高中数学人教A版（2019）必修第二册 向量的概念与几何表示（含解析）

向量的概念与几何表示练习一、选择题在下列说法中正确的有(    )①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

④平面上的数轴都是向量A.1个 B.2个 C.3个 D.4个下列结论中正确的为(

)A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B.向量AB与向量BA的长度相等

C.对任意向量a，a|a|是一个单位向量有关向量a和向量b，下列四个说法中：

①若|a|=0，则a=0；

②若|a|=|b|，则a=b或a=−b；

③若a//b，则|aA.1 B.2 C.3 D.4下列结论一定正确的是(    )A.a−b=a+−b

B.a+b≥a设a，b为非零向量，且满足|a−b|=|a|+|b|A.既不共线也不垂直 B.垂直

C.同向 D.反向下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(    )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a≠b，则④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A.0 B.1 C.2 D.3设O是等边三角形ABC的中心，则向量AO，OB，OC是

(

)A.有相同起点的向量 B.模相等的向量

C.平行向量 D.相等向量下列说法正确的是(    )A.若a//b，b//c，则a//c

B.在△ABC中，必有AB+BC+CA=0

C.若AB+BC+设a→,b→为单位向量，且，则aA.3 B.7 C.3 D.7已知向量a=(t,1)，b=(2,1).若a⊥b，则A.5 B.2 C.52 D.已知向量a与b的夹角为π3，且|a|=1，|2a+b|=A.3 B.2 C.1 D.3已知线段上A，B，C三点满足BC=2AB，则这三点在线段上的位置关系是A. B.

C. D.二、填空题已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−已知向量a，b满足|a|=3，|b|=1，若存在不同的实数λ1，λ2(λ1λ2已知|a|=6，b与a的方向相反，且|b|=3，a=mb，则实数m=已知两点A(3,−4)和B(−9,2)，在直线AB上存在一点P，使|AP|=13|AB|在△ABC中，cosC=35，BC=1，AC=5，若D是AB的中点，则CD=

．三、解答题某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求AD的模．

如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|=5(1)画出所有满足条件的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．

已知a≠0，b≠0，当(1)求t的值；(2)若a、b共线且同向，求证：b⊥(a+tb).

如图，在三角形ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b。

(1)试用a(2)若|a|=1，|b|=1，且a→与b的夹角为60°，求|BE|。

答案和解析【答案】B

【解答】

解：既有大小，又有方向的量统称为向量，

结合向量的定义可知仅有②④错误，

结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，

2.【答案】B【解答】解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确;

B选项，向量AB与向量BA是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确;

C选项，当a=0时，a|a|无意义，故C不正确;

D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D【解答】解：①若|a|=0，则a=0，故①正确；

②若|a|=|b|，则a=b或a=−b是错误的，因为向量方向可任意，故②错误；

③若a//b，则向量的长度不一定相等，故③错误；

④若a=0，则−a=0，故④正确．

故正确的有①④，共2个．

4.【答案】A

【解答】

解：A，由向量的运算法则可知，正确；

B，当a,b反向时，|a+b|⩽|a−b|，错误；

C，当a是零向量，b是非零向量时，不存在实数λ使得b=λa，错误；

D，当a,b不共线时，|a−b|>|a|−|b|，错误．

5.【答案】D

【解答】解：设a，b的起点为O，终点分别为A，B，

则a−b=BA，

由|a−b|=|a|+|b|，

【解答】解：因为O是等边三角形△ABC的中心，

所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，

所以|AO|=|OB|=|OC|=R(R为△ABC外接圆的半径)，

所以向量AO,OB,CO是模相等的向量，

8.【答案】B

【解答】

解：对于A，当a、b、c均为非零向量，若a//b，b//c，则a//c，故A错误；

对于B，△ABC中，AB+BC+CA=AC+CA=0，故B正确；

对于C，当AB→+BC→+CA→=0→时，A，B，C不一定是一个三角形的三个顶点，如A、B、【解答】

解：a,b为单位向量，且|a−b|=1，

可得a2−2a⋅【解析】解：向量a=(t,1)，b=(2,1)，

若a⊥b，则a⋅b=0，

即2t+1=0，解得t=−12；

所以a=(−12,1)，

所以|a|=(−12)2+12=52．

11.【答案】C

【解答】

解：因为向量a与b的夹角为π3，|a|=1【解答】解：由题意可知BC和AB共线同向，且BC=2AB．

13.【答案】3

【解答】

解：如图，设OA=a，

则OC=OA+OB∵|a|=|b|=|∴△OAB为正三角形，设其边长为1，

则|a−b∴|

14.【答案】[2,22)∪[22，23).

【解答】

解：(c−a)⋅(c−b)=[(λ−1)a+3λb]·[(3λ−1)b+λa]

=9λ(λ−1)+3λ(3λ−1)+[(λ−1)(3λ−1)+3λ2]⋅3cosθ

=(18λ2−12λ)+(18λ2−12λ+3)cosθ=0，

λ≠0⇔cosθ≠0∴Δ>0⇔cosθ≠−1，

λ1+λ2=12+12cosθ18+18cosθ=23，λ1λ2=3cosθ18+18cosθ=cosθ6+6cosθ

∴|c1−c2|2=(λ1−λ2)2(a+3b)2=(λ1−λ2)2(18+18cosθ)

=(49−2cosθ3+3cosθ)(18+18cosθ)=(8−4cosθ)∈[4,8)∪(8,12)

∴|c1−c2|∈[2,22)∪[22，23).

故答案为[2,22)∪[22，23).

15.【答案】−2

【解答】

解：∵|a||b|=63=2，∴|a|=2|b|，

又b与a的方向相反，

∴a=−2b，∴m=−2．

故答案为：−2．

16.【答案】(−1,−2)或(7,−6)

【解答】

(2)由(1)所画的图知，当点C位于点