数列专题教案

专题数列求通项问题到求9项常用方法知识框架数列求通项情列求通项方法【一】归纳法求通项通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an+1的联系.【例1】由数列的前n项，写出通项公式:(1)3,5,3,5,3,5,…，(1)3,5,3,5,3,5,…，3，4，5，6，(3)25133381(3)2，(3)25133381(3)2，2，4，8，16,11112，20，30，【二】公式法求通项等差数列：a等差数列：a=a1+(n-1)d等比数列：a-aqn-1n11 1【例1】数列1 1【例1】数列｛a｝满足a--, -n12a—1n+1 1(ngN*a—1n9A-1010By9A-1010ByC.1011D.1110【例2】已知数列U｛【例2】已知数列U｛%｝满足q=44,a=4— (n>1)na/n—1n=大,求证：数歹打叫是等差数列,并求an。n【例3】已知数列｛a【例3】已知数列｛a｝和｛b｝满足-b+1-2,a-3bn+1n+4n-1,b-3a—4n+1n+1 n(2)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式.(1)求证：｛a+(2)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式.nn【三】累加法求通项型如an+1=an+f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成an+1-an=f(n);第二步依次写出an—an_1，…，a2—a1,并将它们累加起来；第三步得到an—a1的值，解出an;第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式累乘法类似.【例1】在数列【例1】在数列"｝中，a「2，/1)a=a+ln1+—，则a=(n+1nInJ10A.2+ln10 b.2+9ln10 C.2+10ln10 d.11+ln10【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术〃，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列｛an｝的通项公式a= ，数列</1\的前n项和S= .n (n+2)a nn【例3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1,5,12,22,…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作。1=1,第2个五角形数记作,a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列｛an｝，则an-an_1=(n>2)；对neN*,a=.【五】Sn法(项与和互化求通项)[s,(n=1)a=<1n[s_s,(n>1)nn一1已知Sn=f(an)或Sn=f(n)解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n三2时，Sn-1的表达式；第二步利用an=Sn—Sn-1(n三2),求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n三2时的｛an｝的通项公式，则根据a1=S1求出a1,并代入｛an｝的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是｛an｝的递推公式，则问题化归为类型二.【例1】已知数列Ln｝的前9项和S/且Sn=3n_2,则Ua:

【例2】设数列｛a｝的前n项和S，若-1,S-1a =0(ne双【例2】设数列｛a｝的前n项和S，若TOC\o"1-5"\h\zn2n+1 n【例3】设Sn是数歹U｛an｝的前n项和，且aj=—1,an+1=SnSn+1，则Sn=\o"CurrentDocument"即时训练、设数列iJ｛a｝满足a•2a•3a•…•na=2n(neN*).n 1 2 3 n(1)求｛a｝的通项公式;

n\o"CurrentDocument"I2+2n+1(1)求｛a｝的通项公式;

n(2)求数列^—―j的前n项和Sn.n【六】构造法求通项1.型如an+1=pan+式其中p,q为常数，且pq(p-1)£0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下:第一步假设将递推公式改写为an+1+1=p(an+1);第二步由待定系数法，解得t=*;p—1第三步写出数列1a+-^—\的通项公式；〔np-1J第四步写出数列｛an｝通项公式.Zan+1=pan+f(n)型【参考思考思路】确定f(n)f设数列｛an+九]f(n)｝一列关系式a1+九1f(n+1)=九][a+九1f(n)]f比较系数求九1,九2【例1】已知数列U｛an｝中，a1=1,an「2.an+3,求an.【例2】已知数列U｛an｝满足an+1=2an+n,a1=2,求数歹U｛an｝的通项公式.【例3】已知数列U｛an｝满足an+1=2an+3X5n,a1=6,求数歹U｛an｝的通项公式.A.a=n•2n b.a=n•2n-1即时训练、已知数列｛an｝满足：。1=1,an=2an」+2A.a=n•2n b.a=n•2n-1C.a=(2n-1)•2nd.a=(2n-1)•2n-1

nn【七】其他求通项方法【例1】已知数列｛an【例1】已知数列｛an｝满足a1=3，an+11+a n1-an(neN*)，则a1•a2^a302019二(A.A.-3 B.-2 C.--2【例2】若数列U｛an｝中，aj=3且an「an(n是正整数)，1D-3则它的通项公式an为即时训练、已知数列｛即时训练、已知数列｛a｝满足递推关系:na

a——n—

n+1 a+1，n则a2018=(A.——-2016B. 2017C. 2018D. 2019【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）一、形如a+2=pa+1+qa（p,q是常数）的数列形如q=m,A.——-2016B. 2017C. 2018D. 2019【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）一、形如a+2=pa+1+qa（p,q是常数）的数列形如q=m,a2=m2,a2=pa1+qa（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a，其特征方程为x2=px+q…①若①有二异根a,P，则可令a=can+cPn（c,c是待定常数）若①有二重根a=P，则可令a=（c+nc）an（c,c是待定常数）再利用q=m,a2【例1】已知数列｛a｝满足a=2,a=3,a =3a —2a(neN*)，求数歹ij｛a｝的通项a.n+2n+1n【例2】已知数列｛a｝满足a=1,a=2,4a=4a12n+1-an（neN*），求数列｛a｝的通项a.二、形如an+2”,+B的数列Ca+D对于数列an+2Aa+BCa+D，a1=m,neN*(A,B,C,D是常数且C丰0,AD—BC丰0)值.nAx+B其特怔方程为x=Cx+D变形为Cx2+(D—A)x—B=0…②a-a若②有二异根a,P,则可令「一

a-pn+1a-a=c——（其中c是待定常数），代入a,a的值可求得ca-P 12na-aa-Pna-a4是首项为十二a-p1公比为c的等比数列，于是这样可求得an.若②有二重根a二P1贝“可令 a -an+11 +c（其中c是待定常数），代入a,a的值可求a-a 12n得c值.a-a

n。，，11是首项为 ,a—an公差为c的等差数列，于是这样可求得a”.此方法又称不动点法.【例3】已知数列｛a｝满足a=2,a=an1+2(n>2)，求数列｛a｝的通项a.n1n2a+1 n nn-12a—1,【例4】已知数列｛a｝满足a=2,a=『 (neN*)，求数列｛a｝的通项a.n1 n+14a+6 n nn专题数列求和问题「公式法分组求和法奇偶并项求和法例序相加法错位和洞^去裂项相清法A【列求和的常用方法知识框列^和方法「公式法分组求和法奇偶并项求和法例序相加法错位和洞^去裂项相清法A【列求和的常用方法知识框列^和方法【一】公式求和法【例1】求1+2+22H H2n的和.【例2】已知等比数歹U｛a/中，a3=4,S3=12,求数歹U｛an｝的通项公式.【例3】在公差为d的等差数列｛an｝中，已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数歹U.(1)求d,a；(2)若d<0,求|aj+|a2|+|a3H +|a|.【例4】在平面直角坐标系中，已知A【例4】在平面直角坐标系中，已知A](a,2)AAnn+1(2n+1,2n)(eN*)(1)若OA//AA，求a的值；(2)若a=1,求OA的坐标;即时训练1、已知数列｛4｝和｛2｝满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn讨=3bn-an-4.(1)证明：｛an+bn｝是等比数列，｛an-bn｝是等差数列；(2)求｛。”｝和｛bn｝的通项公式.即时训练2、记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求｛an｝的通项公式； (2)若a1>0,求使得Sn>an的n的取值范围.a=2,a=2a=2,a=2a+16,

1 3 2(1)求｛an｝的通项公式;(2)设bn=log2an,求数歹*(1)求｛an｝的通项公式;【二】分组求和法分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和【例1】求和：1g+2z-+3]-I \~(n+2").2 22 23 V 乙n【例2】求数列1,1+a,1+a+a2,…，1+a+a2- an—,…的前n项和Sn.(其中aW0,n£N*)【例3】求和T=1x2义3+2*3义4++n(n+1)(n+2)n【三】奇偶并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.【例1】求和12—22+32—42+…+992—1002.

【例2】已知正项等比数列｛与｝的前n项和为Sn，且S2=6,S44=30,n£N*,数列｛丹｝满足bn-bn_^1=an,b1=1. (1)求an,bn； (2)求数歹U｛bn｝的前n项和Tn.【例3】已知函数f(n)=n2cos(n兀)，且an=f(n)+f(n+D，则a1+a2+...+a20=【四】倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）.(10【例1】求和sin210+sin220+sin23°+ +sin289°(10【例2】设f（x）【例3】已知正数数列【例3】已知正数数列1•：是公比不等于1的等比数列，•••且“金」若」.•「则;'| 1 ’.・».： (A.2018B.4036C.A.2018B.4036C.2019D.4038【例4】已知函数f（x）=cosx+In，若f12019)1009(a+b)ln(a>0,b>0)，则1+1的最小值为(abA.A.2B.4 C.6D.8【五】错位相减求和数列｛anb/的前n项和，其中｛an卜｛bn｝分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。【例1】求和：1X21+2X22+3X23H——bnX2n,n£N*.【例2】在数列｛an｝,｛bn｝中a=3a一b一3n-1,b =3b-a+3n+1【例2】在数列｛an｝,｛bn｝中的前两项依次为a2,b2.（1（1）求｛c｝的通项公式;

n（2）求数列Kajb）c/的前n项和Sn.【例3】已知数列｛a』是公差不为0的等差数列，且4=1,a2,a4,a8成等比数列.（1）求（1）求｛an｝的通项公式;⑵若bn=a.・2n，求｛b｝的前n项和t.n+1 n即时训练1、设数列｛a｝满足a=3，a=3a-4nn+1 n猜想｛a｝的通项公式并加以证明；（2）求数列｛2na｝的前n项和S。即时训练2、设｛an即时训练2、设｛an｝是公比不为1的等比数列a1为a2,a3的等差中项.（1）求｛an｝的公比;(2)若a1=1求数列｛na｝的前n项和.n【六】裂项求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:（1）n(（1）n(n+1) nn+1［一般an（2）（3）(2n)2(2n-1)(2n+1)=1+2(2n-12n+1（4）n(n-1)(n+2)=2[n(n+1)(n+1)(n+2)（4）（5）vn+1+nn=\'n+1一'n(1)求数列｛〃｝的通项公式；

n一 1⑵令bn=(a+D(a—D(nEN*)，Sn为数列｛bn｝的前n项和，求Sn.n n【例2】已知数列｛a｝的前n项和S满足2S,-na=3nQeN*），且a-5(1)证明数列｛a｝为等差数列，并求｛a｝的通项公式;n/— 1（2）设; :—，Tna:a+aann n+1 n+1 n为数列｛b｝的前n项和，求使T>成立的最小正整数n的值.10n 1 n