直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳

直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳知识点精讲：1、 定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）表8-13文字语言图形语言文字语言图形语言符号语言文字语言 图形语言 符号语言文字语言图形语言符号语言判断定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直417a,buaa丄lb丄laC|b=P>nl丄a面丄面线丄面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直b■P1a丄卩 'ac卩=abu卩b丄a ‘>nb丄a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直a厂t/L/a//卩、a丄a>na丄P平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另条直线与该平面也垂直aa//b'a丄a>nb丄a3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）表8-14文字语言| 图形语言 |符号语言性质定理垂直于冋平面的两条直线平行丄a//a ]auP >na//bacp=b

垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行a/a/a丄a] _a丄pt"〃P线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直A1丄a,auan1丄a二、斜线在平面内的射影1•斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是°°的角，故直线与平面所成的角的范围是如图8-122所示，PA是平面a的斜线，A为斜足；PO是平面a的垂线，°为垂足；AO是PA在平面a的射影，ZpA°的大小即为直线PA与平面a所成的角的大小.三、平面与平面垂直1•二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角a_1—卩的棱1上任取一点°，以点°为垂足，在半平面°和©内分别作垂直于棱1的射线°A和°B，则射线°A和°B构成的ZAOB叫做二面角的平面角，二面角的范围是〔0,兀［平面角是直角的二面角叫做直二面角.

AA图8-1232.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若叩卩二CD，CD丄丫，且诃丫二AB，卩“丫二BE，AB丄BE，则a丄B）IS8-124一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bb丄a、bup>na丄p4•性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直a丄panp=abuPb丄a>nb丄a题型归纳及思路提示题型115证明空间中直线、平面的垂直关系思路提示

〈判定定理T 〈判定定理T线丄线 性质定理 线丄面性质定理面丄面（1）证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（a丄d，b=a丄b）；⑦平行线垂直直线的传递性（a丄C，a〃b=b丄C）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（a②线面垂直的判定（a丄b,a丄c,cua,bua,b「|c=Pna丄a）；③面面垂直的性质（a』0，a^0=b，a丄b，auana丄0）平行线垂直平面的传递性（a丄0'b〃anb丄a）；⑤面面垂直的性质宀丄丫，卩丄丫，诃卩=1n1丄丫）.（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理（a丄0'auana丄0）.空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.题型讲解题型一、线线垂直证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直n线线垂直）.例8.33设ab是两条直线，％0是两个平面，则a丄b的一个充分条件是（ ）A．B．a丄aA．B．a丄a,b丄0a//0C．aua,b丄0D．aua,b/0解析：举例排除法1为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C.解析：举例排除法1为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C.评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等,进而进行判断.变式1：在正四棱锥变式1：在正四棱锥P-ABCD中,PA弓ABM是BC中点，G是ApAD的重心，则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线有多少条?变式2：已知a，0是两个不同的平面，mn是平面a及卩之外的两条不同直线，给出四个论断：①m丄n②Q丄0‘③n丄卩‘④m丄Q•以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .变式3：在棱长为1的正方体ABC"AiBiCiDi中，点F是棱CCi的中点，点P是正方体表面上的一点,DP丄AFiDP，则线段1的长度的取值范围是.例DP丄AFiDP，则线段1的长度的取值范围是.例8.34如图8-127所示，在直棱柱ABCD-ABCDiiii中,AC丄BD垂足为E.求证:BD丄AC分析：线面垂直的判定及性质进行转化.ABCD-ABCD AA丄ABCD AA丄BDAC丄BD解析：在直棱柱 iiii中，因为1底面ABCD，所以1 ，又AC丄BD，ACp|AA=AAAAClACA BD丄ACACA「ACA出i，i，ACl平面i内，所以BD丄平面i，又iu平面i内，故BD丄ACi

评注：证明线线垂直的方法很多，除了平面几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量等，究竟选用哪个，如果是平面垂直考虑前者，如果是异面垂直考虑后者，对于由线面垂直推导线线垂直，如何确定线与面，这要求根据图形结构及条件选择一直线垂直于经过另一直线的平面变式1：如图8-128所示，四棱锥S一ABCD的底面是正方形，SD丄平面ABCD,点E是SD上异于D变式2变式2：如图8-129所示,AC-1AB已知三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC，AB丄AC， 2 ，N为AB上一点，ABAB上一点，AB=4ANM'S分别为PB和BC的中点.变式3：如图8-130所示，在四面体ABOC中，OC丄OA，OC丄OB，ZAOB二1200，AB且OA=OB=OC=1，点P为AC的中点.求证：在AB上存在一点Q，使PQ丄OA，并计算AQ的值.例8.35如图8-131所示，在长方形ABCD中，AB二2,BC二1，E为CD的中点，F为线段EC上（端点除外)一动点•现将AAFD沿AF折起，使平面ABD丄平面ABCF，在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足•设AK=t，则t的取值范围是 图8131分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键•就本题而言，在矩形ABCD中，引DK丄AF于M交AB于K,在折起的过程中，DM，MK始终保持与AF垂直的关系，即D在平面ABC内的射影D始终保持着与M、K共线，所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点F的位置确定后，K的位置将固定不动，‘值也不会因折起而变化，因此在平面图形中，利用相似建立t的表达式，求其取值范围.解析：如图8-132(a)所示，过K作KM丄AF于点M，连接DM，易得DM丄人尸，与折前的图形DFg(1,2)，DFg(1,2)，故tgG，1)相比，可知折前的图形中，D,M'K三点共线，且DK丄比(如图8-132(b)所示)，于是ADAKsAFDA,AKAD t 1t二1所以ADDF，即1DF，所以DF，又评注：本题的解法为借助平面解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路.立体几何问题的基本思路.变式1如图8-133所示，正四面体ABCD中，棱长为4,M是BC的中点，P在线段AM上运动(P不与A,M重合)，过点P作直线1丄平面ABC，1与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC丄平面AMD；②点Q一定在直线DM上；③VC-AMD=%2，其中正确的是（A.①②B.①③A.①②B.①③C-②③ D•①②③例8.36如图8-134所示，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，平面AiBC丄侧面AiABBi.求证：AB丄BC分析通过线面垂直，证明线线垂直.解析如图8-135所示，过点A在平面AiABBi内作AD丄AiB于点D，连接CD,则由平面AiBC丄侧面AiABBi，则平面AiBCn侧面AiABBi=AiB，得AD丄平面AiBC，又BC匸AiBC,所以AD丄BC因为三棱柱ABC—AiBiCi是直三棱柱，故AAi丄底面ABC，所以AAi丄BC,又AAi"AD=A，从而BC丄侧面AABB又ABu侧面AABB故AB丄BC评注垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直.变式1如图8-136所示，在三棱锥P—ABC中，AC二BC，PA=PB.求证：PC丄AB图8-136二、线面垂直垂直关系中线面垂直是重点.

'①垂直两条相交线；垂直里面作垂线；直（正）棱柱的侧棱是垂线；线垂面哪里找I④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.'①垂直面里所有线（证线线垂直）；牡缶石若仃田i②过垂线作垂面（证面面垂直）・线垂面有何用1证明线面垂直常用两种方法.方法一：线面垂直的判定.线线垂直n线面垂直，符号表示为：a丄b，a丄c，bud，cUd，bClc=P，那么a丄a.方法二：面面垂直的性质.面面垂直n线面垂直，符号表示为：d丄卩，d"卩二b，aua，a丄b，那么a丄卩.例8.37已知直线1和两个不同的平面d'卩，则下列命题中正确的是（ ）•A.若1,1丄卩，则d//卩 B.若///a,1//卩，则d//卩C.若1丄a,a丄卩，则1//p D.若1丄a,a丄卩，则1丄卩解析举反例排除法，如图AB//平面ABCD*丄平面解析举反例排除法，如图AB//平面ABCD*丄平面ADDiAi，平面兔 G图8437另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项A正确.变式1已知直线1丄平面a，直线mu平面卩，有下面4个命题:①a//pn1丄m②a//pn1//m③1//mna丄卩④1//mna//p其中正确的命题是（A.①②BA.①②B.③④C.②④D.①③变式2设m和n是两条不同的直线，a和卩是两个不同的平面，给出下列4个命题:①若②若m//a,a丄卩，则m//卩①若③若m丄卩，a丄卩，则m//a或mua；④若m丄n,m丄a,n丄卩，则a丄卩其中正确命题的序号为例8.38如图8-138所示，在正方体ABCD例8.38如图8-138所示，在正方体ABCD-ABCDiiii中,ACAC1为其对角线•求证:AC丄平面BCDi ii.分析由线面垂直的判定定理，证明直线AC1与平面BiCDi的两条相交线垂直.解析如图8-139所示，连接BC1CiD•因为在正方体中AB丄平面BCC1B1，所以AB丄B1C1，且BC1丄AC1,又ABnBCi=B,所以BiC丄平面ABCi,因此BiC丄ACi,同理CDi丄ACi,又BiCnCDi=C,所以AC丄平面BCDi ii.山 D駕 G图8-139评注判断线线垂直与线面垂直，最基本的思路是：“一直线与三角形两边所在的直线垂直，必垂直于第三边所在直线”这里要抓住线线垂直与线面垂直的互相转化.变式1如图8-140所示，正四棱柱ABCD-A1BiCiD1中,AA1=2AB=4，点E在CCi上且CiE=3EC

变式2如图8-141所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,E为BD的中点，G为PD的中点，ADAB二ADCB,EA二EB=AB，连接CE并延长交AD于F.求证：AD丄平面CFG.国&141变式3如图8-142所示，四棱锥S—ABCD中，AB//CD，BC//CD，侧面SAB为等边三角形,AB二BC二2CD二SD二1求证：SD丄平面SAB98142三、面面垂直主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直=面面垂直）•证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.例8.39如图8-143所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=aPB=PD=，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.A R图S-14S解析依题意，PA=a，PB=^2a，底面ABCD是边长为a的正方形，则AB=a，故APAB为直角三角形，所以AB丄PA，由AB丄PA1 十十、AB丄平面PAD1 十= 十=AB丄AD >n >n平面PAB丄平面PAD小 ABu平面PABIPAnAD=AI .同理可证：平面PAD丄平面ABCD平面PAB丄平面ABCD，平面PAB丄平面PBC，平面PAD丄平面PCD.故互相垂直的面有5对变式1如图8-144所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBAC=90。，BCi丄AC，则Ci在底面ABC上的射影H必在（ ）.A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.AABC内部ffl8144变式2下列命题中错误的是（ ）如果平面°丄平面卩，那么平面a内一定存在直线平行于平面卩如果平面°不垂直于平面卩，那么平面°内一定不存在直线垂直于平面卩如果平面°丄平面面，平面卩丄平面丫，°"卩=1，那么1丄平面丫

D.如果平面a丄平面卩，那么平面a内所有直线都垂直于平面卩例8.40如图8-145所示，在三棱柱°—ABC中，OC丄底面ABC,/ACB=90°，点D在棱OB上.求证：平面ACD丄平面OBC.08145分析根据面面垂直的判定定理，由线面垂直=面面垂直•究竟是证哪个面内线垂直于哪个面，这就需要先分析图形结构与题设条件，考虑哪条线与面的垂直关系易证.解析因为°C丄底面ABC，AC匸平面ABC，所以°C丄AC.又ZACB=90°，所以AC丄BC，OC^BC=C故OC^BC=C故AC丄平面OBC又ACu平面ACD，所以平面ACD丄平面OBC.变式1如图8-146所示，在三棱锥V-ABC中，VC丄底面ABC，AC丄BC，D是AB的中点，且AC=BC.求证：平面VAB丄平面VCDQA二QA二AB二1PD变式2如图8-147所示，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD，PD//QA求证：平面PQC丄平面DCQ

H8-147变式3如图8-148所示，在五棱锥P—ABCDE中，PA丄平面ABCDE,ABIICD,AC//EDAE//BC,ZABC二45。,AB=2迈,BC=2AE=4，三角形pAB是等腰三角形.求证：平面PCD丄平面PAC平面PACS8-148有效训练题TOC\o"1-5"\h\z1•设1是直线，'卩是两个不同的平面，则有（ ）•A.若/I/a，1//0，则么//卩 B.若///a，1丄卩，则么丄卩C.若么丄卩，1丄a，则1丄卩 D.若么丄卩，1//a，则1丄卩2.设平面a与平面卩相交于直线m，直线°在平面a内，直线b在平面卩内，且b丄m，则“a丄卩”是“a丄b”的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3•已知a'卩表示两个互相垂直的平面，a,b表示一对异面直线，则a丄b的一个充分条件是（ ）•A.a//a,b丄卩 B.a//a,b//卩 C.a丄a,b//卩 D.a丄a,b丄卩4•设m,n是两条不同的直线，a'卩是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）•A.若m丄n，m丄a，n@a，则n//a B.若m丄卩，a丄卩，则m//a或muaC.若m//a，a丄卩，则m丄卩 D.若m丄n，m丄a，n丄卩，则a丄卩

5.如图8-149所示，四边形ABCD中，AD〃BC,AD=BC,'BCD=45。,ZBAD=90。.将AADB沿线段BD折起，使平面ABD丄平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题中正确的是（ ）•平面中正确的是（ ）•平面BDCC.平面C.平面ABC丄平面BDCD.平面ADC丄平面ABC6.在四面体P—ABC中,D,E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个