）相应地，美式看涨期权在时间0,1,2的价值分别为:相应地，美式看涨期权在时间0,1,2的价值分别为:在时间1,期权的持有者可以选择立刻施权或者等到时间2。在价格为su时,立刻施权的回报为24,而不施权选择等待（按照欧式期权计算）的价值也为,故CA=24。 （13 分）u

类似地，在价格为S类似地，在价格为S时，立刻施权的回报为0,而不施权选择等待（按照TOC\o"1-5"\h\z欧式期权计算）的价值为也为0，故CA=0. （16分）仿此方法,可知若在时间0立刻施权,其回报为0，而不施权选择等待（按欧式期权计算）的价值为_1xf2x24+1x0^1455美元。 （19分）X（X4什十人））〜什.JJ1.1 3 3故Ca（0）=14.55美元。 （20 分）3、假设资产的收益由下面的双因素模型描述:R=a+b./+b,I+£,假设观察到以下三个组合:组合期望收益（%）b.1bi2A1B3C3（1）求出描述均衡收益的平面的方程。（2）利用（1）的结果，说明如果有一个组合D具有下列观察到的性质，就存在套利机会：RD=15% b：2 b（2）利用（1）的结果，说明如果有一个组合D具有下列观察到的性质，就存在套利机会：RD=15% b：2 bD2=1解：（1）依题意可得：012=a+31+0.51<0,134=a+31+0.21 5分0.12=a+31—0.51,V 1 2解得：a=0.1,I]=0.01,12=0.02. 3分所以均衡收益的平面方程为：E(R)=0.1+0.01b.1+0.02b厂 2分(2)若组合D满足均衡收益的平面方程，则理论预期收益为E(RD)=0.1+0.01x2+0.02x1=0.14, 2分而观测到的期望收益为15%,高于理论预期，说明价格被低估了，可以买进该股票。4、假设下列资产是按照证券市场线准确定价的。请推导出证券市场线的方程；并求贝塔为2时资产的期望收益率是多少R=6%,B广0-5以及R广12%,%=1.5解：依题意可设证券市场线的方程为E(R)=Rf+Bi(E(RM-Rf)),将已知信息代入得0.06=R+0.5(E(R)—R)0.12=Rf+1.5(E(RM)-R)解得Rf=0.03,E(RM)-Rf=0.06.故证券市场线的方程为E(R)=0.03+0.06B..将B=2代入上式可得E(R)=0.03+0.06x2=0.15.四、分析题1、在含有多个风险证券及无风险证券的市场中，投资者采用马科维兹模型进行决策，请问风险厌恶型投资者如何根据效用函数确定最优投资组合首先，在o-R坐标系中，根据马科维兹资产组合理论，确定含多个风险证券的有效边界C，实为双曲线右半支的上半部分，然后过无风险利率(04)点做C的切线，切点即为市场组合，记为M，此时射线rM为含多个风险证券及一个无风险证券的投资组合的有效边界。最后根据投资者的效用函数，得到相应的效用无差异曲线族U，该曲线族U必有一条与射线rM相切，记切点为P。则P点为风险厌恶的投资者的最优投资组合。2、某年8月3日，B公司股票的市场价格为每股20美元。于是，该公司决定于一周后以这一价格增发50万股股票，以筹措1000万美元的资本，用于扩充生产规模。然而，若一周后股市下跌，则该公司发行同样多的股票，只能筹到较少的资本。因此，该公司决定用同年9月份到期的标准普尔500指数期货作套期保值。已知标准普尔500指数期货合约价值为标普500指数乘以500美元。8月3日，标普指数为458点，一周后，8月10日，标普指数为423，A公司股票也跌落到每股美元。试分析操作策略和盈亏情况。解：具体操作如下TOC\o"1-5"\h\z8月3日现货市场股价为20元/股，筹措1000万需发行50万股股票；而8月3日当天，9月份到期的